二维图形几何变换 ppt课件
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计算机图形学PPT神奇的齐次坐标与二维图形变换
0 P’
例如：关于X轴对称
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’=x
x
y’=-y
2 几何变换
以二维为例：
错切：也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
y
y
y
(a)原图
x
x
x
(b)沿x方向错切
(c)沿y方向错切
2 几何变换
以二维为例： 错切：也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
2 几何变换
以二维为例：
平移：指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位 过程,是 一种不产生变形而移动物体的刚体变换。
y
P’
PT
Ty
Tx
0
x
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’=x+Tx y’=y+Ty
Tx ：x方向的平移矢量 Ty ：y方向的平移矢量
2 几何变换
以二维为例：
比例：对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx 和Sy称 为比例系数。
旋转
x’=xcosθ -ysinθ y’=xsinθ +ycosθ
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
3 齐次坐标的引入
T1
T3
a b p
x' y' 1 x y 1T2D x y 1c d q
l m s
T2
T4
其中：
T1是对图形进行比例、旋转、对称、 错切等变换；
T2是对图形进行平移变换； T3是对图形作投影变换； T4则可以对图形作整体比例变换。
旋转
x’=xcosθ -ysinθ y’=xsinθ +ycosθ
例如：关于X轴对称
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’=x
x
y’=-y
2 几何变换
以二维为例：
错切：也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
y
y
y
(a)原图
x
x
x
(b)沿x方向错切
(c)沿y方向错切
2 几何变换
以二维为例： 错切：也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
2 几何变换
以二维为例：
平移：指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位 过程,是 一种不产生变形而移动物体的刚体变换。
y
P’
PT
Ty
Tx
0
x
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’=x+Tx y’=y+Ty
Tx ：x方向的平移矢量 Ty ：y方向的平移矢量
2 几何变换
以二维为例：
比例：对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx 和Sy称 为比例系数。
旋转
x’=xcosθ -ysinθ y’=xsinθ +ycosθ
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
3 齐次坐标的引入
T1
T3
a b p
x' y' 1 x y 1T2D x y 1c d q
l m s
T2
T4
其中：
T1是对图形进行比例、旋转、对称、 错切等变换；
T2是对图形进行平移变换； T3是对图形作投影变换； T4则可以对图形作整体比例变换。
旋转
x’=xcosθ -ysinθ y’=xsinθ +ycosθ
六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示ppt课件
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。
1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
2019/3/3
二维变换的复合(例二）
关于任意 点P1比例 变换一个 物体。
2019/3/3
二维变换的复合（小结）
假设我们想要使图中的房子以任意点P1为中心进行旋转、平移和缩放（比例）变换 。这时具体步骤与上述类似：先将点 P1平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后 再将房子从坐标原点平移到新的位置P2，因此记录变换的数据结构可以是包含比例 变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据结构，或者只是简单地记录复合变换 矩阵的数据结构：
型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多2020101原始的房子a初始位置及所在的坐标系b变换后所在的坐标系与原坐标系之间的关系型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多2020101空间坐标系型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多2020101p112p112p242p222p343p325p413p415t1t1综合矩阵型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多2020101型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多2020101
2019/3/3
二维及三维空间的变换概念、矩阵表示、三维视图
二维、三维空间的变换概念及其矩阵表示
• 几何变换
– – – – – – – – 二维变换 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 二维变换的复合 窗口到视口的变换 效率问题 三维变换的矩阵表示 三维变换的复合 坐标系的变换
计算机图形学课件二维图形变换分解
2 2 U U U ux u y uz 2
单位矢量 矢量的夹角
cos
矢量的叉积
U V U V
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
变换的数学基础
矩阵
m n
阶矩阵
n阶方阵
零矩阵 行向量与列向量
单位矩阵
矩阵的加法 矩阵的数乘
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
5.基本几何变换的齐次坐标表示
平移变换
x
y 1 x
1 y 1 0 Tx
矩阵的乘法
矩阵的转置 矩阵的逆
变换的数学基础
矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个 整体，简称m×n矩阵。
A=
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... a m 1 a m 2 ... a mn
（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的 倾斜线，而保持y坐标不变。
y
几何关系
x' x x y' y 令 a ctg 有 x yctg ay
x ' x ay y' y
△x
x
矩阵形式
x
y 1 x
a b T1 c d
的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着 对图形进行错切变换。 令b＝0可以得到沿x方向的错切变换，c>0是沿x正向的错 切变换，c<0是沿x负向的错切变换. 令c＝0可以得到沿 y方向的错切变换，b>0是沿y正向的错切变换，b<0是 沿y负向的错切变换.
