用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算
非圆弧曲线计算公式
非圆弧曲线计算公式在数学和工程领域中，曲线是一种非常重要的概念，它们可以用来描述各种各样的现象和物体。
在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的曲线，其中包括非圆弧曲线。
非圆弧曲线是指那些不能用圆弧来描述的曲线，它们可能是由多个不同的曲线段组成的，也可能是由一些特殊的曲线方程所描述的。
在本文中，我们将讨论一些常见的非圆弧曲线，并给出它们的计算公式。
1. 抛物线。
抛物线是一种非常常见的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以写成，y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
根据这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，从而可以对抛物线进行各种各样的分析和应用。
2. 椭圆。
椭圆是另一种常见的非圆弧曲线，它的数学描述是一个二次方程。
椭圆的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是椭圆的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是椭圆的中心点的坐标。
通过这个方程，我们可以计算出椭圆上任意一点的坐标，从而可以对椭圆进行各种各样的分析和应用。
3. 双曲线。
双曲线是一种非常特殊的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
双曲线的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是双曲线的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是双曲线的中心点的坐标。
通过这个方程，我们可以计算出双曲线上任意一点的坐标，从而可以对双曲线进行各种各样的分析和应用。
4. 抛物线。
抛物线是一种非常常见的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以写成，y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
根据这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，从而可以对抛物线进行各种各样的分析和应用。
5. 椭圆。
椭圆是另一种常见的非圆弧曲线，它的数学描述是一个二次方程。
椭圆的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是椭圆的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是椭圆的中心点的坐标。
偶次非球面的公式
偶次非球面的公式
非球面是指形状不是球形的固体物体，可以是椭圆形、椎体形、抛物面等等的形状。
通常测量非球面物体表面的形状是使用平移型镜面来测量的，平移型镜面是一种可以把物体表面反射出来的反射面，这个反射面可以根据物体表面的形状来改变，使得反射出来的图像能够清楚地显示出实物表面形状的变化。
当测量偶次非球面物体的形状时，可以使用下面公式来描述：
R = R(0) + arcos[(1-cos)^n]
其中：
R：物体表面的曲率半径
R(0)：物体表面的最大曲率半径
a：物体表面曲率的幅度系数
cos：物体表面夹角的余弦值
n：物体表面曲率的偶次数
根据上面的公式，可以看出物体曲率的半径取决于最大曲率半径、幅度系数和物体表面夹角的余弦值，偶次数则是用来描述物体表面曲率的偶次性，可以通过对物体表面夹角的余弦值进行连续的变化来检测偶次数。
也就是说，当余弦值变化量越小时，物体曲率的偶次数越大，反之则越小。
- 1 -。
非圆曲线的等误差直线逼近
曲线 的起点, 为 编程许 用
误差。现以 P 0 为圆心、 为
半径作 一 个误 差圆, 然 后 作
一条与误差圆、非圆曲线 y =
f ( x ) 均相切的直线, 即公切
线 m m , 切 点 分 别 为: PS
图 1 线性非 圆曲 线逼近图
( xS , yS ) 、PT ( xT , yT ) , 由此可得:
The lapping and cutting experiment of the diamond tools
Song Jian Wu Minjing
