最大值和最小值定理

上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) ⋅ f ( b ) < 0 ), 那末在开区间 (a, b )内至少有函数 f ( x )的一个零 点,即至少有一点 ξ (a < ξ < b ) ，使 f (ξ ) = 0 .
即方程 f ( x ) = 0在 (a , b )内至少存在一个实根 .
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值.
例如, y = 1 + sin x , 在[0,2π ]上, ymax = 2, ymin = 0;
证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在区间 (0,1)内 例1 至少有一根 .
令 f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 1, 则f ( x )在[0,1]上连续 , 证
又 f ( 0 ) = 1 > 0,
f (1) = −2 < 0,
由零点定理,
∃ ξ ∈ (0,1), 使 f (ξ ) = 0,
有 m ≤ f ( x) ≤ M ,
取 K = max{ m , M },
∴ 函数 f ( x )在[a , b]上有界 .
则有 f ( x ) ≤ K .
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函数与极限(13)
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二、介值定理
定义: 使 f ( x0 ) = 0 的 x0 称为 f ( x )的零点.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 [a, b]
证 令 F ( x ) = f ( x ) − x , 则F ( x )在[a , b]上连续 ,
而 F ( a ) = f ( a ) − a < 0,
F ( b ) = f ( b ) − b > 0,
由零点定理,
∃ ξ ∈ (a , b ), 使 F (ξ ) = f (ξ ) − ξ = 0,
ϕ (ξ ) = 0, 即 ϕ (ξ ) = f (ξ ) − C = 0, ∴ f (ξ ) = C .
几何解释: 连续曲线弧 y = f ( x )与水平
直线 y = C至少有一个交点 .
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推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m之间的任何值。
a < x1 < x 2 <
ξ ,使
< x n < b 则在 [ x1 , x n ]上必有
+ f ( xn )
f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f (ξ ) = n
.
设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a < c < d < b ,试证： 对任意正数 p和q 至少有一点 ξ ∈ [ c , d ] ,使
即 f (ξ ) = ξ .
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三、小结
四个定理
最值定理;有界性定理; 根的存在性定理; 介值定理.
注意 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足, 上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;
y
M B y = f ( x) C a o x1 ξ 1 A m
且ϕ ( a ) = f ( a ) − C = A − C, ϕ (b ) = f (b ) − C= B − C ,
ξ 2 ξ 3 x2 b
x
∴ ϕ ( a ) ⋅ ϕ ( b ) < 0,
由零点定理,
∃ ξ ∈ (a , b ), 使
y
y = f ( x)
o
a
ξ2
ξ1 b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
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y
y = f ( x)
1
y
y = f ( x)
o
π 2
x
o
1
2
x
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数 f ( x )在[a , b]上连续 , ∀x ∈ [a , b],
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思考题
下述命题是否正确？
如果 f ( x ) 在[a , b]上有定义，在 ( a , b ) 内连续，且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 ，那么 f ( x ) 在
(a , b )内必有零点.
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函数与极限(13)
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思考题解答
f (a ) = A 及 f (b) = B ,
那末，对于 A与 B 之间的任意一个数C ，在开区间
(a, b )内至少有一点 ξ ，使得 f (ξ ) = C (a < ξ < b) .
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证 设ϕ ( x ) = f ( x ) − C ,
则ϕ ( x )在[a , b]上连续 ,
y = sgn x , 在( −∞ ,+∞ )上, ymax = 1, ymin = −1;
在(0,+∞ )上, ymax = ymin = 1.
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定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) ∈ C [a , b], 则 ∃ξ 1 , ξ 2 ∈ [a , b], 使得 ∀x ∈ [a , b], 有 f (ξ 1 ) ≥ f ( x ), f (ξ 2 ) ≤ f ( x ).
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几何解释:
y
连续曲线弧 y = f ( x )的两个 端点位于 x轴的不同侧 , 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
定理 4(介值定理)
a o
y = f ( x)
ξ1 ξ 2
ξ3
b x
设函数 f ( x )在闭区间 [a, b]
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
不正确.
⎧e , 例函数 f ( x ) = ⎨ ⎩ − 2,
0< x≤1 x=0
f (0) ⋅ (1) = −2e < 0.
f ( x ) 在(0,1) 内连续,
但 f ( x ) 在( 0,1) 内无零点.
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课堂练习题
证明方程 x = a sin x + b ，其中 a > 0 , b > 0 ，至少 有一个正根，并且它不超过 a + b . 二、 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，
pf (c ) + qf (d ) = ( p + q ) f (ξ ) .
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即 ξ 3 − 4ξ 2 + 1 = 0,
∴ 方程x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在(0,1)内至少有一根 ξ .
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例2 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上连续 , 且f (a ) < a ,
f (b ) > b. 证明 ∃ξ ∈ (a , b ), 使得 f (ξ ) = ξ .