运用导数巧求数列和
导数应用与数列求和
导数应用与数列求和作者：王大成来源：《神州》2011年第31期高中引入了导数概念，给出了导数的定义，讲清楚了导数的几何意义及物理意义，在应用方面也给出了一些例题，主要是解决函数单调性、最值、不等式证明等问题。
但是在数列求和方面的应用基本上还没有涉及到，因此我仅以本文来为导数的应用开辟一条新的途径。
问题一：数列（an）的通项公式an=n×2n-1（n∈N*），求数列（an）的前项和Sn.1.错位相减法：Sn=1×20+2×21+3×22+...+n×2n-1 (1)2Sn=1×21+2×22+...+（n-1）×2n-1+n×2n (2)由（1）-（2）得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n，有-Sn=1+（n-1）×2（n∈N*）2.导数法：令f（x）=x+x2+x3+…xn（x≠0，x≠1）f（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1，所以Sn=f（2），f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）/1-x，因为f（x）=［1-（n-1）xn］（1-x）+（x-xn-1）/（1-x）2有Sn=f（2）=1+（n-1）×2n定理1：数列（an）的通项公式an=n×pn-1（p≠0，p≠1，n∈N*），其前项n和为Sn，则Sn=1+［（p-1）n-1］pn/（1-p）2。
证明：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），所以，f（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1，所以Sn=f（p），f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）/1-x，因為f（x）=［1-（n+1）xn］（1-x）+（x-xn-1）/（1-x）2有Sn=f（p）=1+［（p-1）n-1］pn/（1-p）2，证毕。
问题二：数列（cn）的通项公式cn=anbn（n∈N*），其中，an=pn+q（p，q是常数），bn=r·sn-1（rs≠0），求数列（an）前项和Tn。
运用求导法讨论数列的单调性
运用求导法讨论数列的单调性
潘梅耘
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2011(000)005
【摘要】@@ 在教研活动中,大家提出了运用求导法讨论数列单调性方面的疑问:rn疑问1 导数法求函数单调性针对的是怎样的函数?rn解惑中学教材中明确指出,导数法是针对连续的光滑曲线对应的函数而言的.
【总页数】1页(P40)
【作者】潘梅耘
【作者单位】江苏省高邮第一中学,225600
【正文语种】中文
【相关文献】
1.数列单调性在求二项式展开式中系数最值中的应用 [J], 杨道云;
2.关于数列{(1+1/n)n+r}单调性的讨论 [J], 陈贞俊
3.关于一个数列的单调性与极限的讨论 [J], 张建人
4.递推数列xn+1=f(xn)的单调性与收敛性讨论 [J], 吴延东
5.运用数列单调性证明数列不等式例说 [J], 郑堂根
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导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法之欧阳组创编
导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法1．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面的不等式在R 上恒成立的是 A ．)(>x f B ．)(<x f C ．x x f >)(D ．x x f <)( 【答案】A【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒>，所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．②当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x '''+=>⇒<，所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．综上0)(>x f ．故选A ．【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．2．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-'=-+== …………………2分（i ）若11a -=即2a =，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞单调增加．（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(1,1)a -单调减少， 在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（iii ）若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（II ）考虑函数()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+． 则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-． 由于15,a <<故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞单调增加，从而当120x x >>时有 12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---． ………………………………12分3．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2）证明：13521nn nxx x x x y -⋅⋅⋅<<．【解析】曲线222:()n C x n y n -+=是圆心为(,0)n ，半径为n 的圆，切线:(1)n n l y k x =+ （Ⅰ）依题意有n =，解得2221n n k n =+，又2220n n n x nx y -+=， (1)n n n y k x =+ 联立可解得,1n n nx y n ==+，=n n x y = 先证：13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<证法一：利用数学归纳法 当1n =时，112x =<假设n k =时，命题成立，即13521k x x x x -⋅⋅⋅⋅<则当1n k =+时，135212121k k k x x x x x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵222241616/[12(2)483k k k k k++=>+++， <=．∴当1n k =+时，命题成立故13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<证法二：==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-n n n n n n n n ，<不妨设(0,3t =，令()f t t t =，则()10f t t '=<在t ∈上恒成立，故()f t t t =在(0,3t ∈上单调递减，从而()(0)0f t t t f =<=<综上，13521nn nx x x x x y -⋅⋅⋅⋅<成立．4．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x ，，且12x x <． （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()21224ln f x ->．【解】（I ）由题设知，函数()f x 的定义域是1,x >-且()0f x '=有两个不同的根12x x 、，故2220x x a ++=的判别式480a ∆=->，即 1,2a <且12x x == …………………………………①又11,x >-故0a >．因此a 的取值范围是1(0,)2．当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：因此()f x 在区间1(1,)x -和2(,)x +∞是增函数，在区间12(,)x x 是减函数．（II ）由题设和①知于是 ()()2222222(1)1f x x x x ln x =-++．设函数 ()()22(1)1,g t t t t ln t =-++ 则()()2(12)1g t t t ln t '=-++当12t =-时，()0g t '=；当1(,0)2t ∈-时，()0,g t '>故()g t 在区间1[,0)2-是增函数．于是，当1(,0)2t ∈-时，()1122().24ln g t g ->-=因此 ()22122()4ln f x g x -=>． www ．ks5u ．com5．【2008年山东理】 21．（本题满分12分）已知函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（其中*,n N ∈a 为常数． （I ）当2n =时，求函数()f x 的极值；（II ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有() 1.f x x ≤- 【标准答案】（Ⅰ）解：由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >， 当2n =时，21()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以232(1)()(1)a x f x x --'=-．（1）当0a >时，由()0f x '=得111x =>，211x =<， 此时123()()()(1)a x x x x f x x ---'=-． 当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值． 综上所述，2n =时，当0a >时，()f x 在1x =+211ln 2a f a ⎛⎛⎫+=+ ⎪ ⎝⎭⎝． 当0a ≤时，()f x 无极值．（Ⅱ）证法一：因为1a =，所以1()ln(1)(1)nf x x x =+--． 当n 为偶数时， 令1()1ln(1)(1)ng x x x x =-----， 则1112()10(1)11(1)n n n x ng x x x x x ++-'=+-=+>----（2x ≥）．所以 当[)2x ∈+∞，时，()g x 单调递增， 又(2)0g =， 因此 1()1ln(1)(2)0(1)ng x x x g x =----=-≥恒成立，所以 ()1f x x -≤成立．当n 为奇数时， 要证()1f x x -≤，由于10(1)nx <-，所以只需证ln(1)1x x --≤，令 ()1ln(1)h x x x =---， 则 12()1011x h x x x -'=-=--≥（2x ≥）， 所以 当[)2x ∈+∞，时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又(2)10h =>， 所以当2x ≥时，恒有()0h x >，即ln(1)1x x -<-命题成立． 综上所述，结论成立． 证法二：当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤， 故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令 ()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，， 则 12()111x h x x x -'=-=--， 当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增， 因此 当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立． 故 当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤． 即()1f x x -≤．【试题分析】第一问对a 讨论时要注意一些显而易见的结果，当0a ≤时/()0f x <恒成立，()f x 无极值．第二问需要对构造的新函数()h x 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值 ，最后作出判断．【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断/123()()()1)a x x x x f x x ---=-（的正负漏掉符号． 