单位矢量 矢量的夹角
cos
矢量的叉积
U V U V
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
变换的数学基础
矩阵
m n
阶矩阵
n阶方阵
零矩阵 行向量与列向量
单位矩阵
矩阵的加法 矩阵的数乘
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
5.基本几何变换的齐次坐标表示
平移变换
x
y 1 x
1 y 1 0 Tx
矩阵的乘法
矩阵的转置 矩阵的逆
变换的数学基础
矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个 整体，简称m×n矩阵。
A=
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... a m 1 a m 2 ... a mn
（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的 倾斜线，而保持y坐标不变。
y
几何关系
x' x x y' y 令 a ctg 有 x yctg ay
x ' x ay y' y
△x
x
矩阵形式
x
y 1 x
a b T1 c d
的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着 对图形进行错切变换。 令b＝0可以得到沿x方向的错切变换，c>0是沿x正向的错 切变换，c<0是沿x负向的错切变换. 令c＝0可以得到沿 y方向的错切变换，b>0是沿y正向的错切变换，b<0是 沿y负向的错切变换.
第三章 (几何变换之一)ppt课件
平移
则有
x ' y ' 1 x 4 y 4 1 x T ST x T 1 y 1 1 1 2 1 y 1 1
x 4
1 0 0 y x 0 1 0 4 1 3 y 3 1 x 0 y 0 1
任意点比例变换示意图
P xy
y P x
2 基本二维图形几何变换
1.平移变换（translation）
T x 平行于x轴的方向上的移动量 T y 平行于y轴的方向上的移动量
几何关系
y
P
x' x Tx y' y Ty
矩阵形式
T
y
（5-7）
P
y （5-8） x x y T xT y
x 1
平移
y 1 1
1 0 0 x x 0 1 0 2 y 2 1 1 y 1 1 x y 0 0 1
比例
T T ST 1 2
S 0 0 x x x 0 S 0 3 y 3 1 2 y 2 1 y 0 0 1
平移变换
1 0 0 y 1 x x y 1 0 1 0 T x T y 1
S 0 0 x 0 S 0 y 1 x x y 1 y 0 0 1
比例变换
旋转变换： 逆时针为正
sin 0 cos y 1 x x y1 sin cos 0 0 1 0
x ' ( x x ) x x 2 x c c c y ' y 变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
则有
x ' y ' 1 x 4 y 4 1 x T ST x T 1 y 1 1 1 2 1 y 1 1
x 4
1 0 0 y x 0 1 0 4 1 3 y 3 1 x 0 y 0 1
任意点比例变换示意图
P xy
y P x
2 基本二维图形几何变换
1.平移变换（translation）
T x 平行于x轴的方向上的移动量 T y 平行于y轴的方向上的移动量
几何关系
y
P
x' x Tx y' y Ty
矩阵形式
T
y
（5-7）
P
y （5-8） x x y T xT y
x 1
平移
y 1 1
1 0 0 x x 0 1 0 2 y 2 1 1 y 1 1 x y 0 0 1
比例
T T ST 1 2
S 0 0 x x x 0 S 0 3 y 3 1 2 y 2 1 y 0 0 1
平移变换
1 0 0 y 1 x x y 1 0 1 0 T x T y 1
S 0 0 x 0 S 0 y 1 x x y 1 y 0 0 1
比例变换
旋转变换： 逆时针为正
sin 0 cos y 1 x x y1 sin cos 0 0 1 0
x ' ( x x ) x x 2 x c c c y ' y 变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
二维图形几何变换-PPT
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
简化计算(θ很小)
1 0
x' y' 1 x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
Y
Y
Y
X (a)关于x轴对称
X (b)关于y轴对称
X (c)关于原点对称
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
光栅变换
