计算机图形学第5章

P' T P Tx Ty
Y
X 图6-1 平移变换
举例说明：
x'
y ' 1 x
1 y 1 0 Tx
0 1 Ty
0 0 [ x Tx , y Ty ,1] 1
变换矩阵：
Tx，Ty称为平移矢量
1 0 0 1 Tx Ty
0 0 1
比例变化可改变图形的大小和形状；
错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图 形发生畸变。
5.4 二维观察
5.4.1 基本概念
在计算机图形学中，将在用户坐标系中需要进行
观察和处理的一个坐标区域称为窗口（Window）。 （ 用户坐标系定义） 将窗口 映射到 显示设 备上的 坐标区 域称为 视区 （Viewport）（ 设备坐标系定义）
Y
wyt 窗口 wyb
vyt 视区 vyb wxl wxr X (a)用户坐标系中的窗口 vxl vxr X (b)屏幕坐标系中的视区
要将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过将窗口到视区 的变换（Window-Viewport Transformation）处理，这种变
换就是观察变换（Viewing Transformation）。
举例说明
5.3 复合变换
复合变换是指：
图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的 变换矩阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换 的组合形式。
复合变换具有形式：
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
p(xp,yp)
θ
O'
θ
O x' x (b)将x'轴旋转到x轴上
O x0 x (a)将x'y'坐标系的原点平移到xy坐标系的原点
于是：
x' x p' y' 1 p p p p T p T T t R
T y 1 p
5.3.8 光栅变换 直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅 变换。
5.2.2 比例变换
比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx 倍，沿y方向放缩Sy 倍。其中Sx 和Sy 称为比
例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
图6-2
比例变换(Sx=2,Sy=3)
举例说明：
x'
y ' 1 x
矩阵：
S x 0 y 1 0
0 Sy 0
cos y F y F cos xF sin

S 比例变换 0 0
x
1
5.3.6 相对任意方向的二维几何变换
相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是： (1) 旋转变换 (2) 针对坐标轴进行二维几何变换； (3) 反向旋转 例3. 相对直线y=x的反射变换
Y
例4. 将正方形ABCO各点
仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性
平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射
变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可 以表示为这五种变换的复合。
二维几何变换具有如下一些性质： 直线的中点不变性； 平行直线不变性；
相交不变性；
仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和 长度的不变性；
齐次坐标表示 (x , x ,...,x , ) 1 2 n
5.1 基本概念
齐次坐标的不唯一性 提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的 一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效 方法。
可以表示无穷远点。
椭圆曲线E是一个光滑的Weierstrass方程在P2(K)中的全部解集合。 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 可用非齐次坐标的形式来表示椭圆曲线的Weierstrass方程: 设 x=X/Z，y=Y/Z，于是原方程转化为： Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z
光栅平移变换：
(a)读出象素块的内容
(b)复制象素块的内容
(c)擦除原象素块的内容
• 90°、180°和270°的光栅旋转变换：
(y,rowlen-x) (x,y)
(x,y) (rowlen-x,vollen-y) rowlen
vollen
rowlen (a)逆时针旋转90°
(b)逆时针旋转180°
Y
Y
窗口
X
图6-17
y观 察
用户坐标系中旋转的窗口
yNDC
独立于设备
y用户
窗口
1 视区 1 xNDC (b)规格化设备坐标系
x观 察
x用户 (a)观察坐标系
观察坐标系(View Coordinate)和规格化设备坐标
系(Normalized Device Coordinate)
–观察坐标系是依据窗口的方向和形状在用户坐标平
来自百度文库
cos( 450 ) sin( 450 ) 0 S x 0 0 cos(450 ) sin(450 ) 0 0 0 sin(450 ) cos(450 ) 0 T sin( 45 ) cos( 45 ) 0 0 S y 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
平移
a b c d y 1 l m
T2
整体比例变换
[0 0 1] 坐标原点
5.2 基本几何变换
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的 几何变换
5.2.1
平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一 个坐标位置的重定位过程。
平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换 （rigid-body transformation）
5.3.7 坐标系之间的变换
问题：
y y' p(xp,yp) x'