【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性． 6．【2007年山东理】 （22）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（I ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（II ）求函数()f x 的极值点；（III ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln(1)nn n+>-都成立．【解】（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，222()211b x x bf x x x x ++'=+=++设2()22g x x x b =++，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，， 当12b >时，max 1()02g x b =-+>，即2()220g x x x b =++>在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增 （Ⅱ）①由（Ⅰ）得：当12b >时，函数()f x 无极值点②12b =时，2122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-，112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>， 12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点 ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，112x -=，2x =0b <时，11x =<-，20x =>，即1(1)x ∉-+∞，，[21x ∈-+∞，0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点2x =，当102b <<时，1112x -=>-，12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值112x -=和一个极小值点212x -=；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点212x -=；102b <<时，()f x 有一个极大值点x =x =12b ≥时，()f x 无极值点 （Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+， 令函数332()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则32213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++．∴当[)0x ∈+∞，时，()0h x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增， 又(0)h =(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即32ln(1)x x x >-+恒成立故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n=∈+∞，，则有23111ln 1nn n⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以结论成立．7．【2008年湖南理】 21．（本小题满分13分）已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+．（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式1(1)n a e n++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）．求a 的最大值．解： （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x-'=-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '>()h x 在(1,0)-上为增函数， 当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数． 所以()h x 在0x =处取得极大值，而()0h x =，所以()0(0)g x x '<≠，函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数． 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当0x >时，()(0)0.g x g <= 所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数．当0x >时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数．故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞．（Ⅱ）不等式1(1)n a e n++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n++≤由111n+>知，设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x=-∈+则由（Ⅰ）知，22ln (1)0,1x x x+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是()G x 在(]0,1上为减函数． 故函数()G x 在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2G =- 所以a 的最大值为11.ln 2- 1．2009潍坊文科（22）（本小题满分14分）设函数2()2(1)ln (),()k f x x x k N f x *'=--∈表示()f x 的导函数． （I ）求函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）当k 为偶数时，数列{n a }满足2111,()3n n n a a f a a +'==-，求数列{2n a }的通项公式；（Ⅲ）当k 为奇数时， 设()12n b f n n '=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明不等式()111n bn b e ++>对一切正整数n 均成立，并比较20091S -与2009ln 的大小．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又212[(1)]()22(1)k kx y f x x x x--''==--= ， (1)分1当k 为奇数时，22(1)()x f x x+'=，即()f x '的单调递增区间为(0,)+∞． …………2分2当k 为偶函数时，22(1)2(1)(1)()x x x f x x x-+-'==由()0f x '>，得10,1x x -> ∴>，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，综上所述：当k 为奇数时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞， 当k 为偶数时，()f x 的单调递增区间为(1,).+∞ …………4分（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知22(1)()x f x x-'=所以22(1)().n n na f a a -'=根据题设条件有2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+ ∴{21n a +}是以2为公比的等比数列， ∴221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=- (8)分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+由已知要证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取对数，即证11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭…………………10分事实上：设11,t n+=则1(1),1n t t =>- 因此得不等式1ln 1(1)t t t>->…………………………………………① 构造函数1()ln 1(1),g t t t t=+->下面证明()g t 在(1,)+∞上恒大于0．∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0,g t g >=即1ln 1,t t>-∴11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∴111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭即()111n b n b e ++>成立． (12)分由11ln ,1n n n +>+得111231ln ln ln ln(1),23112n n n n+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即11ln(1),n S n +-<+当2008n =时，20091S -<2009.ln ……………………………………………14分 2．山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题（22）（本小题满分14分）已知0a >，函数1()ln x f x x ax-=+．（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由； （Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，21()ax f x ax -'=，由()0f x '=得1x a=． ……2分 当1(,)x a a∈时，()0f x '<，()f x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．所以()y f x =不是定义域上的单调函数． ……………………………4分（Ⅱ）若()f x 在x ∈[1,)+∞是单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即1a x≥恒成立．…………………………．…6分即1max,[1,)a x x ⎧⎫≥∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥． ……………8分 （Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知，1()ln x f x x x-=+在[1,)+∞上为增函数，又当1x >时，()(1)f x f >， 1ln 0x x x-∴+>，即1ln 1x x>-．令()1ln ,g x x x =--则1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>从而函数()g x 在[1,)+∞上是递增函数，所以有()(1)0,g x g >=即得1ln .x x ->综上有：11ln 1,(1).x x x x-<<-> ………………………………10分111ln .1x x x x+∴<<+ ………………………………………12分 令1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且时，不等式111ln .1x x x x+∴<<+也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得 即11111...ln 1. (2)321n nn +++<<+++- 即111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且 ……………………14分3．山东省枣庄市2009届高三年级调研考试数学理21．