任意角度得Байду номын сангаас栅旋转变换:
旋转的 象素阵列
A
1A 3
光栅网格
2
n
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上得覆盖率](Gray(x)表示某点得灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上得覆盖率+ Gray(2) × A在2上得覆盖率+ Gray(3) × A在3上得覆盖率
光栅变换
光栅比例变换:
n
∑ [Gray(i) × Si] Gray(A)= i=1
n
∑ Si
i=1
缩小时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1/2,Xy=1/2
(b)原图
12
1
43
2
放大时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1,Xy=3/2
G=(G1+G2+G3+G4)/4
G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
O
x0
x
图6-9 坐标系间的变换
坐标系之间得变换
分析: y
y'
p,也即p' x'
第4章二维变换.ppt
变换的数学基础(3/4)
– 矢量的长度
U
U U
ux2
2 y
u
2 z
• 单位矢量
• 矢量的夹角 cosq
U V
U V
– 矢量的叉积
i jk U V ux uy uz
vx vy vz
变换的数学基础(4/4)
• 矩阵
– mn
阶矩阵
– n阶方阵
– 零矩阵
– 行向量与列向量
– 单位矩阵
• 优越性 • 提供了用矩阵运算把二维三维甚至高维
空间的点集从一个坐标系变换到另一个 坐标系的方法。 • 可以表示无穷远的点
4.3.2 齐次坐标
什么是齐次坐标表示？
——用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的 方法。例如：
二维点P （x,y）（x,y为笛卡儿直角坐标）齐次坐标表示为:
（0.0，0.0，0.0）~（1.0，1.0，1.0）
坐标变换
用户域
窗口区
4.1.2坐标的转换
用户Y
观察坐标
用户坐标
（X0, Y0）
0
用户X
观察坐标到用户坐标的变换矩阵（写出）：
将观察坐标原点平移；旋转观察坐标与用户坐标重叠
4.1 坐标系、窗口与视区（续）
4.1.3什么是窗口、视区？ 1. 窗口
二维图形变换(只考虑仿射变换: p=q=0)
采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式： ab0
[ x´ y ´ 1 ] = [ x y 1 ] c d 0 lm1
P´=
变换后的 顶点坐标
P•
变换前的 顶点坐标
T2D
二维变换矩阵
六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示ppt课件
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
2020/6/26
二维变换的矩阵表示
平移变换
正方体旋转45度，然后进行不均匀的比例变换。很明显，正方体的角度和长度都
发生了变化，但那些原来平行的线仍保持平行，再继续进行旋转、比例和平移变
换也不会改变线的平行性，R(θ)、S(sx,sy)和T(dx,dy)都是仿射变换。 R(θ)、 T(dx,dy)也是刚体变换保长保角。
2020/6/26
错切变换（一种仿射变换）
3）如果将每个向量所指的方向旋转R(θ)，那么
这些方向量便可位于正x轴、y轴方向上，
即:
前两个特点也适用于该2×2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个
方向量就是沿x轴和y轴正方向的向量(i,j,k)经矩阵R变换后而得到的.
因此，当已知旋转变换的结果时，这些特点便
0
sin
为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。
齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
2020/6/26
二维变换的矩阵表示
平移变换
正方体旋转45度，然后进行不均匀的比例变换。很明显，正方体的角度和长度都
发生了变化，但那些原来平行的线仍保持平行，再继续进行旋转、比例和平移变
换也不会改变线的平行性，R(θ)、S(sx,sy)和T(dx,dy)都是仿射变换。 R(θ)、 T(dx,dy)也是刚体变换保长保角。
2020/6/26
错切变换（一种仿射变换）
3）如果将每个向量所指的方向旋转R(θ)，那么
这些方向量便可位于正x轴、y轴方向上，
即:
前两个特点也适用于该2×2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个
方向量就是沿x轴和y轴正方向的向量(i,j,k)经矩阵R变换后而得到的.