y0
θ
O' x0 x
O
图6-9
坐标系间的变换
分析：
y y'
Op * y
p,也即p' x' py p* px
O'(x0,y0)
Op* x
O
x
图6-11
坐标系变换的变换原理
可以分两步进行：
y
y p(xp,yp) y' x'
y0
y'
X
图6-7 错切变换
沿y方向错切
其变换矩阵为：
1 b 0 c 1 0 0 0 1
(1)沿x方向错切
(2)沿y方向错切
(3)两个方向错切
举例说明
5.2.6 二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式
1. 点的变换 2. 直线的变换 3. 多边形的变换 4. 曲线的变换
TRF
1 0 x
F
0 1 yF cos
0 cos 0. sin 1 0
sin cos 0 sin
0 1 0 0 1 x F
0 1 yF 0 0 1
0 0 1
x
F
sin xF cos y F sin 0 Sy 0 0 0
(5)关于y=-x轴对称（举例）
x=-y
0 1 0 1 0 0 0 0 1
Y
P(x,y) X
P'(-y,-x)
(e)关于x=-y对称
5.2.5 错切变换
错切变换，也称为剪切、错位变换，用 于产生弹性物体的变形处理。
Y
Y
Y
(a)
X 原图
(b)
沿x方向错切
X
(c)
0 [ x.S , y.S ,1] 0 x y 1
S x 0 0
0 Sy 0
0 0 1
Sx=Sy>1 原图 原图 Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a)
Sx=Sy比例 图6-3
(b) 比例变换
Sx<>Sy比例
整体比例变换：
1 0 0 0 1 0 0 0 s
0
0 cos 0 0 0 1
0 tg 1 0
0 1
0 1
0
错切
比例
5.3.5 相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换 过程为： (1) 平移 (2) 针对原点进行二维几何变换。 (3) 反平移 例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换 例2. 相对点(xF,yF)的比例变换
沿 图 6-8 所 示 的 (0,0)→(1,1) 方 向 进 行 拉伸，结果为如图所示 的，写出其变换矩阵和
2 3/2 A 1/2
A' B'
B
C' C 1/2 1 3/2 2 X
O
变换过程。
图6-8
针对固定方向的拉伸
(1) (0,0)→(1,1)方向 即x=y 方向 ，于是按针对固 定方向的变换形式进行计算。 （2）拉伸，即比例变换（Sx=？Sy=？）
Y
Y
X (d)关于x=y对称
(e)关于x=-y对称
X
(1)关于x轴对称（举例）
Y
P(x,y)
1 0 0 0 1 0 0 0 1
X P'(x,-y) (a)关于x轴对称
(2)关于y轴对称（举例）
Y
1 0 0 0 1 0 0 0 1
齐次坐标的不唯一性
举例：若实数p≠0，则(pX,pY,p)与（X,Y,Z)表示 同一个点。实质上用（X:Y:Z)表示。3个分量 中，只有两个是独立的，具有这种特征的坐标 就叫齐次坐标。
规范化齐次坐标表示就是p=1的齐次坐标表示。
如何从齐次坐标转换到规范化齐次坐标？
( x1, x2 ,..., xn )
sin cos 0
0 0 1
简化计算
x'
y ' 1 x
1 0 1 0 y 1 0 0 1
5.2.4 对称变换 对称变换后的图形是原图形关于某一轴线 或原点的镜像。
Y
Y
Y
X
X
X (b)关于y轴对称
(a)关于x轴对称
(c)关于原点对称
任意角度的光栅旋转变换：
旋转的 象素阵列 A 光栅网格 1 3 A 2
光栅比例变换：
缩小时原图 中的相应象 素区域
放大时原图 中的相应象 素区域 (a)Sx=1/2,Xy=1/2 (b)原图 (a)Sx=1,Xy=3/2
5.3.9 变换的性质 二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：
x' ax by m y' cx dy n
P'(-x,y)
p(x,y) X
(b)关于y轴对称
(3)关于原点对称（举例）
P(x,y) X
Y
1 0 0 0 1 0 0 0 1
(c)关于原点对称
(4)关于y=x轴对称（举例）
x=y p(x,y) p'(y,x) X (d)关于x=y对称
Y
0 1 0 1 0 0 0 0 1
5.3.1 二维复合平移
两个连续平移是相加的。
5.3.2 二维复合比例
连续比例变换是相乘的。
5.3.3 二维复合旋转
两个连续旋转是相加的。可写为：
R R(1 ) R( 2 ) R(1 2 )
5.3.4 其它二维复合变换
cos sin cos tg 1 0
R sin cos 0 0 0 1 0 0 1 tg 0 cos 0 tg 1 0 0 cos 0 0 0 1 0
5.1.2 几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、
比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、 尺寸和形状方面的变换。
5.1.3 二维变换矩阵
投影 比例、旋转、 对称
T1
p T3 q s T
4
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
[1 0 0] x轴上无穷远点 [0 1 0] y轴上无穷远点
若S>1,图形整体缩小；0<S<1图形整体放 大；S<0 发生和原点对称等比变换。
5.2.3 旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆
时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。
P' r θ r
α
Y
P X
图6-4 旋转变换
举例说明： 矩阵：逆时针旋转θ角
cos sin 0
第 五 章 二维变换及二维观察
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 基本概念 基本几何变换 复合变换 二维观察 剪 裁
提出问题
如何对二维图形进行方向、尺寸和形 状方面的变换 如何方便地实现在显示设备上对二维 图形进行观察
5.1.1 齐次坐标
5.1 基本概念
齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。