（本小题满分12分）已知函数为常数其中且a a a x x g x x x f a ),1,0(log )(,221)(2≠>=-=，如果)()()(x g x f x h +=在其定义域上是增函数，且()h x '存在零点（()()h x h x '为的导函数）． （I ）求a 的值；（II ）设(,()),(,())()A m g m B n g n m n <是函数()y g x =的图象上两点，0()()()g n g m g x n m-'=-0(()()),:.g x g x m x n '<<为的导函数证明解：（I ）因为).0(log 221)(2>+-=x x x x x h a所以.ln 12)(ax x x h +-='因为),0()(+∞在x h 上是增函数． 所以),0(0ln 12+∞≥+-在ax x 上恒成立 ……………………………1分 当.ln 120ln 12,02ax x a x x x -≥-⇔≥+->时 而),0(1)1(222+∞--=-在x x x 上的最小值是-1．于是.ln 11,ln 11aa ≤-≥-即（※） 可见)1ln 1.0ln 1,10(1矛盾这与则若≥<<<>aa a a从而由（※）式即得.1ln ≤a① ………………．．………………………… 4分同时，)0(ln 1ln 2ln ln 12)(2>+-=+-='x ax a x a x a x x x h 由2()()(2ln )4ln 0,h x a a '∆=--≥存在正零点知解得1ln ≥a ②，或).,0ln ,1(0ln 这是不可能的因为>>≤a a a 由①②得 .1ln =a此时，e a x x h =='故存在正零点,1)(即为所求 ……………………………6分注：没有提到（验证）1ln =a 时，,1)(='x x h 存在正零点不扣分． （II ）由（I ），,1)(,ln )(00x x g x x g ='= 于是.ln ln ,)()(100mn m n x m n m g n g x --=--= ……………………………7分 以下证明.ln ln n mm n m-<-（☆）（☆）等价于.0ln ln <+--m n m m n m ……………………………8分 构造函数),0(ln ln )(n x x n x x n x x r ≤<+--= 则),0(,ln ln )(n x x n x r ∈-='当时，],0()(,0)(n x r x r 在所以>'上为增函数．因此当,0)()(,=<<n r m r n m 时 即.0ln ln <+--m n m m n m 从而m x >0得到证明． ……………………………11分 同理可证.,.ln ln 0n x m mn mn n <<-->综上 ……………………………12分注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分．4．烟台市三月诊断性检测数学理22．（本小题满分14分） 设函数2(),()2ln h x x x e x ϕ==（e 为自然对数的底数）． （1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；（2）若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．试问函数()h x 和()x ϕ是否存在“隔离直线”?若存在．求出此“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由．解：（1）∵2()()()2ln (0)F x h x x x e x x ϕ=-=->∴22()()'()2.e x e x e F x x x-+=-=∴当x e =时，'()0F x =． ∵当0x e<<时'()0F x <此时()F x 递减；……………………………………3’当x e >时，'()0F x >，此时()F x 递增． ∴当x e=时，()F x 取极小值，其极小值为0．…………………………………6’（2）由（1）可知，当0x >时，()()h x x ϕ≥（当且仅当x e=时取等号）．若存在()h x 和()g x 的“隔离直线”，则存在实常数k 和b ， 使得()h x kx b ≥+和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立． ∵()h x 和()g x 的图象在x e =()h x 和()g x 的“隔离直线”，则该直线过这个公共点(,)e e ． …………………………………………………8’设“隔离直线”方程为()y e k x e -=，即.y kx e e =+-由()(),h x kx e e x R ≥+-∈可得20x kx e e --+当x R ∈时恒成立．∵2(2)k e ∆=-∴由∆≤，得2k e =……………………………………………………………10’下面证明()2x ex e ϕ≤-当0x >时恒成立．令()()22ln 2,G x x ex e e x ex e ϕ=-+=-+则当x e ='()0G x =；当0x e <<'()0G x >，此时()G x 递增；当x e >'()0G x <此时()G x 递减．∴当x e =()G x 取极大值．其极大值为0．从而()2ln 20,G x e x ex e =-+≤即()2(0)x ex e x ϕ≤->恒成立．………………………………………………13’∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的“隔离直线”2.y ex e =-………………………14’5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在（0,1）为减函数．（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； （3）当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围．解：（1）,2)(xa x x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x ．∵上式恒成立,∴2≤a ①…………………………1分又xa x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x ．∵上式恒成立,∴.2≥a ②…………………………2分 由①②得2=a ．…………………………3分 ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分（2）由（1）可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xxx x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x (5)分令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分 列表分析：x（0,1）1 （1,+）)(x h ' - 0 + )(x h递减递增可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在（0,+）上只有一个解． 即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解．…………………………8分 （3）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, …………9分()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-………11分所以：11≤<-b 为所求范围． (12)分6．山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）22．已知函数1()ln x f x x ax-=+ （注：ln 20.693≈）（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若直线y b =与函数()y f x =的图象在1[,2]2上有两个不同交点，求实数b 的取值范围：（3）求证：对大于1的任意正整数1111,ln 234n n n >++++…解：（1）因为 1()ln x f x ax -=+ 所以21'()(0)ax f x a ax-=> 依题意可得，对21[1,).'()0ax x f x ax -∀∈+∞=≥恒成立， 所以 对[1,).10x ax ∀∈+∞-≥恒成立，所以 对1[1,),x a x∀∈+∞≥恒成立，max 1()a x≥，即1a ≥（2）当1a =时，21'(),x f x x-=若1[,1]2x ∈，'()0f x ≤，()f x 单调递减；若[1,2].'()0,()x f x f x ∈≥单调递增；故()f x 在1x =处取得极小值，即最小值(1)0f = 又11()1ln 2,(2)ln 2,22f f =-=-所以要使直线y b =与函数()y f x =的图象在1[,2]2上有两个不同交点，实数b 的取值范围应为((1),(2)]f f ，即10,ln 2]2-；（3）当1a =时，由(1)可知，1()ln x f x x x-=+在[1,)+∞上为增函数，当1n >时，令1nx n =-，则1x >，故()(1)0f x f >=， 即111()ln ln 01111n n n n n f n n n n n n --=+=-+->----所以1ln1n n n>-． 故 2131411ln ,ln ,ln ,ln122334-1n n n>>>>…,相加可得2341111ln ln ln ln 123-1234n n n+++>+++⋯+…+又因为234234ln ln ln ln ln()ln 12311231n n n n n ++++=⋅⋅=--……所以对大于1的任意正整书1111,ln 234n n n>++++…（二）2009年4月后7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12）已知函数2()ln .f x ax x =+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与函数()y f x =相交于两点1122(,)(,)A x y B x y 、21()x x >，求证：121x x k<<． 解：（Ⅰ）略（Ⅱ）当0a =时，()ln .f x x = 以下先证11x k>，21212121ln ln 0,y y x x k x x x x --==>--所以只需证21211ln ln 1x x x x x -<-，即设()ln 1(1)t t t t ϕ=-+ >，则1()10(1)t t tϕ'=-< >． 所以在(1,)t ∈+∞时，()t ϕ为减函数， ()(1)0(1)t t ϕϕ<= >． 即ln 1(1)t t t <- >．又211x x >，∴2211ln 1x x x x <-成立，即11x k>．同理可证21x k<．∴121x x k<<．8．山东省济宁市2009年高三第二次摸底考试-理科数学22．（本题满分14分）设函数()(1),()x f x e x g x e =-=．（e 是自然对数的底数） （Ⅰ）判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1(0,1)a ∈，且1()(),,n n f a g a n N *+=∈ ①求证：01n a <<；②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．解：（Ⅰ）()(1)x H x e e '=-- 令0()0,ln(1)H x x e '= =-当0(,)x x -∞时，()0,H x '> ()H x 在0(,)x x -∞上是增函数 当0(,)x x +∞时，()0,H x '< ()H x 在0(,)x x +∞上是减函数 (2)从而0max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2xH x H e x e e e e ==-+-=---+ (4)注意到函数()ln 1k t t t t =-+在[)1,+∞上是增函数， 从而()(1)0,11k t k e ≥=->又 从而0()0H x > 综上可知：()H x 有两个零点． …………………………………………………．6分 （Ⅱ）因为1()(),n n f a g a +=即1(1)1na n e a e +-+=所以11(1)1n a n a e e +=--…………………………………………………．7分 ①下面用数学归纳法证明(0,1)n a ∈． 当1n =时，1(0,1)a ∈，不等式成立．假设n k =时，(0,1)k a ∈ 那么11(1)1k a k a e e +=-- 10(1)11k a e e ∴<-<- 即1(0,1)k a +∈ 这表明1n k =+时，不等式成立．