因此，当已知旋转变换的结果时，这些特点便
0
sin
为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。
齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
第四章 图形变换.ppt
cos
使矩形ABCD绕坐标原点逆时针旋转30°，其各点
坐标为：A(0,0)、B(2,0)、C(2,1.5)、D(0,1.5)，则变换
后各点坐标为：0
2 2 0
0
0
0
1.5
1.5
cos30 sin 30
sin 30 cos30
1.732 0.982 0.75
例2：平移——旋转
1 0 0 cos sin 0
T 0 l
1 m
0 sin 1 0
cos
0
0 1
c os
s in
0
sin
cos
0
l cos m sin l sin m cos 1
可见平移量受旋转量影响。
三 三视图的变换矩阵
（一）三维物体数学模型的建立 变换方法
（二） 三视图的变换矩阵
1 主视图投影变换矩阵
主视图是立体向XOZ面（V面）作正投影，立体向 V面作正投影的实质是压缩变形，即所有的 y=0，可通 过单位变换矩阵控制Y坐标的第2列各元素为零，即：
3 对称变换 图 1 0
（1）对XOY坐标平面的对称变换 T 0 1
0 0 0 0
0 0
0 0
1 0
0
1
1
（2）对XOZ坐标平面的对称变换 T 0
0 0
00 1 0 01 00
0
0
0
1
1 0 0 0
（3）对YOZ坐标平面的对称变换T 0 1 0 0
1
平移矩阵为：T 0
l
0 0 1 0
m 1
1 0 0
第四章 图形的几何变换.ppt
y
A*
*
A
θ
x
α
0
绕原点逆时针 旋转一定角度θ
旋转变换矩阵：
cos sin
Tr sin
cos
新点的坐标：
x
ycsoisn
sin
cos
x cos y sin x sin y cos
x y
4.2.1 二维基本变换之错切变换
3. 对坐标轴的对称变换（对 y 轴） ，变换矩阵为：
y C
A
B
O
x
y C
B
C B
A A
O
x
1 0 0
T3m
0
1 0
0 0 1
4. 绕原点顺时针旋转，使直线回到原来与 y 轴 成 角的位置，变换矩阵为：
y C
B
A O
y
B
C
cos sin 0
平面图形绕任意点 p(xp, yp )（设该点位于第一象
限）逆时针旋转 角，步骤如下：
1. 将旋转中心平移到原点，变换矩阵为：
1 0 0
Tt 1
0
1 0
－x p y p 1
4.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换
2. 将图形绕坐标系原点逆时针旋转一定
角度 ，变换矩阵为：
－1 0 0
Tmo
0
－1
0
0 0 1
0 －1 0 Tm ,45 －1 0 0
0 0 1
3. 旋转变换矩阵：
cos sin 0
Tr sin cos 0
0
0 1
[课件]计算机图形学--二维几何变换PPT
![[课件]计算机图形学--二维几何变换PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/cd1cee150b4c2e3f57276323.png)
2018/12/2 34
连续旋转变换
应用于点P的两个连续旋转，得到的点P’的 坐标可计算为 P’ = R(θ2)[ R(θ1)P]= [R(θ2)R(θ1)]P 可以证明：两个连续旋转是可叠加的 R(θ2)*R(θ1)= R(θ1+θ2) 则P’的坐标可计算为 P’ = R(θ1+θ2)P
Other Transformations
大多数图形软件包中包含了平移、旋转和 缩放这些基本变换。有些软件包还提供一 些有用的其它变换，如反射(Reflection)和 错切(Shear)
2018/12/2
28
Reflection对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点 ty)P
2018/12/2 25
对于绕坐标原点的旋转变换
可简写为：P’ = R(θ)P
2018/12/2 26
对于相对于坐标原点在X和Y方向上的缩放变换
可简写为：P’ =S(sx , sy)P T、R和S分别时平移、旋转、缩放变换距阵
2018/12/2 27
2018/12/2
9
标准的旋转是当基准点在坐标 原点时，即物体绕坐标原点的 旋转。点P绕原点逆时针旋转θ, 得到P’点。则P和P’的坐标之 间的关系，如图，可如下表示 x’=rcos(θ+Ψ) =rcosθcosΨ - rsinθsinΨ y’=rsin(θ+Ψ) =rsinθcosΨ + rcosθsinΨ
P2 M 1 P1 M 2
21
齐次坐标：
是Maxwell.E.A在1946年从几何的角度提出来
的，它的基本思想是把一个n维空间的几何问 题转换到n+1维空间中去， 从形式上来说，就是用一个n+1维的向量表示 一个n维向量的方法，即n+1维向量表示n维空 间中的点。
连续旋转变换
应用于点P的两个连续旋转，得到的点P’的 坐标可计算为 P’ = R(θ2)[ R(θ1)P]= [R(θ2)R(θ1)]P 可以证明：两个连续旋转是可叠加的 R(θ2)*R(θ1)= R(θ1+θ2) 则P’的坐标可计算为 P’ = R(θ1+θ2)P
Other Transformations
大多数图形软件包中包含了平移、旋转和 缩放这些基本变换。有些软件包还提供一 些有用的其它变换，如反射(Reflection)和 错切(Shear)
2018/12/2
28