Abstract In this paper, four types material of diamond( natural singe crystal、DEBEERS MONODITE、PCD、CVD) are applied in the ex periment. Some basic data is gained and emphatically discusses the experimental conclusion. In the lapping experiment, the lapping meth od and efficiency and integrity of diamond tool are comprised, While the super precise cutting is done. Key words: PCD tools CVD tools Natural diamond tools Surface finish
PCD 聚晶金刚石刀具、PCBN( 聚晶立方氮化硼) 切 削工具以及 CVD 薄膜与厚膜金刚石切削工具、类金刚 石膜( DLC) 、金刚石膜和 CBN 膜涂层切削工具有广阔 的应用前景, 尤其是精密和超精密加工技术发展对切 削工具的需求, 促使这些切削工具迅猛发展。
程序编制中的数学处理--非圆曲线节点的计算
程序编制中的数学处理－－非圆曲线节点的计算数控系统一般只有直线和圆弧插补功能，对于非圆曲线轮廓，只能用直线或圆弧去逼近它。
节点就是逼近线段与非圆曲线的交点，也是个逼近线段的起点和终点。
一个已知曲线方程的节点数与逼近线段的形状（直线还是圆弧）、曲线方程的特性以及允许的逼近误差有关。
节点计算，就是利用这三者之间的数学关系，求解出各节点的坐标。
一、等间距的直线逼近的节点计算已知非圆曲线方程 y=f（x）从曲线X轴的起点坐标开始，以等间距Δx来划分曲线起点到终点的区间，可得一系列X 轴的坐标点的值，设起点的X坐标值为x0=a，则有：x1=a+Δx，x2=a+2Δx，x3=a+3Δx，…. X i=a+iΔx，..将这些X坐标值代入方程 y=f（x），则求得一系列Y坐标值：y i=f（x i）（i=1，2，3，…..）那么（xi，yi）（i=1，2，3……）就是所求得的节点坐标值。
相邻两点的直线段就是逼近线段。
等间距法的关键是合理确定Δx，既要满足允许误差的要求，又要使节点尽可能少。
通常采用试算和校验的方法确定Δx，方法步骤如下：1．取Δx初值，一般取0.1。
2．计算（xi，yi）（i=1，2，3……）。
3．误差验算：设任一逼近直线MN，其方程为：ax+by+c=0，则与MN平行且距离为δ允的直线MˊNˊ的方程为：求解联立方程：若：只有一个解，则逼近误差等于δ允，Δx正好满足误差要求。
没有解，则逼近误差小于δ允，Δx满足误差要求，可适当增大其取值，返回2。
有两个解，则逼近误差大于δ允，Δx太大，应减小其取值。
返回2。
等间距法计算简单，但由于必须保证曲线曲率最大处的逼近误差小于允许值，所以程序可能过多。
二、等弦长直线逼近的节点计算使所有逼近线段的长度相等。
计算步骤如下：（1）确定允许的弦长。
用等弦长逼近，最大误差δmax一定在曲线的曲率半径最小Rmin处，则为：（2）求Rmin。
曲线任一点的曲率半径为：取dR/dx=0，即根据求得，并由式（2-3）求得x后，将x值代入式（2-2）求、得Rmin。
数控车床加工非圆曲线宏程序编程技巧
数控车床加工非圆曲线宏程序编程技巧机械加工中常有由复杂曲线所构成的非圆曲线(如椭圆曲线、抛物线、双曲线和渐开线等)零件，随着工业产品性能要求的不断提高，非圆曲线零件的作用就日益重要，其加工质量往往成为生产制造的关键。
数控机床的数控系统一般只具有直线插补和圆弧插补功能，非圆曲线形状的工件在数控车削中属于较复杂的零件类别，一般运用拟合法来进行加工。
而此类方法的特点是根据零件图纸的形状误差要求，把曲线用许多小段的直线来代替，根据零件图纸的形状误差，如果要求高，直线的段数就多，虽然可以凭借CAD软件来计算节点的坐标，但是节点太多也导致了加工中的不方便，如果能灵活运用宏程序，则可以方便简捷地进行编程，从而提高加工效率。
一、非圆曲线宏程序的使用步骤(1)选定自变量。
非圆曲线中的X和Z坐标均可以被定义成为自变量，一般情况下会选择变化范围大的一个作为自变量，并且要考虑函数表达式在宏程序中书写的简便，为方便起见，我们事先把与Z 坐标相关的变量设为#100、#101，将X坐标相关的变量设为#200、#201等。
(2)确定自变量起止点的坐标值。
必须要明确该坐标值的坐标系是相对于非圆曲线自身的坐标系，其起点坐标为自变量的初始值，终点坐标为自变量的终止值。
(3)进行函数变换，确定因变量相对于自变量的宏表达式。
(4)确定公式曲线自身坐标系的原点相对于工件原点的代数偏移量(△X和△Z)。
(5)计算工件坐标系下的非圆曲线上各点的X坐标值(#201)时，判别宏变量#200的正负号。
以编程轮廓中的公式曲线自身坐标原点为原点，绘制对应的曲线坐标系的X ′和Z ′坐标轴，以其Z ′坐标为分界线，将轮廓分为正负两种轮廓，编程轮廓在X ′正方向称为正轮廓，编程轮廓在X ′负方向为负轮廓。
如果编程中使用的公式曲线是正轮廓，则在计算工件坐标系下的X坐标值(#201)时，宏变量#200的前面应冠以正号;如公式曲线是负轮廓，则宏变量#200的前面应冠以负号，即#201=±#200+△X 。