所以对n N *∈，(0,1)n a ∈ (10)②因为1(1)1nan n n e a a e a +--=--考虑函数()1(01)x p x e x x =-- << (12)从而()p x 在(0,1)上是增函数 ()(0)0p x p >=所以1(1)0n n e a a +-->即1(1)n n e a a +->…………………………………………………………14分 9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[)1,+∞上为增函数，且(0,)θπ∈，1()ln m f x mx x x-=--，m R ∈． （1）求θ的取值范围；（2）若()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数，求m 的取值范围； （3）设2()e h x x=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意，211()0sin g x xxθ'=-+≥⋅在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-≥⋅(0,),sin 0θπθ∈ ∴>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立， (2)分只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合(0,),θπ∈得2πθ=．…4分（2）由（1），得()()2ln .m f x g x mx x x -=--()222()().mx x m f x g x x -+'∴-=()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数， 220mx x m ∴-+≥或者220mx x m ∴-+≤在[)1,∞恒成立． ……………．． 6分220mx x m -+≥等价于2(1)2,m x x +≥即22,1xm x≥+ 而2222,max 11111x m x x x x x ⎧⎫⎪⎪== ∴≥⎨⎬+⎪⎪++⎩⎭． …………………………………8分 220mx x m ∴-+≤等价于2(1)2,m x x +≤即221xm x ≤+在[)1,∞恒成立，而(]220,1,01x m x∈≤+．综上，m的取值范围是(][),01,-∞+∞． ………………………………………10分（3）构造函数2()()()(),()2ln .m e F x f x g x h x F x mx x x x=--=--- 当0m ≤时，[]1,,0m x e mx x∈-≤，22ln 0e x x--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立．当0m >时，22222222().m e mx x m eF x m x x x x -++'=+-+=…………12分 因为[]1,,x e ∈所以220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[]1,e 恒成立．故()F x 在[]1,e 上单调递增，max 4()4F x me e=--，只要440me e-->，解得24.1em e >- 故m的取值范围是24,.1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭……………………………………………14分 10．山东省烟台市2009届高考适应性练习（二）理综试题 22．（本小题满分14分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意n N *∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n n nxb a =，求证：对任意实数(1,](x e e ∈是常数，e =2．71828…）和任意正整数n ，总有2n T <；（3）在正数数列{}n c 中，11(),()n n n a c n N +*+=∈．求数列{}n c 中的最大项．解：由已知：对于n N *∈，总有22n n n S a a =+成立 (1)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥…（2） ……………………………………1分（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+--1,n n a a -均为正数， 11(2)n n a a n -∴-=≥∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 ………………………………………3分又1n =时，21112S a a =+，解得11a =()n a n n N *∴=∈……………………………………………………………5分（2）证明：对任意实数(]1,x e ∈和任意正整数n ，总有22ln 1n n n x b a n=≤……6分1111111(1)()...222231n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭……………9分（3）解：由已知22112a c c ==⇒=33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得12234,......c c c c c <>>> 猜想2n ≥时，{}n c 是递减数列 ……………………………………………11分令ln ()x f x x=，则221ln 1ln ()x xx x f x x x⋅--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '< ∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，由11n n n a c ++=知ln(1)ln 1n n c n +=+2n ∴≥时，{}ln n c 是递减数列，即{}n c 是递减数列又12c c <，∴数列{}n c 中的最大项为2c =分三、2010年模拟试题1．山东临沂罗庄补习学校数学资料已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数()()2()F x f x g x =-⋅的极值点；（2）若函数()()2()F x f x g x =-⋅在),()t e t Z ⎡+∞∈⎣上有零点，求t 的最小值；（3）证明：当0x >时，有[]1()1()g x g x e +<成立；（4）若1(1)()()g n n b g n n N *+=∈，试问数列{}n b 中是否存在()n m b b m n =≠？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（e 为自然对数的底数）．解：（1）由题意，23()ln 228F x x x x =++-的定义域为(0,)+∞……………1分(32)(2)()4x x F x x--'=……………………………………………………2分∴函数()F x 的单调递增区间为20,3⎛⎤⎥⎝⎦和[)2,+∞，()F x 的单调递减区间为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以23x =为()F x 的极大值点， ………………………………………………3分2x =为()F x 的极小值点， ………………………………………………4分（2）()F x 在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为(2)F 且23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上没有零点，……………………………………………5分∴函数()F x 在),te ⎡+∞⎣上有零点，并考虑到()F x 在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增且在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，故只须23t e <且()0F t ≤即可，……………………………………………6分易验证121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当2,t t Z ≤∈时均有()0,t F e <所以函数()F x 在)1,()t e e t Z -⎡∈⎣上有零点，即函数()F x 在),()te t Z ⎡+∞∈⎣上有零点， t ∴的最大值为2-……………9分（3）证明：当0x >时，不等式[]1()1()g x g x e +<即为：11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+< 构造函数()ln(1)(0),h x x x x =+->则1()10,11x h x x x-'=-=<++ 所以函数()h x 在(0,)+∞上是减函数，因而0x >时，()(0)0,h x h <= 即：0x >时，ln(1)x x +<成立，所以当0x >时，[]1()1()g x g x e +<成立；…11分（4）因为1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1)n n n n n n n n n n n b n n e n n b nb n n n n n ++++++++++++===⋅+<<令23(1)1n n+<，得：2330n n -->，结合n N *∈得：4n ≥时， 因此，当4n ≥时，有(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当4n ≥时，1n n b b +>，即456...b b b >>>……………………………12分又通过比较1234b b b b 、、、的大小知：1234b b b b <<<， 因为11,b =且1n ≠时111,n n b n+=≠所以若数列{}n b 中存在相等的两项，只能是23b b 、与后面的项可能相等，又11113964283528,35b b b b ====>=，所以数列{}n b 中存在唯一相等的两项，即28b b =． ……………………………………………………………………14分2．皖南八校2010届高三年级第二次联考21．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列}2{n na 为等差数列； （II ）若m 为正整数，当2n m≤≤时，求证：1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤． 解：（I ）由1122+++=n n n a a 变形得：122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即 故数列}2{nn a 是以121=a 为首项，1为公差的等差数列…………（5分）（II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅=mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即…………（7分）欧阳组创编 2021..02.16 欧阳组创编 2021..02.16 令m n m n n m n f n m n f 1)23()()1(,)23()1()(+⋅-=+⋅+-=则 当m n m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时 又23221211)211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 1)23(211>-+∴ 则)(,1)1()(n f n f n f 则>+为递减数列． 当m=n 时，)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴递减数列．（9分） 要证：2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证时， 故原不等式成立．（13分）（法二）由（I ）得n n n a 2⋅=m m n m m m a n n m m nm n n1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即（7分） 令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m x m x 则 ],2[)(0)(',11,2m x f x f m x m m x 在即<∴<+-∴≤≤ 上单调递减．（9分） ∴m m m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证 也即证时而2,)11(149≥+≤m m m ，故原不等式成立．（13分）。
递增求和求导公式
递增求和求导公式递增求和是指根据一定规律进行求和的过程，而求导是对函数进行求导运算，两者是不同的概念和操作。
1.递增求和公式：递增求和可以使用数学公式来表示。
假设有一个数列a1,a2,a3,...,an，其中n表示数列的长度。