Reflection对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点 ty)P
2018/12/2 25
对于绕坐标原点的旋转变换
可简写为：P’ = R(θ)P
2018/12/2 26
对于相对于坐标原点在X和Y方向上的缩放变换
可简写为：P’ =S(sx , sy)P T、R和S分别时平移、旋转、缩放变换距阵
2018/12/2 27
2018/12/2
9
标准的旋转是当基准点在坐标 原点时，即物体绕坐标原点的 旋转。点P绕原点逆时针旋转θ, 得到P’点。则P和P’的坐标之 间的关系，如图，可如下表示 x’=rcos(θ+Ψ) =rcosθcosΨ - rsinθsinΨ y’=rsin(θ+Ψ) =rsinθcosΨ + rcosθsinΨ
P2 M 1 P1 M 2
21
齐次坐标：
是Maxwell.E.A在1946年从几何的角度提出来
的，它的基本思想是把一个n维空间的几何问 题转换到n+1维空间中去， 从形式上来说，就是用一个n+1维的向量表示 一个n维向量的方法，即n+1维向量表示n维空 间中的点。
第4章 二维图形变换_几何变换
y=-x
y
几何关系
x' y y' x
o
x
矩阵形式
对称变换（5）
x
y 1 x
0 1 0 y 1 1 0 0 y x 1 0 0 1
2.错切变换（shear） （1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的
（4-1）
a b x ' y ' x y T x, y c d x ' ax cy a S x c 0 ' b 0 d S y y bx dy
矩阵形式
x
y x
Sx S y
y
2.旋转变换（rotation）
P
点P绕原点逆时针转θ度角 （设逆时针旋转方向为正方向）
P
x
旋转变换
几何关系
x r cos y r sin
（4-3）
x' r cos( ) r cos cos－r sin sin y ' r sin( ) r cos sin ＋r sin cos
4.齐次坐标表示
( x1 , x2 ,..., xn )
有n个分量的向量
(x1 , x2 ,..., xn , )
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
1 2 1 2 1 2 1 2
1
y
几何关系
x' y y' x
o
x
矩阵形式
对称变换（5）
x
y 1 x
0 1 0 y 1 1 0 0 y x 1 0 0 1
2.错切变换（shear） （1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的
（4-1）
a b x ' y ' x y T x, y c d x ' ax cy a S x c 0 ' b 0 d S y y bx dy
矩阵形式
x
y x
Sx S y
y
2.旋转变换（rotation）
P
点P绕原点逆时针转θ度角 （设逆时针旋转方向为正方向）
P
x
旋转变换
几何关系
x r cos y r sin
（4-3）
x' r cos( ) r cos cos－r sin sin y ' r sin( ) r cos sin ＋r sin cos
4.齐次坐标表示
( x1 , x2 ,..., xn )
有n个分量的向量
(x1 , x2 ,..., xn , )
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
1 2 1 2 1 2 1 2
1
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0 0 1
Y Y
对称变换
(3)关于原点对称
P(x,y) X
(c)关 于 原 点 对 称
X
(c)关 于 原 点 对 称
1 0 0
0
1
0
0 0 1
Y Y
对称变换
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x,y)
p'(y,x) X
(d)关 于 x=y对 称
X (d)关 于 x=y对 称
0 1 0
0 0 s
问题：S>1时缩还是放？
a b p
x' y' 1x y 1T2Dx y 1c d q
l ms
[x’ y’ 1]=[x y s]=[x/s y/s s/s]
旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正， 顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。
Y
P'
r
θr
P
α
X
图 6-4 旋 转 变 换
复合变换
6.3.5 相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：
(1) 平移
P’
(2) 针对原点进行二维几何变换。 y
θ
P
(3) 反平移
F(xF,yF)
o
x
相对任一参考点的二维几何变换
Y Y
对称变换
(1)关于x轴对称
P(x,y) X
P'(x,-y) (a)关 于 x轴 对 称
X (a)关 于 x轴 对 称
1 0 0
0
1
0
0 0 1
对称变换
(2)关于y轴对称
P'(-x,y) p(x,y) X
(b)关 于 y轴 对 称
Y Y
X (b)关 于 y轴 对 称
1 0 0
0
1
0
y’= rsin(a+θ)
= rcosacosθ-rsinasinθ = rcosasinθ+rsinacosθ
= x cos θ-y sinθ
= x sin θ+y cosθ
矩阵：逆时针旋转θ角 顺时针旋转θ角?