非圆曲线轮廓数控车削标准化过程设计
非圆曲线轮廓数控车削标准化过程设计作者：刘丰来源：《外语学法教法研究》2014年第11期【摘要】本文基于宏程序的运用，提出了一种标准化过程用于非圆曲线的数控车削加工。
读者可通过固定化的格式：曲线函数分析、加工类型选择、宏程序模板填空三个步骤，编辑出适应于实际生产加工的函数曲线加工程序。
由于笔者能力有限，该过程并不十分完善，但这一过程体系比较开放，读者可在其中任何环节作补充修改。
希望本文的构思能得到大家的批评指正，使得该标准化过程在实际生产中得到推广运用。
【关键词】数控车削函数曲线标准化过程宏程序【中图分类号】G640 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11-0021-02＼一、前言数控车削加工现在已在生产领域中被广泛应用，其轮廓控制的加工方式使得曲线轮廓的加工变得简单而准确。
但除圆以外的曲线目前都只能用宏程序来实现，而宏程序的编写对于普通的操作者来说都比较困难，若没有一定的编写经验积累很难写出合理的宏程序。
本文设想提出一种标准化过程，操作者可通过简单的判断、选择和计算，按流程步骤操作，最终就能得到适应于实际生产加工的函数曲线加工程序。
该过程应具有普遍实用性，能够适应多种函数曲线以及曲线轮廓在不同象限的情况。
下面我将通过标准化过程提出和实例分析两个部分来讲述本文设计内容。
二、非圆曲线轮廓数控车削标准化过程本文所设计的标准化过程主要分三个部分，分别是标准化流程、常用曲线函数分析表和宏程序模板。
其中标准化流程是主线，具有较好数学基础（函数部分）和宏程序基础知识的读者可直接根据该流程完成加工程序。
若读者数学基础较差，则可参照常用函数分析表完成函数分析和数据采集。
最后宏程序模板可以为不懂宏程序的读者提供方便，读者只需做好模板中的填空便能完成加工程序。
三部分相互关系如图一所示。
图一（一）非圆曲线的数控车削标准化流程如图二所示，标准化流程分为函数曲线分析准备和宏程序模板分类两部分。
函数曲线分析准备是根据零件轮廓曲线进行分析，完成作三个方面的准备工作：1、得出曲线方程表达式；2、得出工件原点与函数原点的坐标差值（注：x方向按半径差值计算）；3、计算出曲线轮廓起点和终点的函数坐标。
用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算
用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算数控加工中把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。
非圆曲线的节点就是逼近线段的交点。
一个已知曲线)(x f y =的节点数目主要取决于所用逼近线段的形状（直线或圆弧）、曲线方程的特性以及允许的拟合误差。
将这三个方面利用数学关系来求解，即可求得相应的节点坐标。
下面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。
（1）等间距直线逼近的节点计算 1）基本原理等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，然后求出曲线上相应的节点。
如图3.1所示，已知曲线方程为)(x f y =，沿X 轴方向取Δx 为等间距长。
根据曲线方程，由i x 求得i y ，ix ＋１＝i x ＋Δx ，)(1x x f y i i ∆+=+，如此求得的一系列点就是节点。
2） 误差校验方法由图3.1知，当x ∆取得愈大，产生的拟和误差愈大。
设工件的允许拟合误差为δ，一般δ取成零件公差的1/5～1/10，要求曲线)(x f y =与相邻两节点连线间的法向距离小于δ。
实际处理时，并非任意相邻两点间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。
其校验方法如下：设需校验mn 曲线段。
n m 和的坐标分别为（m m y x ,）和（n n y x ,），则直线mn 的方程为：nm n m nn y y x x y y x x --=--令A=n m y y -，B=m n x x -，C=n m n m y x x y -,则上式可改写为A x +B y =C 。
表示公差带范围的直线n m ''与mn 平行，且法向距离为δ。
n m ''直线方程可表示为：22B AC By Ax +±=+δ式中，当直线n m ''在mn 上边时取“+”号，在mn 下边时“-”号。
数控加工非圆曲线轮廓的简单方法
数控加工非圆曲线轮廓的简单方法
包轩庭
【期刊名称】《机械制造》
【年(卷),期】2004(042)008
【摘要】以数控加工一个轮廓为非圆曲线的工件为例,介绍一种利用控制系统的自身功能,进行非圆曲线轮廓加工的简单方法,并进行了误差计算.为加工类似的复杂形状的工件提供了一种解决的思路.