递增求和可以写成下面的形式：S=a1+a2+a3+...+an2.求导公式：求导是对函数进行求导运算，可以表示为对函数y=f(x)求导，常用的求导公式有以下几种：基本导数公式：常数函数：若f(x)=c，则导数为f'(x)=0；幂函数：若f(x)=x^n，则导数为f'(x)=n*x^(n1)；指数函数：若f(x)=a^x（a>0,a≠1），则导数为f'(x)=ln(a)*a^x；对数函数：若f(x)=log_a(x)（a>0,a≠1），则导数为f'(x)=1/(x*ln(a))；三角函数：sin、cos、tan等三角函数的导数可以通过求导公式得出。
3.结合递增求和和求导的例子：假设有一个数列a1,a2,a3,...,an，其中n表示数列的长度。
我们可以将数列的递增求和结果表示为函数S(n)，即S(n)=a1+a2+a3+...+an。
如果我们想求S(n)的导数，可以将其看作函数关于自变量n的导数。
通过应用求导公式，我们可以得到S(n)的导数。
例如，如果数列中的元素遵循某种规律，可以通过对该规律进行数学建模，然后根据建模结果得到S(n)的导数函数。
综上所述，递增求和和求导是不同的概念和操作。
递增求和是指对数列按照一定规律进行求和，而求导是对函数关于自变量进行求导运算。
高中数学数列求和问题的递推与概括思路
高中数学数列求和问题的递推与概括思路数列求和是高中数学中常见的问题类型，对于学生来说，掌握数列求和的递推与概括思路是非常重要的。
本文将重点介绍数列求和问题的解题技巧，帮助学生更好地理解和应用。
一、等差数列求和问题等差数列是高中数学中最基础的数列之一，其求和问题也是最常见的。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，求Sn的表达式。
解析：对于等差数列来说，我们可以通过观察数列的规律来找出求和的递推公式。
首先我们列出前几项的数列：a, a+d, a+2d, a+3d, ...我们可以发现，每一项与首项的差值都是公差d的倍数。
因此，我们可以将数列中的每一项都表示为首项加上一个公差的倍数，即：a, a+d, a+2d, a+3d, ... = a, a+(1d), a+(2d), a+(3d), ...接下来，我们将数列逆序排列，并将其与原数列相加：a, a+d, a+2d, a+3d, ...a+(3d), a+(2d), a+(1d), a我们可以发现，相同位置上的两项之和都等于首项与末项之和，即：2Sn = (a+a+(3d)) + (a+d+a+(2d)) + (a+2d+a+(1d)) + ... + (a+(n-1)d+a)= n(a+a+(n-1)d)化简得到：Sn = n(a+a+(n-1)d)/2这就是等差数列前n项和的表达式。
通过这个表达式，我们可以快速计算出任意等差数列的前n项和。
二、等比数列求和问题等比数列也是高中数学中常见的数列类型，其求和问题同样需要掌握。
例题：已知等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，求Sn的表达式。
解析：对于等比数列来说，我们可以通过观察数列的规律来找出求和的递推公式。
首先我们列出前几项的数列：a, ar, ar^2, ar^3, ...我们可以发现，每一项与首项的比值都是公比r的幂次。
因此，我们可以将数列中的每一项都表示为首项乘以公比的幂次，即：a, ar, ar^2, ar^3, ... = a, a(r^1), a(r^2), a(r^3), ...接下来，我们将数列逆序排列，并将其与原数列相乘：a, ar, ar^2, ar^3, ...a(r^3), ar^2, ar, a我们可以发现，相同位置上的两项之积都等于首项与末项之积，即：Sn * r = (a+a(r^3)) * (r^2)= (a(r^3)+ar^2) * r= (ar^3+ar^2) * r= ar^4+ar^3将等式两边相减，得到：Sn * (1-r) = ar^4 - aSn = a(r^4-1)/(r-1)这就是等比数列前n项和的表达式。
导数 数列递推
导数数列递推
导数和数列递推是高等数学中重要的概念，它们在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
导数表示了函数在某一点的变化率，而数列递推则描述了数列中每一项与前一项之间的关系。
首先，我们来看导数。
在数学中，函数的导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也可以表示函数的变化率。
导数的计算方法有很多种，比如利用极限、用公式法、利用导数的性质等。
导数的应用也是非常广泛的，比如在物理学中，速度和加速度可以由位移函数的导数求得；在经济学中，边际成本和边际收益可以通过成本函数和收益函数的导数来计算。
导数的概念和应用贯穿了数学的各个领域，是数学中不可或缺的重要内容。
其次，让我们来谈谈数列递推。
数列递推是指数列中每一项与前一项之间的关系，通过这种关系可以逐步计算出数列的每一项。
数列递推的计算方法也有很多种，比如常见的等差数列和等比数列递推公式。
数列递推在数学中也有着重要的应用，比如在概率论中，可以利用递推的方法计算概率分布；在计算机算法中，递推的思想也
经常被运用到动态规划等问题的求解中。
数列递推的概念和方法对于数学问题的求解有着重要的作用，是数学中不可或缺的内容。
综上所述，导数和数列递推是高等数学中重要的概念，它们在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
导数表示了函数的变化率，数列递推描述了数列中每一项与前一项之间的关系。
这些概念和方法贯穿了数学的各个领域，对于数学问题的研究和应用有着重要的意义。
试卷题目：
1.函数f(x)在点x=a处的导数是什么意思？
2.请列举一个常见的数列递推公式，并说明其应用场景。
运用导数巧求数列和
运用导数巧求数列和数列是数学中的基础概念，是一系列按特定顺序排列的数的集合。
数列求和是指对数列中的所有数进行求和运算。
在数学中，比较常见的数列有等差数列和等比数列。
在一些情况下，为了方便计算数列的和，可以运用导数的巧妙方法，通过对数列进行求导和积分等运算，将求和问题转化为其他数学运算问题。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列。
在等差数列中，如果已知首项a1、末项aN和项数n，我们需要求解的就是数列的和Sn，即1+2+3+…+n的和。
对于等差数列，我们可以运用导数的巧妙方法进行求和。
步骤：1. 首先，假设原等差数列的首项为a1，公差为d，那么原数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 对于数列的和Sn = a1+a2+a3+…+an，我们将其视为n的函数Sn，即Sn = Sn(n)。
3.接下来，我们对数列的和Sn进行求导，得到导数Sn’(n)。
4.然后，我们对Sn’(n)进行积分，得到Sn(n)，即数列的和。
举例：以等差数列1 + 2 + 3 + … + n为例，首项a1为1，公差d为1，通项公式为an = 1 + (n-1)1 = n。
1.对数列的和Sn进行求导，得到导数Sn’(n)：Sn’(n) = d/dn(1 + 2 + 3 + … + n) = d/dn(n(n+1)/2) = (2n +1)/22.对Sn’(n)进行积分，得到Sn(n)：Sn(n) = ∫[(2n + 1)/2]dn = (n^2 + n)/2所以，数列1+2+3+…+n的和为Sn(n)=(n^2+n)/2、通过运用导数的巧妙方法，我们成功地求解了等差数列1+2+3+…+n的和。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列。
在等比数列中，如果已知首项a1、末项aN和公比q，我们需要求解的就是数列的和Sn，即a1 + a2 + a3 + … + an的和。
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n nn 3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1]求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法（等差乘等比）[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n xn x x x S [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n ∴1224-+-=n n n S 三、倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求证：nnn n n n n C n C C C 2)1()12(5321+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(5321++⋅⋅⋅+++=…………………………..①把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由mn nmn C C -=可得n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得nnn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴nn n S 2)1(⋅+=[例6]求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+=（2）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝1sin 1cos 2∴原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设S n ＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵)180cos(cosn n --=（找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质qp n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质NM N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15]求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个（找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅＝)91010(8111n n --+数列练习一、选择题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21 B.22 C.2 D.22.已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.73.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A.18B.24C.60D.90.4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于A．13B．35C．49D．635.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1,3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2（B ）－12（C ）12（D ）26.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和A.90B.100C.145D.1907.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（A）38（B）20（C）10（D）9.8.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A．2744n n+B．2533n n+C．2324n n+D．2n n+9.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A.90 B.100 C.145 D.190.二、填空题1设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =．2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1612T T 成等比数列．3.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .4.等比数列{n a }的公比0q >,已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =.数列练习参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a的公比为正数，所以q =,故2122a a q ===,选B 2.【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B。
