浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【课后习题】(样本及抽样分布)

第6章样本及抽样分布

1．在总体中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率．

解：由已知得，，，则，从而

2．在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本．

（1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率；

（2）求概率．

解：（1）由已知得

，

从而

（2）记，因的分布函数为，则M的分布函数为

因而

记，则N的分布函数为

故

3．求总体N（20，3）的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率．

解：将总体N（20，3）的容量分别为10，15的两独立样本的均值分别记作，则

，从而，即．故所求概率为

4．（1）设样本来自总体N（0，1），，试确常数C使CY服从分布．

（2）设样本来自总体N（0，1），，试确定常数C 使Y服从t分布．

（3）已知X～t（n），求证．

解：（1）因是总体N（0，1）的样本，故

且两者是相互独立，因此

又两者相互独立，按分布的定义

即，因此所求常数．

（2）因是总体N（0，1）的样本，故，即有

又与相互独立，于是

因此所求的常数．

（3）由已知得X～t（n），故X可表示成，其中，，则，．又Z，Y相互独立，知Z2与Y相互独立，按F分布的定义得

5．（1）已知某种能力测试的得分服从正态分布，随机取10个人参与这一测试．求他们得分的联合概率密度，并求这10个人得分的平均值小于的概率．（2）在（1）中设，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖的概率．解：（1）10个人的得分分别记为，它们的联合概率密度为

（2）若一人得奖的概率为p，则得奖人数Y～b（10，P），此处p是随机选取一人，其考分X在70分以上的概率．因X～N（62，25），故

则至少一人得奖的概率为．

6．设总体X～b（1，p），是来自X的样本．

（1）求的分布律；

（2）求的分布律；

（3）求．

解：（1）因相互独立，且有，即具有分布律

因此的分布律为

（2）因相互独立，且有，故，其分布律为

（3）由于总体，则，，故有

7．设总体，是来自X的样本，求, , ．

解：由已知得，因是来自X的样本,故

，，

8．设总体是来自X的样本．

（1）写出的联合概率密度．

（2）写出的概率密度．

解：（1）由已知得的概率密度为，故的联合概率密度为

（2），故的概率密度为

9．设在总体中抽得一容量为16的样本，这里均未知；

（1）求，其中为样本方差；

（2）求．

解：（1）因为，现在n＝16，即有，故有

查分布表得，从而知

p＝1－0.01＝0.99

（2）由，得，即