【总页数】2页(P59-60)
【作者】包轩庭
【作者单位】常熟理工学院,江苏·215500
【正文语种】中文
【中图分类】TG51.06
【相关文献】
1.数控加工中非圆曲线轮廓的三圆弧逼近方法 [J], 金艳玲;杨东武;姚东成
2.非圆曲线轮廓数控加工编程误差的控制 [J], 何其宝
3.非圆曲线轮廓的数控加工方法研究 [J], 陈艳红
4.数控加工非圆曲线轮廓的节点坐标优化算法 [J], 庞琳;宋利
5.非圆曲线轮廓零件数控加工的研究 [J], 董广强;范希营
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用MasterCAM编制非圆曲线轮廓加工程序
用MasterCAM编制非圆曲线轮廓加工程序蒋英汉2008.6.15用MasterCAM编制非圆曲线轮廓加工程序关键词:自动编程、非圆曲线、NC程序中国一拖高级技工学校蒋英汉随着数字控制技术与数控机床出现，给机械制造业带来了翻天覆地的变化。
数控技术已成为制造业实现自动化、柔性化、集成化生产的基础技术。
自90年代至今我国的数控机床在机械制造业的占有率不断提高，在航天、军工模具等行业已经成为主要的加工手段。
现在数控技术已经成为体现一个国家综合国力水平的重要标志。
新世纪机械制造业的竞争，其实就是数控技术的竞争。
目前，我国的数控机床已经有了数量，但使用确不高，其原因，不能及时合理的编制出加工程序就是其中只一。
所以提高我国编程人员的编程能力已经是迫在眉睫了。
CAD/CAM技术则是建立在数控技术之上的一种科学，它对数控技术和数控机床的应用提供了一个坚实的平台。
为提高编程人员的编程能力提供了一个途径。
Ma ste rC AM 软件是美国的CNC Software公司开发的基于PC平台的CAD/CAM系统，由于它对硬件要求不高，并且操作灵活、易学易用并具有良好的价格性能比，因而深受广大企业用户和工程技术人员的欢迎，广泛应用于机械加工、模具制造、汽车工业和航天工业等领域，它具有二维几何图形设计、三维曲面设计、刀具路径模拟、加工实体模拟等功能，并提供友好的人机交互，从而实现了从产品的几何设计到加工制造的CAD/CAM一体化。
是目前世界上应用最广泛的CAD/CAM软件之一。
以下介绍MasterCAM在编制非圆曲线轮廓加工程序的应用：虽然非圆曲线轮廓可以在数控机床上用宏程序编制，但它对编程人员的编程能力要求特别高，时间周期较长，精度难以保证，而且不同系统的数控机床也不统用。
所以用CAD/CAM软件编制非圆曲线轮廓加工程序已经成了必然。
MasterCAM编制非圆曲线轮廓加工程序的主要步骤是：（一）设计非圆曲线方程式文件运用MasterCAM的方程式功能设计非圆曲线轮廓。
非球面轮廓测量与分析
a is the indexed Polynomial Coefficient a为多项式系数
C is the reciprocal of the Base Radius C为基圆半径的倒数
K is the Conic Constant of the Surface K为二次常数
Xp是指非球面光轴到轮廓最高点之间的距 离。
非球面参数简介
• Xt:
Xt is the distance of the aspheric axis from the measured data.
Xt是指非球面光轴到测量起始点之间的距 离。
非球面参数简介
• Xv:
Xv is the distance of the lowest valley from the aspheric axis .