高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧
数列求和通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a an S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn自然数方幂和公式：3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3评注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
利用导数解决数列的求和问题
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利用导数解决数列的求和问题
作者：徐庆峰
来源：《教育界》2011年第11期
【摘要】本文借助数列的特点，用高数的观点研究数列的性质，结合高数中的一些思想，将高数中的知识应用于中学数学的数列问题，探讨一些数列的解法。
【关键词】求导数列
在数学分析中利用导数求数列的和是一个很常用的方法，它是建立在数项级数的相关知
识的基础上。
但这与高中的数列求和是有区别的。
在数项级数中，由于求的是无穷项数列的和，因此就有收敛域的要求，因为收敛域内，才能满足Σ与导数可交换，才能利用导数来求级数的和，但对于有限项数列的求和，我们就没有了收敛域的要求，只是借用了级数求和的
思想。
由于极限的这一知识也进入了中学教材，数项级数的求和也可以有所体现的。
下面我
们利用一些例子来介绍这一方法。
例1：利用多项式的导数
此题可以用错位相减法解，一般的，能用错位相减法解的题目都可以用这个方法解。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
数列求和7种方法(方法全-例子多)精选全文
可编辑修改精选全文完整版数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数列求导及应用实例分析
数列求导及应用实例分析数列作为高中数学中的一个重要知识点，在数学领域中有着广泛的应用。
其中，数列求导是数列中的一个较为基础而且重要的概念。
本文将对数列求导及其应用作一简单分析。
一、数列求导的概念在微积分中，求导是一个经典的概念。
在数列中，我们也可以将这个概念应用于数列的表达式求导。
具体来说，对于一个数列$a_n$，我们可以定义其求导为：$$a_n'=lim_{h \rightarrow 0}\frac{a_{n+h}-a_n}{h}$$其中，$h$表示$n$的增量。
我们也可以将$a_n'$表示为$\frac{d}{dn}a_n$。
需要注意的是，对于数列求导，我们需要确保其求导后依然是数列。
也就是说，如果对于数列$a_n$求导后得到一个常数序列，那么原数列$a_n$就是一个等差数列。
二、数列求导的应用数列求导在实际中的应用十分广泛。
下面将就其应用实例作简单分析。
1. 求关于$x$的导数对于数列$a_n$，我们可以定义其在$x$处的导数为：$$\frac{d}{dx}a_n=\frac{d}{dn}a_n \cdot \frac{dn}{dx}$$其中，$\frac{dn}{dx}$表示$n$关于$x$的导数。
使用这个公式，我们可以快速地求出数列在特定位置的导数。
2. 求极值点通过求导，我们可以轻松地找到数列中的极值点。
具体而言，如果一个数列在某个点的导数为$0$，那么这个点就是数列的一个极值点。
通过对极值点的分析，我们可以更好地了解数列的性质和规律。
3. 实际应用数列在实际应用中有着广泛的应用。
以股票为例，每日的股票价格变化可以看作是一个数列。
通过对这个数列的求导，我们可以计算出每日股票价格变化的速率，进一步了解股票的波动趋势和收益率。
三、总结数列求导是数列中的一个重要概念，其应用范围广泛。
通过对数列的求导，我们可以更好地了解数列的性质和规律，为实际应用提供帮助和支持。
高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用
120难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.●案例探究［例1］求函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.xx x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解(2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′121=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x=12+x xf ′(12+x )［例2］利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属 ★★★★级题目.知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想.技巧与方法：第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导.解：(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时， ∵x +x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11, 两边都是关于x 的函数，求导得 (x +x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n ,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.xy ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′122 (x )=x y x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式：)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆. 2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A.0B.1C.－1D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0 B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0 D.x －y =0或25x －y =0 二、填空题 3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *).参考答案难点磁场解：由l 过原点，知k =00x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴00x y =x 02－3x 0+2123y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2又k =00x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83 ∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 歼灭难点训练一、1.解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1答案：B 2.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故 y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3,y 0(2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- ,由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x 或l B :y =－25x . 答案：A二、3.解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案：－14.解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案：n !三、5.解：设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1：y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①124对于C 2：y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0∴直线l 方程为y =0或y =4x －46.解：(1)注意到y ＞0,两端取对数，得ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxx e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得 ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得 31)1(31)1(131)1(131)111(311x x x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t -,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0.875(m/s)8.解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得 x +2x 2+3x 2+…+nx n =221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得 S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++Von Neumann说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。
巧妙利用函数的导数_解数列问题_颜复尊
{
[
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(
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(
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[(
(
) (
)
)]
巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
数列中来， 从而问题得到解决． 四、 精心构造， 巧妙运用 （ 1 ） 对任意的正实数 例 4 已知函数 f （ x ） = x － xlnx， x1 ， x2 ， 且 x1 ＜ x2 ． （ 1） 证明： （ x2 － x1 ） f'（ x2 ） ＜ f（ x2 ） － f（ x1 ） ＜ （ x2 － x1 ） f'（ x1 ） ； 1 1 + +…+ （ 2 ） 对任意的 n ∈ N + ， 且 n ≥2 ， 证明： ln2 ln3 1 1 － f（ n + 1 ） ＜ ． lnn ln2 ·lnn 1 ） 时， 解 （ 1 ） 因 为 f' （ x ） = － lnx， 所 以， 当 x ∈ （ 0， f' （ x） ＞ 0 ； + ∞ ） 时， f' （ x） ＜ 0 ． 故 f（ x） 在 x ∈ （ 0 ， 1 ） 上单 当 x∈（ 1 ， + ∞ ） 上单调递减． 调递增， 在 x∈（ 1 ， x1 x2 ， ＜ 所以， 对任 意 的 正 实 数 x1 ， 且 x1 ＜ x2 ， 有f x2 x f（ 1 ） ， f 2 ＜ f（ 1 ） ． x1 x1 x1 x1 x1 ＜ f（ 1） ， － ln ＜ 1， 由f 得 即 x2 － x1 － x2 x2 x2 x2 x2 （ lnx2 － lnx1 ） ＜ 0 ， 所以 f（ x2 ） － f（ x1 ） － （ x2 － x1 ） f' （ x1 ） = x2 － x1 － x2 （ lnx2 － lnx1 ） ＜ 0 ， 故： f（ x2 ） － f（ x1 ） ＜ （ x2 － x1 ） f' （ x1 ） ， ①． x2 ） ＜ f（ 1 ） ， 由 f（ 同理可证（ x2 － x1 ） f' （ x2 ） ＜ f （ x2 ） － x1 f （ x1 ） ， ②． 综合 ①②， 得（ x2 － x1 ） f' （ x2 ） ＜ f （ x2 ） － f （ x1 ） ＜ （ x2 － x1 ） f' （ x1 ） ． ln（ x + k） （ 2） 对 k = 1， 2， …， n － 2， （ x ＞ 令 gk （ x ） = lnx 1） ， 则 lnx ln（ x + k） － x+k x xlnx － （ x + k） ln（ x + k） g k ' （ x） = = ， ln2 x x（ x + k） ln2 x 0 ＜ lnx ＜ ln （ x + k ） ， 显然 1 ＜ x ＜ x + k， 所以 xlnx ＜ （ x + k） ln （ x + k ） ， g k （ x ） 在 （ 1 ，+ ∞ ） 上 单 调 所 以 gk ' （ x ） ＜ 0，