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
简化计算（θ很小）
1 0
1
0
0
0 0 1
对称变换
(5)关于y=-x轴对称 x=-y P(x,y) X P'(-y,-x) (e)关 于 x=-y对 称
Y
Y
X (e)关 于 x=-y对 称
0 1 0
1
0
0
0剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变 形处理。
Y
Y
Y
X (a) 原图
x' y' 1x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
Y
Y Y
X (a)关 于 x轴 对 称
X (b)关 于 y轴 对 称
X (c)关 于 原 点 对 称
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
Y
Y
X (d)关 于 x=y对 称
X (e)关 于 x=-y对 称
X
(b) 沿x方向错切
图6-7 错切变换
X (c) 沿y方向错切
错切变换
其变换矩阵为：
1 d 0
b
1
0
0 0 1
(1)沿x方向错切 (2)沿y方向错切 (3)两个方向错切
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成 P’ = P * T 的形式： 1. 点的变换 2. 直线的变换 3. 多边形的变换 4. 曲线的变换
4.1.3 复合变换
复合变换是指： 图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
复合变换具有形式：
P'PTP(T1T2T3Tn) PT1T2T3Tn (n1)
4.1.3 复合变换
6.3.1 二维复合平移 两个连续平移是加性的。
第4章 图形变换(二维)
提出问题：
❖如何对二维图形进行方向、尺寸和形状 方面的变换
❖如何方便地实现在显示设备上对二维图 形进行观察
基本概念
几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比 例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺 寸和形状方面的变换。
二维图形几何变换
平移变换 旋转变换 比例变换
a b p
x' y' 1x y 1T2Dx y 1c d q
l ms
矩阵： S x 0 0
0
Sy
0
0 0 1
比例变换
原图
Sx=Sy>1
原图
Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a) Sx=Sy比例
(b) Sx<>Sy比例
图6-3 比例变换
比例变换
整体比例变换： 1 0 0
0
1
0
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标 轴进行的几何变换
二维变换矩阵
a b p
x' y' 1x y 1T2Dx y 1cT1d Tq 3
l T2mTs4
T1：比例、旋转、对称、错切 T2：平移 T3：投影 T4：整体缩放
平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。
0
1
0
T x T y 1
Tx，Ty称为平移矢量
Y
比例变换
比例变换是指对p点相对于坐标 原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方 向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比 例系数。
P'(4,3) P(2,1)
X 图 6-2 比 例 变 换 (Sx=2,Sy=3)
x ' xs x
y
'
ys
y
比例变换
推导： x’=Sx*X,y’=Sy*Y
平移是一种不产生变形而移动物体的 刚 体 变 换 （ rigid-body transformation）
Y
P'
T
Ty
P Tx
X 图 6-1 平 移 变 换
x' x Tx
y'
y
Ty
平移变换
推导： x’=x+Tx,y’=y+Ty
a b p
x' y' 1x y 1T2Dx y 1c d q
l ms
矩阵： 1 0 0
X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = x cos θ-y sinθ
y’= rsin(a+θ) = rcosasinθ+rsinacosθ = x sin θ+y cosθ
旋转变换
推导：
a b p
x' y' 1x y 1T2Dx y 1c d q
l ms
X’ = rcos(a+θ)
6.3.2 二维复合比例 连续比例变换是相乘的。
6.3.3 二维复合旋转 两个连续旋转是相加的。可写为：
R R (1 )•R (2 ) R (12 )
4.1.3 复合变换
其它二维复合变换
cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 Rsin cos 0 0 cos 0tg 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 tg 0 cos 0 0 tg 1 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 1