6) Residual Error After Form Removal 形状去除之后的残余误差
+Z 轴
Aspherics axis 非球面轴线
+X 轴
-X轴
D=B-C(Residual error after
absolute aspheric form removal)
-Z 轴
去除绝对形状后的残余误差
• 之所以称为“锥面”项，是由于我们可以用 不同方位的面与圆锥相切可以得到以上表面
基本形式：球面(K=0)
相切面平行于圆锥底面
圆的标准方程: x2 y2 R2 (R 0)
基本形式：抛物面(K=-1)
相切面平行于圆锥侧面
抛物线标准方程 : y2 2 px或y2 2 px或 x2 2 py或x2 2 py( p 0)
轮廓度的计算公式
轮廓度的计算公式轮廓度是描述曲面或曲线形状偏差的一个重要概念，在工程制造、设计等领域有着广泛的应用。
那咱们就来好好聊聊轮廓度的计算公式。
咱们先从一个简单的例子说起。
有一次我去工厂参观，看到工人们正在加工一批零件。
其中有个零件的外形要求非常精确，就涉及到了轮廓度的控制。
这个零件就像是一个小小的雕塑，它的边缘形状必须完美符合设计要求，偏差不能太大，不然整个产品就可能出问题。
轮廓度的计算公式其实有多种形式，这取决于具体的测量方法和应用场景。
常见的有最大内切圆法和最小外接圆法。
最大内切圆法，就是找到能完全内切于被测轮廓的最大圆，然后计算这个圆与实际轮廓之间的偏差。
比如说，我们有一个不规则的封闭曲线，就像是小朋友画的歪歪扭扭的圈圈。
我们要找到一个最大的圆，能刚好在这个圈圈里面，而且和圈圈的每一个点都接触到。
这个圆的半径与理想轮廓半径的差值，就是轮廓度的一种度量。
最小外接圆法呢，则是反过来，要找到能完全外接于被测轮廓的最小圆。
还是拿那个小朋友画的圈圈举例，这次我们要找一个最小的圆，能把这个圈圈完全包在里面，而且圈圈上的每一个点都能碰到这个圆。
同样，这个圆的半径与理想轮廓半径的差值，也是轮廓度的一种表现。
在实际应用中，还会用到两点法、三点法等等。
两点法就是通过测量轮廓上两个特定点之间的距离来评估轮廓度。
想象一下，在那个不规则的圈圈上，选取两个特殊的点，然后测量它们之间的直线距离，再和理想的距离进行比较。
三点法就更复杂一些啦，需要在轮廓上选取三个特定的点，形成一个三角形，通过计算这个三角形的一些参数来评估轮廓度。
这就好像是在圈圈上找三个好朋友，通过他们的位置关系来判断圈圈是不是画得标准。
当然啦，轮廓度的计算可不是那么简单的事儿。
有时候，还需要考虑测量的精度、测量工具的误差，以及环境因素的影响。
就像在那个工厂里，温度的变化、测量仪器的校准，都会对最终的轮廓度测量结果产生影响。
而且，不同的行业对于轮廓度的要求也不一样。
摆线轮方程
摆线轮方程摆线轮方程是描述摆线轮曲线形状的数学方程。
摆线轮是一种特殊的齿轮，其轮齿的轮廓不是圆弧，而是摆线曲线。
摆线曲线是一种非常美丽的数学曲线，具有独特的几何特点。
本文将介绍摆线轮方程的定义和应用，并探讨摆线轮的几何性质。
摆线轮方程是描述摆线轮轮廓的数学方程。
摆线轮轮廓是由摆线曲线组成的，摆线曲线是一种特殊的曲线，其特点是轨迹上的每一点都满足摆线方程。
摆线曲线的方程可以表示为x=a(t-sint)，y=a(1-cost)，其中a为摆线轮的半径，t为参数，sint和cost分别为正弦和余弦函数。
这个方程描述了摆线轮上每一个点的坐标，从而确定了整个轮廓的形状。
摆线轮方程的应用非常广泛。
在工程领域，摆线轮常常用于传动装置中，可以将旋转运动转化为直线运动。
摆线轮的特殊形状使得传动装置更加紧凑和高效。
在机械设计中，摆线轮方程的几何性质非常重要。
首先，摆线轮的轮廓是闭合的，没有端点。
其次，摆线轮的轮廓是光滑的，没有尖锐的角点。
这使得摆线轮在传动过程中摩擦损失较小，运动更加平稳。
摆线轮的轮廓是对称的。
对任意一点P，以摆线轮中心为对称中心，P关于中心的对称点也在轮廓上。
这个对称性使得摆线轮的运动更加稳定和可靠。
摆线轮方程还可以用于计算摆线轮的长度。
由于摆线曲线是无限延伸的，所以摆线轮的周长也是无限的。
但是可以通过数学方法求得摆线轮的一段弧长，从而计算出整个轮廓的长度。
摆线轮方程是描述摆线轮轮廓形状的数学方程。
摆线轮具有独特的几何性质，广泛应用于工程设计和传动装置中。
摆线轮方程的研究对于了解摆线轮的运动规律和性能具有重要意义。
通过深入研究摆线轮方程，可以更好地设计和优化摆线轮传动装置，提高其效率和可靠性。