导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法
导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)n C x nx y n -+== (1,0)P -n C 的切线，切点为．(0)n n k k >n l (,)n n n P x y （1）求数列的通项公式； {}{}n n x y 与（2）证明：．13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅<<A A A A 【解析】曲线是圆心为，半径为的圆， 222:()n C x n y n -+=(,0)n n 切线 :(1)n n l y k x =+ （Ⅰ，解得，又，n =2221n n k n =+2220n n n x nx y -+= 联立可解得， (1)n n ny k x =+,1n n n x y n ==+（Ⅱ=n n x y = 先证：， 13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅< 证法一：利用数学归纳法 当时，，命题成立， 1n =112x =<假设时，命题成立，即 n k =13521kx x x x -⋅⋅⋅⋅< 则当时，1n k =+135212121k kk x x xx x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵， 2222416161483k kk k ++=>++．<=∴当时，命题成立，故成立． 1n k =+13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-nnnnnnnnnnn xxnnnnnxxxx+-=+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-1112112125331212432112531<不妨设，令，t=()f t t t=则在上恒成立，故在上单调递减，()10f tt'=<t∈()f t t t=t∈从而()(0)0f t t t f=-<=<综上，成立．13521nnnxx x x xy-⋅⋅⋅⋅<<2．设函数表示的导函数．2()2(1)ln(),()kf x x x k N f x*'=--∈()f x（I）求函数的单调递增区间；()y f x=（Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；na2111,()3n n na a f a a+'==-2na （Ⅲ）当k为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式()12nb f n n'=-{}n b n n S对一切正整数均成立，并比较与的大小．()111n bnb e++>n20091S-2009ln解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又，212[(1)]()22(1)kkxy f x xx x--''==--=当k为奇数时，，122(1)()xf xx+'=即的单调递增区间为．(0,),()0(0,)x f x'∈+∞∴>+∞在恒成立.()f x'(0,)+∞当k为偶函数时，222(1)2(1)(1)()x x xf xx x-+-'==(0,),0,10,x x x∈+∞>+>又由，得，即的单调递增区间为，()0f x'>10,1x x->∴>()f x(1,)+∞综上所述：当k 为奇数时，的单调递增区间为， ()f x (0,)+∞当k 为偶数时，的单调递增区间为()f x (1,).+∞（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知， 所以22(1)()x f x x-'=22(1)().n n n a f a a -'=根据题设条件有 2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+∴{}是以2为公比的等比数列， 21n a +∴ 221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=-（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+ 11111(),1.223n n b f n n S n n'∴=-= =+++⋅⋅⋅+由已知要证两边取对数，即证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭事实上：设则 11,t n+=1(1),1n t t =>-因此得不等式 …………………………………………① 1ln 1(1)t t t>->构造函数下面证明在上恒大于0．1()ln 1(1),g t t t t=+->()g t (1,)+∞∴在上单调递增，即211()0,g t t t '=->()g t (1,)+∞()(1)0,g t g >=1ln 1,t t>-∴ ∴即成立．11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭()111n b n b e ++>由得 11ln,1n n n +>+111231ln ln ln ln(1),23112n n n n +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即当时， 11ln(1),n S n +-<+2008n =20091S -<2009.ln3．已知，函数． 0a >1()ln xf x x ax-=+（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为，求证：n S 111()(2)n n nS f n S n N n n---<-<∈*≥且解：（Ⅰ）的定义域为，，由得． ()f x ()0,+∞21()ax f x ax -'=()0f x '=1x a=当时，，递减； 1(,x a a∈()0f x '<()f x 当时，，递增． 1(,)x a∈+∞()0f x '>()f x所以不是定义域上的单调函数．()y f x =（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立． ()f x x ∈[1,)+∞()0f x '≥1a x≥即．1max,[1,)a x x ⎧⎫≥ ∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数， 1a =1()ln xf x x x-=+[1,)+∞ 111()ln ln ,n n nf n n n n n n----=+-= 又当时，， ，即．1x >()(1)f x f >1ln 0x x x -∴+>1ln 1x x>- 令则，当时，()1ln ,g x x x =--1()1g x x'=-(1,)x ∈+∞()0.g x '>从而函数在上是递增函数， ()g x [1,)+∞所以有即得()(1)0,g x g >=1ln .x x -> 综上有： 11ln 1,(1).x x x x-<<->111ln .1x x x x+∴<<+ 令时，不等式也成立，1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且111ln .1x x x x+∴<<+ 于是代入，将所得各不等式相加，得1112311...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++--即 11111...ln 1. (2321)n n n +++<<+++-即 111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且4．设函数．（是自然对数的底数）()(1),()x f x e x g x e =-=e （Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由； ()()()H x f x g x =-（Ⅱ）设数列满足：，且 {}n a 1(0,1)a ∈1()(),,n n f a g a n N *+=∈①求证：；②比较与的大小．01n a <<n a 1(1)n e a +-解：（Ⅰ）， 令 ()(1)x H x e e '=--0()0,ln(1)H x x e '= =- 当时，在上是增函数 0(,)x x -∞()0,H x '> ()H x 0(,)x x -∞ 当时，在上是减函数 0(,)x x +∞()0,H x '< ()H x 0(,)x x +∞ 从而max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x H x H e x e e e e ==-+-=---+注意到函数在上是增函数， ()ln 1k t t t t =-+[)1,+∞ 从而 从而 ()(1)0,11k t k e ≥=->又0()0H x > 综上可知：有两个零点．()H x （Ⅱ）因为即， 所以 1()(),n n f a g a +=1(1)1na n e a e +-+=11(1)1n a n a e e +=-- ①下面用数学归纳法证明． 当时，，不等式成立． (0,1)n a ∈1n =1(0,1)a ∈ 假设时， 那么 n k =(0,1)k a ∈11(1)1k a k a e e +=--1011kka a e e e e << ∴<-<- 即 10(1)11k a e e ∴<-<-1(0,1)k a +∈ 这表明时，不等式成立． 所以对， 1n k =+n N *∈(0,1)n a ∈②因为，考虑函数1(1)1na n n n e a a e a +--=--()1(01)x p x e x x =-- << ，从而在上是增函数()10x p x e '=->()p x (0,1)()(0)0p x p >=所以，即1(1)0n n e a a +-->1(1)n n e a a +->5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列． {}n a n S n n N *∈2,,n n n a S a （1）求数列的通项公式；{}n a（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，{}n b n n T 2ln n n nxb a =(1,](x e e ∈e=2．71828…）和任意正整数，总有；n 2n T <（3）在正数数列中，．求数列中的最大项． {}n c 11(),()n n n a c n N +*+=∈{}n c 解：由已知：对于，总有成立 (1)n N *∈22n n n S a a =+ (2)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+-- 111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-均为正数，1,n n a a - 11(2)n n a a n -∴-=≥ 数列是公差为1的等差数列∴{}n a 又时，，解得，1n =21112S a a =+11a =()n a n n N *∴=∈（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有(]1,x e ∈n 22ln 1n n n x b a n=≤222111111...1...121223(1)n T n n n∴≤+++<++++⋅⋅-⋅1111111(1() (22223)1n n n ⎛⎫=+-+-++-=-<⎪-⎝⎭（3）解：由已知22112a c c ==⇒= ，33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得55445a c c ==⇒=12234,......c c c c c <>>> 猜想时，是递减数列2n ≥{}n c令，则 ln ()x f x x=221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==当时，，则，即 ∴3x ≥ln 1x >1ln 0x -<()0f x '< 在内为单调递减函数， ∴()f x [)3,+∞由知 11n n n a c ++=ln(1)ln 1n n c n +=+ 时，是递减数列，即是递减数列 2n ∴≥{}ln n c {}n c又，数列中的最大项为12c c <∴{}n c 2c =6．