第五讲__同余的概念和性质

同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？
问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？
这个问题并不难答，因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15=7×2＋1，所以“六·一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们。

因为，1993年有365天，而365=7×52＋1，所以，1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除一总的天数后所得的余数。

在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题。

这样就产生了“同余”的概念。

如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。

余同定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b ( mod m ) ( * )
上式可读作：
a同余于b，模m。

同余式( * )意味着（我们假设a≥b）:
a－b=mk，k是整数，即m︱(a－b).
例如：①15≡365（mod 7），因为365－15=350=7×50。

②56≡20（mod 9），因为56－20=36=9×4。

③90≡0（mod 10），因为90－0=90=10×9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：
a≡0( mod m ).
例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0(mod 2)
表示b是一个奇数，可以写b≡1( mod 2 )
补充定义：若m不能整除（a－b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：
a b(mod m)
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似。

同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。

性质1：a≡a(mod m)，（反身性）
这个性质很显然，因为a－a=0=m·0.
性质2：若a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)，（对称性）。

性质3：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)，（传递性）。

性质4：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，（可加减性）。

性质5：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)，（可乘性）。

性质6：若a≡b(mod m)，那么a n≡b n(mod m)，（其中n为非0自然数）。

性质7：若ac≡bc(mod m)，(c，m)=1，那么a≡b(mod m)。

注意：同余式性质7的条件(c，m)=1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。

例如6≡10(mod 4)，而35(mod 4)，因为（2，4）≠1。

请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

（若先求乘积，再求余数，计算量太大。

利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。

）
例3求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小。

这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：∵ 143≡3(mod 7)，∴ 14389≡389(mod 7).
∵ 89=64＋16＋8＋1，
而 32≡2(mod 7)
34≡4(mod 7)
38≡16≡2(mod 7)
316≡4(mod 7),
332≡16≡2(mod 7),
364≡4(mod 7).
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod 7),
∴14389≡5(mod 7).
答：14389除以7的余数是5。

解法2：证得14389≡389(mod 7)后，
36≡32×34≡2×4≡1(mod 7),
∴384≡(36)14≡1(mod 7),
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod 7).
∴14389≡5(mod 7).
例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去。

请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？
例5 设自然数110...n n N a a a a -=，其中0a 、1a 、2a 、…、n a 分别是个位、十位、…上的
数码，再设01...n M a a a =+++，求证：
N ≡M(mod 9).
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1＋8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。

再观察一下上面求和式，我们可以发现，和不一定要求出。

因为和式中1＋8，2＋7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑。

这样只需求4＋6被9除的余数。

因此，1827496被9除余数是1。

有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。

弃九法最经常地是用于乘法。

我们来看一个例子：
用弃九法检验乘式5483×9117=49888511是否正确？
因为 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2(mod 9),
9117≡9＋1＋1＋7≡0(mod 9)，
所以 5483×9117≡2×0≡0(mod 9).
但是49888511≡4＋9＋8＋8＋8＋5＋1＋1≡8(mod 9)，
所以5483×9117≠49888511，即乘积不正确。

要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如，9875≡9＋8＋7＋5≡2(mod 9)，
4873≡4＋8＋7＋3≡4(mod 9)，
32475689≡3＋2＋4＋7＋5＋6＋8＋9≡8(mod 9)，
这时，9875×4873≡2×4≡32475689(mod 9)。

但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689，因为末位数字5和3相乘不可能等于9。

弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。

例6 用弃九法检验下面的计算是否正确：
23372458÷7312=3544。

例7 求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。

作业
1，验证对于任意整数a、b，式子：
a≡b(mod 1)成立，并说出它的含义。

2，已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？3，1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？
4，求33335555＋55553333被7除的余数。

5，所有自然数如下图排列，问300位于哪个字母下面？
A B C D E F G
1 2 3 4
7 6 5
8 9 10 11
14 13 12
15 16 17 …
6，数111…1（1993个1）被13除余多少？[提示：先试除，可知13︱111111，而1993≡1(mod 6)]。

7，用弃九法检验下面运算是否正确：（1）845×372=315340；
（2）12345×67891=838114385；（3）1144192613÷28997=39459。

8，求1993100的个位数字。