摆线轮的美丽曲线和独特性质也使得它成为数学和几何学领域的重要研究对象。
非圆曲线数学处理的一般方法
非圆曲线非圆曲线数学处理数学处理数学处理的一般的一般的一般方法方法方法数控系统一般只有直线和圆弧插补的功能，对于非圆曲线轮廓，只有用直线或圆弧去逼近它，“节点”就是逼近线段与非圆曲线的交点。
一个已知曲线的节点数主要取决于逼近线段的形状（直线段还是圆弧段），曲线方程的特性以及允许的逼近误差。
将这三者利用数学关系求解，即可求得一系列的节点坐标，并按节点划分程序段。
以下简介常用的直线逼近及圆弧逼近的数学处理方法。
2.1 常用非圆曲线直线逼近方法常用非圆曲线直线逼近方法2.1.1 等间距的直线逼近的节点计算这是一种最简单的算法。
如图2.1所示，已知方程)(x f y =，根据给定的x ∆求出i x ，求i x 代入)(x f y =即可求得一系列i y ，即为每个线段的终点坐标，并以该坐标值编制直线程序段。
XYNMM )(x f图2.1 等间距逼近方法的原理图x ∆取值的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ。
一般先取1.0=∆x 试算并校验。
误差校验方法如图2.1中的右图所示，MN 为试算后的逼近线段，作''N M 平行于MN 且两直线的距离为允δ。
根据节点的坐标可求得MN 方程：0=++c by ax ，则''N M 的方程为22b a c by ax +±=+允δ 求解联立方程：)(22x f y b a cby ax =+±−+＝允δ （2－1）如果无解，即没有交点，表示逼近误差小于允δ；如果只有一个解，即等间距与轮廓线相切，表示逼近误差等于允δ；如果有两个或两个以上的解，表示逼近误差大于允δ，这时应缩小等间距坐标的增量值，重新计算节点和验算逼近误差，直至最大的逼近误差小于等于允δ。
等间距法计算简单，但由于取定值x ∆应保证曲线曲率最大处的逼近误差允许值，所以程序可能过多。
用此种方法进行数学处理，它的逼近曲线与轮廓线的逼近误差参差不齐，程序明显增多，影响机床的加工效率，不适合大批量的加工，成本也比较高。
圆弧拟合在非圆轮廓曲线数控加工中的应用
Ｅ ｕ ｐ ｎ Ｍａ ｕ ａ ｔ ｎ ｃ ｎ ｌ ｇ ｑ ｉ ｍｅ ｔ ｎ ｆ ｃｒ ｇＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ＮＯ． ２ ０ ｉ ５， ０ ７
圆弧拟合在 非圆轮廓 曲线 数控加工 中的应 用
朱庆太 ， 李殿亚
（ 九江职业技术学院 ， 江西 九江 ３ ２ ０ ） ３ ０７
【 ６ ｓｎＯ ｘ＝ ｉ ｔ
滑程度较低 ， 因此在工程上研究 和探讨用圆弧拟合非圆曲线加
工具有现实意义。
式 中 仅 为轨迹上的动点与原点连线与 ｚ轴 的夹角 ；Ｃ
为椭 曲线与 编程 坐标 系之 间的关系常数 ； 、 ａ ｂ为 椭圆方程 参数 。
非圆轮廓 曲线的拟合无非就是直线拟合、 圆弧拟合两种方 法 ，在这两种方法 中都是把非 圆曲线分成若 干段直线 或是 曲 线， 在加工 中直线或是 圆弧 分得越 细 ， 被加工轮廓就越逼近该 曲线。笔者在常规圆弧拟合 的基础上 ， 利用数控 系统所具有 的 宏 变量 程序 ， 研究和探讨 圆弧拟合非 圆轮廓 曲线 的数学模 型 ， 以此设计数控加工程序流程框图。
收稿 日期 ：０ ７ ０ — ７ ２ ０ － ３ ０ 作者简介： 朱庆太（ ９ ５ ） １ ６一 ， 江苏省兴化市人， 工程师 ， 从事数控加 工技术工作 多年。
５ ６
维普资讯
《 装备制造技术）０ ７ ２０ 年第 ５ 期
取拟合圆弧段点 耳。 到点 只 的圆弧 ，圆弧半径为 Ｒ 进行 ｉ 相应的程序编制 。依此类推直到最后一点的轨迹 。
， ＇ ，
（－ ｉ （ｉＯ ）＝ ＿ ｘ ０ｘ Ｚ－ Ｒ ｉ ）＋
， ， ＇
（ ｌ ０１ （ 一 ＝ ｉ Ｘ 一 Ｉ Ｚ ｌ０ ） Ｒ “ ）＋
圈 １ 非圆曲线的方程
关于非圆曲线的数学结论
关于非圆曲线的数学结论非圆曲线是指在平面上不满足圆的几何属性的曲线。
它们包括椭圆、双曲线和抛物线等几种不同类型的曲线。
首先我们来讨论一下椭圆曲线。
椭圆曲线是一个非常重要的数学对象，在密码学、编码理论等领域有广泛的应用。
椭圆曲线是一条形状像椭圆一样的曲线，它由满足一个特定方程的点构成。
椭圆曲线的方程为 y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是常数。
