高二数学第九章复习讲义(1)

高二数学第九章复习（1）

直线与平面的位置关系（1）

一．复习目标：

1．掌握平面的基本性质，并会运用平面的基本性质证明点共线和线共面；

2．掌握空间两直线的位置关系，异面直线的判定方法以及异面直线所成角的概念和求法。

二．知识要点：

1．平面的基本性质：

公理1：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭；公理2：

l

P P l P l αβαβ=⎧∈⎫⎪

⇒∈⎬⎨∈⎭⎪⎩

是唯一

； 公理3：A B C A B C A B C ααββ⎫

⎪

∈⇒⎬⎪∈⎭

不共线重合，，，，与，，．

推论1： ； 推论2： ； 推论3： ．

2．空间两直线的位置关系有 ． 异面直线的判定定理为 ； 两异面直线所成角的范围是 ； 3．求两异面直线所成角的一般步骤为： （1）选择合适的点；

（2）平移一条或两条直线；

（3）找出所求异面直线所成的角；

（4）将该角放入三角形中解三角形求角（常用余弦定理）。

4．学习空间向量的坐标表示以后，可以得到：cos ,a b

a b a b

<>=

，应该注意的是，

两个向量所成的角的范围与两条异面直线所成的角的范围不同。

三．基础训练：

1．空间两直线平行是指它们 （ B ） A ．无交点 B ．共面无交点 C ．和同一条直线垂直 D ．和同一条直线所成角相等 2．经过正方体的四个顶点的平面个数为 （ D ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 3．有以下四个命题：

(1)若a 与b 异面, b 与c 异面,则a 与c 异面; (2)若a 与b 共面, b 与c 共面,则a 与c 共面 (3)若a 与b 平行,b 与c 平行,则a 与c 平行; (4)若a 与b 相交,b 与c 相交,则a 与c 相交; 其中正确命题的个数为 （ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，所有各面的对角线中与AB 1成60°角的异面直线的条数 （ B ） A ．2条 B ．4条 C ．5条 D ．6条

5.如图A B C '''∆是用斜二测法所画ABC ∆水平放置的直观图,由图判断原三角形中( C )

N

M

A C 1

1

A 1

γβ

αb

a

m

A ．A

B AD A

C >> B ．AB AC ⊥

C ．AB A

D AC << D ．AD AC ⊥ 6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，,P Q 分别是1AA 和1CC 则四边形1PDQB 是 菱 形。

四．例题分析：

例1．已知四边形ABCD 中，//AB CD ，,,,AB BC CD DA 所在的直线分别与平面α交于点,,,E G F H ，求证：,,,E G F H 必共线。 提示：用公理3和公理2

例2．如图正方体的棱长为4cm ，,M N 分别是11A B 和1CC 的中点，

（1）画出过点,,D M N 的平面与平面11BB C C 及平面11AA B B 的交线；

（2）设过,,D M N 三点的平面与11B C 交于P ，求PM PN +的值。 （2

例3．已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行。

五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．空间三条直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则由直线,,a b c 确定的平面的个数为（ D ） ()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 1或3

2．已知异面直线a 与b 满足,a b αβ⊂⊂，且l αβ= ，则直线l 与,a b 的位置关系一

定是 （ B ） ()A l 与,a b 都相交 ()B l 至少与,a b 中的一条相交

()C l 至多与,a b 中的一条相交 ()D l 至少与,a b 中的一条平行

3．空间四点中，三点共线是四点共面的 充分不必要 条件；无三点共线是无四点共面的必要不充分 条件。

4．三个平面最多可把空间分成 8 个部分。

5．,,,E F G H 顺次是空间四边形各边的中点。（1）若AC BD ⊥，则四边形EFGH 是 矩形 ；若AC BD ⊥且AC BD =，则四边形EFGH 是 正方形 ．

6．在空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,A B C D 的中点，对角线

4,

2A C B D E ==AC 和BD 所成的角为90 ，EF 与BD 所成的角为30 ．

7．如图，已知//,,m m a αβγαβ== ，b γα= ，求证：//a b ． '

8．已知：,,,,//a b a b A P b PQ a αα⊂⊂⋂=∈，求证：PQ α⊂．

9．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，求异面直

线CM 与D

1N 所成角的正弦值。

答案：9

（余弦值为：19-）