工程光学习题参考答案第十二章 光的衍射

第十二章 光的衍射

1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会

聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。 解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0a

λ

θ∆=

∴亮纹半宽度29

0035010500100.010.02510

r f f m a λ

θ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯ （2）第一亮纹，有1sin 4.493a π

αθλ

=

⋅= 9

13

4.493 4.493500100.02863.140.02510rad a λθπ--⨯⨯∴=

==⨯⨯ 2

1150100.02860.014314.3r f m mm θ-∴=⋅=⨯⨯==

同理224.6r mm =

（3）衍射光强2

0sin I I αα⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0

I

I

0 0 1

1 4.493 0.04718

2 7.725 0.01694 . . . . . . . . .

2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为

2

0sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫

-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭

式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为cos a i

λ

θ∆=

证明：(1))即可

(2)令

(sin sin a

i πθπλ

==± ∴对于中央亮斑 sin sin i a

λ

θ-=

3． 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为30mm ，光波波长为632.8nm 。问细丝直径是多少？

解：设直径为a ，则有

f d a

λ

=

93

632.8100.03

0.01261.510

f

a mm d λ--⨯⨯===⨯ 4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和

b 的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2

a

b =

时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。

同样，圆屏使P 点振幅减小 ()()12

2'b J kb E p b c kb θπθ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

因此圆环在P 点产生的振幅为

图12-50 习题3图 图12-51 习题6图

()()22112'a b a J ka b J kb E E E c ka kb θθπθθ⎡⎤

=-=-⎢⎥⎣⎦

∴P 点强度为

()()2

22112224'a J ka b J kb I E c ka kb θθπθθ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦

对于衍射场中心，0θ=有

()()2

224

4222

22222204'4'22442a b a b a b I c c c a b ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

当2

a

b =

时， （1）()2

2

2

242224904'28416a b a I c c a ca π⎛⎫⎛⎫=-=-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ ∴

()()09

016

a I I = （2）第一暗纹有()()

22110a J ka b J kb ka kb θθθθ

-=

()11122a aJ ka aJ k θθ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

查表可有 3.144ka θ=

3.144 3.1440.512ka a a

λλ

θπ∴=

=⋅=

4． （1）一束直径为2mm 的氦氖激光（632.8nm λ=）自地面射向月球，已知地面和月

球相距3

3.7610km ⨯，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m 的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？ 解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61a

λ

θ= ∴传到月球上时光斑直径为

98

3

0.610.61632.810222 3.7610290.3110

D l l km a λθ--⨯⨯=⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯ （2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径

980.610.61632.810'2'22 3.7610145.2'2

D l l m a λθ-⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯=

5． 若望远镜能分辨角距离为7

310rad -⨯的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为

了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？ 解：97

0.610.61550102

2.243102

D m λ

θ

--⨯⨯⨯=

==⨯

人眼分辨率为4

1' 2.910rad -≈⨯

∴放大率4

7

2.910900310M --⨯≥

⨯ 6． 若要使照相机感光胶片能分辨2m μ的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当

时线；（2）照相机镜头的相对孔径D/至少有多大？（光波波长为550nm ）

解： （1）胶片分辨率为3

1

500210

N -=

=⨯线/毫米 （2） 1.220.341490

D N

N d λ=⋅=

7． 一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长400nm λ=时的最小分辨距离是

多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为'

1）。

解：（1）9

60.610.61400100.2910sin 0.85

m n u λε--⨯⨯=

==⨯ （2）提高 1.45

' 1.70.85

ε=

= （3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为

42250250 2.9107.2510e mm mm εα--=⋅=⨯⨯=⨯ ∴放大率至少为

23

7.2510425'0.2910 1.7

e mm M mm εε--⨯===⨯⨯

8． 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nm λ=，透镜焦距50f cm =，观

察到两相邻亮条纹之间的距离 1.5e mm =，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。 解：（1）双缝衍射亮纹条件为sin ,0,1, 2..............d m m θλ==±± 取微分有 cos d m θθλ⋅∆=∆