椭圆曲线上的点满足这个方程，并且还满足一条称为“群律”的运算法则。
在椭圆曲线上，我们可以定义加法运算，将两个点相加得到另一个点，同时还有一个单位元0。
椭圆曲线上的点的运算形成了一个群结构，这个群结构具有一些特殊的性质，例如封闭性、结合律、交换律和存在单位元等。
接下来我们来讨论一下双曲线。
双曲线是一类形状类似于两个开口的抛物线的曲线。
它的方程一般为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是常数。
双曲线具有一些特殊的几何性质。
首先，双曲线有两个分支，在无穷远处相交。
其次，双曲线有两条渐近线，这两条线对曲线的形态有重要影响。
双曲线还具有对称性质，它在横轴和纵轴两个方向上都有对称轴。
双曲线是一种非常重要的几何形态，在电磁学、光学等领域中有广泛的应用。
最后我们来讨论一下抛物线。
抛物线是一种非常常见的几何曲线，它的形状类似于开口向上或向下的碗状曲线。
抛物线的方程一般为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
抛物线具有一些特殊的性质。
首先，它有一个顶点，也就是曲线的最高点或最低点。
其次，它具有对称性质，它关于顶点对称。
抛物线还具有一些重要的应用，例如在物理学中，我们可以利用抛物线的性质来描述近似平抛运动或抛体运动。
总结起来，非圆曲线是一类不满足圆的几何属性的曲线，包括椭圆曲线、双曲线和抛物线等几种类型。
这些曲线具有一些特殊的几何性质，在数学、物理等领域有广泛的应用。
研究非圆曲线及其性质，有助于我们深入理解几何学的基本概念和数学的抽象思维方式，并且为解决实际问题提供了重要的工具和方法。
数控编程中的数学处理
• 所谓基点，是指各几何元素间的连接 点，如直线与直线的交点，直线与圆 弧的交点或切点，圆弧与圆弧的交点 或切点等。
• 逼近直线小段和圆弧小段与轮廓曲线 的交点或切点称为节点。
2 常见的数学处理方法 2.1 直线和圆弧轮廓基点计算方法
1．联立方程组法求解基点坐标 2．三角函数法求解基点坐标
2.2 非圆曲线的节点计算 1．直线逼近零件轮廓曲线时的节点计算
确定计算方法
根据算法计算节点坐标
非圆曲线数学处理的基本过程
如图所示，图a为用直线段逼近非圆曲线 y f (x) 的情况，图b为用圆弧 段逼近非圆曲线的情况。编写程序时，应按节点划分程序段。逼近线段的 近似区域愈大，则节点数愈少，相应的程序段数目也会减少，逼近线段的 误差应小于或等于编程允许误差。即考虑到工艺系统及计算误差的影响， 一般取零件公差的1/5～1/10。
Y
D
δ允
C
A
B (X1,Y1)
O
P
(X0,Y0)
X
X X0 2 Y Y0 2 8Rmin允
Y f (X)
X X0 2 Y Y0 2 8Rmin允
例：非圆曲线为抛物线X2=16Y
✓求Rmin
Y X 8 Y 1 8 Y 0
3(Y ")2Y '(1 (Y ' )2 )Y 0
非圆曲线数学处理的基本过程
用直线或圆弧逼近曲线 y f (x) 时，根据曲线特征、逼近线段的形状及 允许的逼近误差三个条件可求出各节点的坐标。选择逼近线段时，应该在 保证精度的前提下，使节点数目尽量少，这样不仅计算简单，程序段数目 也少。
一般对于曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利，曲率半径小时则用圆弧 逼近较为合理。
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用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算
数控加工中把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。
非圆曲线的节点就是逼近线段的交点。
一个已知曲线)(x f y =的节点数目主要取决于所用逼近线段的形状（直线或圆弧）、曲线方程的特性以及允许的拟合误差。
将这三个方面利用数学关系来求解，即可求得相应的节点坐标。
下面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。
（1）等间距直线逼近的节点计算
1）基本原理
等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，
然后求出曲线上相应的节点。
