自动控制课程设计：倒立摆系统的控制器设计

自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计学生姓名：指导教师：班级：自动化05班重庆大学自动化学院二O一三年十二月课程设计指导教师评定成绩表指导教师评定成绩：指导教师签名：年月日重庆大学本科学生课程设计任务书目录摘要 (1)1 引言 (2)2 一阶倒立摆动力学建模 (2)2.1、建模假设 (2)2.2、系统的相关参数定义 (3)2.3、牛顿力学法建立数学模型 (3)2.4、系统开环响应 (7)3 直线一级倒立摆频域校正 (9)3.1、性能指标要求 (9)3.2、频域校正过程 (9)3.2.1、频域矫正准备 (10)3.2.2、校正过程 (10)3.3、频域校正结果的验证 (12)4 直线一级倒立摆根轨迹校正 (13)4.1、根轨迹分析 (13)4.2、根轨迹校正 (14)4.2.1、设计要求 (14)4.2.2、根轨迹设计过程 (14)4.3、验证和改进校正装置 (16)5 直线一级倒立摆的PID控制设计 (18)5.1、PID 简介 (18)5.2、PID调节的依据 (18)5.3、PID控制器需要达到的只能性能 (19)5.4、PID校正过程与结果 (19)6 总结与体会 (22)一、总结 (22)二、体会 (22)7 参考文献 (23)8 附录 (24)支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或者是装置叫倒立摆。

相反，支点在相反，支点在上而重心在下的装置则称为顺摆。

现实生活中，摆无处不在，旋转的芭蕾舞演员，杂技的顶伞，墙上挂钟的钟摆，工作中吊车等都可被看作是一个摆。

工程背景：(1) 机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。

(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。

(3) 通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。

(4)为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。

(5) 多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。

倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。

关键字：直线一级倒立摆、控制理论、计算机理论、PID控制倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案。

由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。

[1]平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。

倒立摆系统中最基本、经典的是平面直线一级倒立摆，它是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载一级摆体组件。

此次课程设计使用倒立摆——这一经典的控制系统，并让学生使用三种不同的校正方式，让学生能够充分的运用课程所学的知识并结合实际控制系统深入了解和学习校正控制系统相关知识并深刻理解其原理，达到课程设计的目的。

2 一阶倒立摆动力学建模倒立摆系统由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程式。

下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

2.1、建模假设（1）、忽略空气阻力（2）、假设小车与摆杆质量均匀（3）、假设皮带传送时无弹性变化（4）、各处摩擦均匀经上述假设抽象出数学模型如下“图2-1”所示：2.2、系统的相关参数定义1、M——小车质量 1.096kg2、m——摆杆质量0.109kg3、b——小车摩擦系数4、l——摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m5、I——摆杆惯量6、F——加在小车上的力7、x——小车位置8、φ——摆杆与垂直向上方向的夹角9、θ——摆杆与垂直向下方向的夹角2.3、牛顿力学法建立数学模型如下“图2-3”所示为小车和摆杆的受力分析图，其中N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

xmg22d I dtθ首先对小车水平方向所受的合力和对摆杆水平方向的受力进行分析，得到系统的第一个运动方程。

对小车水平方向所受的合力进行分析，得到如下方程：22d x dxM F b N dtdt =--（2-3-1）对摆杆水平方向的受力进行分析，得到如下面方程：22(sin )d N m x l dtθ=+（2-3-2）即：22222N = m + ml cos ml()sin d x d d dt dt dtθθθθ- （2-3-3）把这个表达式代入式(2-3-1)中，得到系统的第一个运动方程：22222()cos ()sin d dx d d M m b ml ml F dt dt dt dtθθθθθ+++-= （2-3-4）然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。

对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下：22(cos )d P mg m l dt θ-= （2-3-5）222sin ()cos d d P mg ml ml dt dtθθθθ-=-- （2-3-6）力矩平衡方程如下：22sin cos d Pl Nl I dtθθθ--= （2-3-7）此方程中力矩的方向，如图所示θπφ=+ , 则cos sin ,sin sin φθφφ=-=-，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程：22222()sin cos d d xI ml mgl ml dt dtθθθ++=- （2-3-8）设θπφ=+（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1φ<<，则可以进行近似认为2cos 1,sin ,()0d dt θθθφ=-=-=。

用u来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下[3]：2222222222()()()d d x I ml mgl ml dt dt d x dx d M m b ml u dt dt dt φφφ⎧+-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩ （2-3-9）假设初始条件为0，对式(2-3-9)进行拉普拉斯变换，得到：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s sM m X s s bX s s ml s s U s ⎧+Φ-Φ=⎪⎨++-Φ=⎪⎩ （2-3-10） 由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到：22()()()I ml g X s s mls ⎡⎤+=-Φ⎢⎥⎣⎦ （2-3-11）222()()()s mls X s I ml s mgl Φ=+-（2-3-12）令v = x ，则有：22()()()s mlV s I ml s mglΦ=+- （2-3-13）把上式代入方程组的第二个运动方程，得到：22222()()()()()()()I ml g I ml g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤+++-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2-3-14）整理后得到传递函数：22432()()()()mls s qb I ml M m mgl bmgl U s s s s sq q qΦ=+++-- （2-3-15） 其中222[()()]q M m I ml m l =++-。

实际系统的模型参数如下：M 小车质量1.096 Kg m 摆杆质量0.109 Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到质心长度0.25m I 摆杆惯量0.0034 kg ·m2本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，把实际参数代入，可以得到系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.02725()0.01021250.26705s s X s s Φ=-（2-3-16）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=-（2-3-17）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32() 2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s U s s s s Φ=+--（2-3-18）2.4、系统开环响应当输入为小车的加速度的时候，摆杆角度的单位脉冲响应，摆杆角度的单位阶跃响应，小车位置的单位脉冲响应，小车位置的单位阶跃响应。

由物理分析可知小车加速度的传递函数为：2()1()X s V s s= （2-4-1） 利用matlab/Simulink 仿真，其系统在原理结构如：“图2-4-1”图2-4-1校正前模拟图摆杆角度的阶跃响应和脉冲响应如“图2-4-2”“图2-4-3”所示：图2-4-2摆杆角度阶跃响应图2-4-3摆杆角度脉冲响应摆杆加速度的阶跃响应和脉冲和脉冲响应如“图2-4-4”“2-4-5”：从以上图形可以看出不管是加速度还是角度的阶跃响应曲线都是发散的，所以倒立摆系统此时是不稳定的，因此需要进行校正。

3 直线一级倒立摆频域校正3.1、性能指标要求设计控制器()c G s ，使得系统的满足条件：静态位置误差ss e 常数为10 相位裕量为50增益裕量等于或大于10dB 。

3.2、频域校正过程系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。

在频率响应方法中，在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。

频率响应可以采用以下两种方法进行分析：一种为伯德图，采用两幅分离图，一幅表示幅频特性，一幅表示相频特性；另一种是奈奎斯特图，表示的是当ω从0 变化到无穷大时，向量()G j ω 的矢端轨迹。

奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，图2-4-4摆杆加速度阶跃响应图2-4-5摆杆加速度脉冲响应研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。

3.2.1、频域矫正准备根据式（2-1-17）我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型，实际系统的开环传递函数为：()()20.027250.01021250.26705s V s s Φ=- （3-2-1）其中输入为小车的加速度()V S ,输出为摆杆的角速度()S φ。

利用Matlab 绘制系统的Bode 图（图3-2-1）如下。