已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数的极值点；()()2()F x f x g x =-⋅（2）若函数在上有零点，求的最小值；()()2()F x f x g x =-⋅),()te t Z ⎡+∞∈⎣t （3）证明：当时，有成立；0x >[]1()1()g x g x e +<（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相1(1)()()g n n b g n n N *+=∈{}n b ()n m b b m n =≠等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．e 解：（1）由题意，的定义域为23()ln 228F x x x x =++-(0,)+∞,函数的单调递增区间为和， (32)(2)()4x x F x x --'=∴()F x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦[)2,+∞的单调递减区间为，()F x 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以为的极大值点，为的极小值点，23x =()F x 2x =()F x （2）在上的最小值为 ()F x 2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)F且，在上没有零点， 23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只∴()F x ),te ⎡+∞⎣()F x 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦须且即可，23t e <()0F t ≤易验证 121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当时均有所以函数在上有零点， 2,t t Z ≤∈()0,t F e <()F x )1,()t e e t Z -⎡∈⎣即函数在上有零点， 的最大值为()F x ),()te t Z ⎡+∞∈⎣t ∴2-（3）证明：当时，不等式0x >[]1()1()g x g x e +<即为： 11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+<构造函数则 ()ln(1)(0),h x x x x =+->1()10,11x h x x x-'=-=<++所以函数在上是减函数，因而时， ()h x (0,)+∞0x >()(0)0,h x h <=即：时，成立，所以当时，成立；0x >ln(1)x x +<0x >[]1()1()g x g x e +<（4）因为 1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1n n n n n n n n n n n b n n e n n b n b n n n n n++++++++++++===⋅+<<令，得， 23(1)1n n+<2330n n -->因此，当时，有4n ≥(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当时，，即 4n ≥1n n b b +>456...b b b >>>又通过比较的大小知：， 1234b b b b 、、、1234b b b b <<<因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项11,b =1n ≠111,n n b n +=≠{}n b 23b b 、可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项， 11113964283528,35b b b b ====>={}n b 即．28b b =7．在数列中， {}n a 12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列为等差数列； }2{nn a（II ）若m 为正整数，当时，求证：． 2n m ≤≤1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤解：（I ）由变形得：1122+++=n n n a a 122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列是以为首项，1为公差的等差数列 }2{nn a121=a （II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅= m m n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令mn m nn m n f n m n f 123()()1(,23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当mn m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时m m m n m 11)32()211(32()11(⋅-+≥⋅-+=又 23221211211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 123(211>-+∴则为递减数列． )(,1)1()(n f n f n f 则>+当m=n 时，递减数列．)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴ mm m m f x f m m 1)1(49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证要证：时，2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证49221212212122122)1(121111(22010=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．（法二）由（I ）得n n n a 2⋅= mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m xm x则上单调递减． ],2[)(0)(',11,2m x f x f mx m m x 在即<∴<+-∴≤≤ ∴ mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证，时而2,)11(149≥+≤m mm49221212212122122)1(121111(22210=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．。
专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0， 由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；
利用导数证明数列不等式(含解析)
利用导数证明数列不等式(含解析)利用导数证明数列不等式是高考中常见的题型，可以考查学生灵活运用知识的能力。
这种题型一方面以函数为背景，让学生探究函数的性质；另一方面，体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为有具体特征的数列。
可以说，这种题型涉及到函数、导数、数列和不等式，是一题多考的巧妙结合，也是近年来高考的热门题型。
常见的题型有两种类型：一种是利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题，另一种是利用递推公式处理通项公式中的不等问题。
恒成立不等式的来源主要有两种：一是函数的最值，最值可以提供XXX成立的不等式；二是恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式。
常见的恒成立不等式有lnxx+1.关于前n项和的放缩问题，求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决。
高中阶段求和的方法有倒序相加、错位相减、等比数列求和公式和裂项相消。
在处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，应优先考虑。
对于数列求和不等式，要从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。
在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向。
放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向，朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）。
数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明。
经典例题是已知函数f(x)=kx-xlnx，求函数f(x)的单调区间、当<x≤1时，f(x)≤k恒成立的k的取值范围，以及证明ln1ln2+23+lnnn(n-1)≤n+14.1.已知函数$f(x)=\ln(ax+1)(x\geq0,a>0)$，$g(x)=x-\frac{x^3}{3}$。
1）讨论函数$y=f(x)-g(x)$的单调性；2）若不等式$f(x)\geq g(x)+1$在$x\in[0,+\infty)$时恒成立，求实数$a$的取值范围；3）当$a=1$时，证明：frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdots(3572n+1)}+\frac{1}{2\cdot4\cd ot6\cdots(3572n+2)}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<f^{(n)}(n)(n\in N^*),$$其中$f^{(n)}(n)$表示$f(x)$的$n$阶导数在$x=n$处的值。
数列与导数结合题型
选择题已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n = n2 + 2n，则数列{a_n} 的通项公式为？A. a_n = 2n + 1B. a_n = 2n - 1C. a_n = 2n（n=1时，a_1=3）（正确答案）D. a_n = n2 + 2n设数列{a_n} 满足a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2n，则数列{a_n} 的通项公式为？A. a_n = n2B. a_n = n(n-1)C. a_n = n2 - n + 1D. a_n = n(n+1)（正确答案）已知数列{a_n} 的通项公式为a_n = n2 - 5n + 6，则数列{a_n} 的前n项和S_n 的最小值为？A. 6B. 0（正确答案）C. -1D. -2设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2x，数列{a_n} 满足a_n = f(n)，则数列{a_n} 的单调递增区间为？A. [1, +∞)B. [2, +∞)（正确答案）C. [1, 2]D. [2, 3]已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n = 2n - 1，则数列{na_n} 的前n项和T_n 为？A. (n-1)2{n+1} + 1B. (n-1)2n + 1（正确答案）C. n2n - nD. n2{n+1} - n设函数f(x) = ex - x - 1，数列{a_n} 满足a_n = f(n)，则数列{a_n} 的单调性为？A. 单调递减B. 单调递增（正确答案）C. 先增后减D. 先减后增已知数列{a_n} 的通项公式为a_n = n/(n+1)，则数列{a_n} 的前n项和S_n 的极限为？A. 1B. 0C. nD. 无穷大（正确答案）设函数f(x) = ln(x+1) - x，数列{a_n} 满足a_n = f(1/n)，则数列{a_n} 的极限为？A. 0（正确答案）B. 1C. -1D. 无穷大已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n = n3/3 + n2/2 + n/6，则数列{a_n} 的通项公式为？A. a_n = n2/2 + n/2B. a_n = n2 + nC. a_n = n2（n=1时，a_1=1）（正确答案）D. a_n = n2 - n + 1。