如图3.1所示，已知曲
线方程为)(x f y =，沿X 轴方向取Δx 为等间距长。
根
据曲线方程，由i x 求得i y ，i x ＋１＝i x ＋Δx ，
)(1x x f y i i ∆+=+，如此求得的一系列点就是节点。
2） 误差校验方法
由图3.1知，当x ∆取得愈大，产生的拟和误差愈大。
设工件的允许拟合误差为δ，一般δ取成零件公差的1/5～1/10，要求曲线)(x f y =与相邻两节点连线间的法向距离小于δ。
实际处理时，并非任意相邻两点间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。
其校验方法如下：
设需校验mn 曲线段。
n m 和的坐标分别为（m m y x ,）和（n n y x ,），则直线mn 的方程为：
n
m n m n n y y x x y y x x --=-- 令A=n m y y -，B=m n x x -，C=n m n m y x x y -,则上式可改写为A x +B y =C 。
表示公差带范围的直线n m ''与mn 平行，且法向距离为δ。
n m ''直线方程可表示为：
22B A C By Ax +±=+δ
式中，当直线n m ''在mn 上边时取“+”号，在mn 下边时“-”号。
联立求解方程组：
()⎪⎩⎪⎨⎧+±=+=22B
A C By Ax x f y δ 上式若无解，表示直线n m ''不与轮廓曲线)(x f y =相
交，拟合误差在允许范围内；若只有一个解，表示直线n m '
'图3.1 等间距直线逼近
图3.2 等步长直线逼近
与)(x f y =相切，拟合误差等于δ；若有两个解，且m x ≤x ≤n x ，则表示超差，此时应减小x ∆重新进行计算，直到满足要求为止。
（2） 等步长直线逼近的节点计算
这种计算方法是使所有逼近线段的长度相等，从而求出节点坐标。
如图3.2所示，计算步骤如下：
1） 求最小曲率半径min R 曲线)(x f y =上任意点的曲率半径为： y y R '''+=2
/32)1( 取0/=dx dR ，即：
0)1(322=''''--'''y y y y
根据)(x f y =求得y '、y ''、y '''，并代入上式得x ，再将x 代入前式求得min R 。
2）确定允许的步长l 由于曲线各处的曲率半径不等，等步长后，最大拟合误差m ax δ必在最小曲率半径min R 处。
因此步长应为：
δδmin 2min 2min 8)(2R R R l ≈--=
3）计算节点坐标 以曲线的起点),(a a y x a 为圆心，步长l 为半径的圆交)(x f y =于b 点，求解圆和曲线的方程组：
⎩⎨⎧==-+-)
()()(2
22x f y l y y x x a a 求得b 点坐标),(b b y x 。
顺序以b 、c ……为圆心，即可求得c 、d ……各节点的坐标。
由于步长l 决定于最小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过密过多，所以等步长法适用于曲率半径相差不大的曲线。
（3）等误差直线逼近的节点计算
等误差法就是使所有逼近线段的误差δ相等。
如图3.3所示，其计算步骤如下：
1）确定允许误差δ的圆方程 以曲线起点)
,(a a y x a 为圆心，δ为半径作圆，此圆方程式为：
222)()(δ=-+-a a y y x x
2）求圆与曲线公切线PT 的斜率k
P T P T x x y y k --= 图3.3 等误差直线段逼近
其中T x 、P x 、T y 、P y 由下面的联立方程组求解：
a
P a P
P T P T y y x x x x y y ---=-- （圆切线方程） a a P P y x x y +--=22)(δ （圆方程）
)(T P
T P T x f x x y y '=-- （曲线切线方程） )(T T x f y = （曲线方程）
3）求弦长ab 的方程 过a 作直线PT 的平行线，交曲线于b 点，ab 的方程为：
)(a a x x k y y -=-
4）计算节点坐标 联立曲线方程和弦长方程即可求得b 点坐标),(b b y x 。
)()
(x f y x x k y y a a =-=-
按上述步骤顺次求得c 、d 、e ……各节点坐标。
由上可知，等误差法程序段数目最少，但计算较复杂，可用计算机辅助完成。
在采用直线逼近非圆曲线的拟合方法中，是一种较好的方法。