三角形总复习

三角形总复习
一、三角形的边与角
三角形是常见的几何图形之一，从自然景观到微型模型，从建筑物到艺术作品处处可以找到三角形的实例．同时，三角形又是一种基本的几何图形，是学习和研究其他复杂图形的基础，如在本章中，学好三角形的有关概念和性质是进一步学习多边形的知识不可缺少的基础．
三角形有着丰富的内涵：三角形的三边互相制约，根据三角形三边关系可以判断三条已知线段能否组成三角形，已知两边确定第三边的取值范围等等；三角形的内角和定理及外角的性质反映了三角形角之间的关系，利用它们可以求角的度数，判断角之间的大小关系；三角形的边与角之间也有密切的联系，如：大边对大角、大角对大边等．利用三角形的这些性质，可以解决线段及角的计算，判断大小、图形的计数等几何问题．
解决三角形的边与角的有关问题时，通常要用到份类讨论、方程思想、整体与转化思想等数学方法．
熟悉以下三角形中常见的基本图形和结论：
∠A+∠V=∠C+∠D △ABC的角平分线交于内部一
点O，有
A BOC∠
+
︒
=
∠
2
1
90
△ABC两外角平分线△ABC的内角平分线延长交于外部一点O，线与外角平分线交于O点，
有
A
BOC∠
-
︒
=
∠
2
1
90
有∠A=2∠O
典例精讲
例1 如图所示△ABC中，∠A=60°，∠B、∠C的外角平分线交于F点，求∠BFC的度数．
方法指导：经分析可知，欲求∠BFC，须求∠1、∠2的度数．但求∠1、∠2的度数较困难，可将∠1+∠2看作一个整体，求出两角之和即可．
解：∵BF、CF是△ABC两外角平分线，
∴
BCE
DBC∠
=
∠
∠
=
∠
2
1
2
,
2
1
1
，
∴
)
(
2
1
2
1BCE
DBC∠
+
∠
=
∠
+
∠
．
∵∠DBC=∠A+∠4，∠BCE=∠A+∠3，∴∠DBC+∠BCE=∠A+∠4+∠3+∠A．又∵∠A=60°，∠4+∠3+∠A=180°，∴∠DBC+∠BCE=240°，
∴
︒
=
︒
⨯
=
∠
+
∠120
240
2
1
2
1
，
∴∠BFC=180°—（∠1+∠）=180°—120°=60°．
方法总结：此题的关键是将∠1+∠2看作一个整体，从全局着手，则解题思路豁角开朗，柳暗花明．
例2在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于点O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．
方法指导：锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形三条高的交点与直角顶点重合，钝角三角形三条高交于三角形外一点，题中“O不与B、C重合”，故应分锐角三角形、钝角三角形两种情形分类讨论．
解：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图（1）所示．
∵BE、CF为△ABC的高，
∴∠AFC=∠AEB=90°．
在Rt△ABC中，∠1=180°—∠A—∠AFC=180°—90°—50°=40°．
∴∠BOC=∠1+∠BEC=40°+90°=130°；
（2）当△ABC为钝角三角形时，如图（2）所示，
∵BE、CF为△ABC的高，
∴∠AFC=∠BEC=90°．
又∵在Rt△OEC中，∠BOC+∠OCE=180°—∠OEC=90°，
在Rt△AFC中有：∠A+∠ACF=180°—∠AFC=90°，
∴∠BOC=∠A=50°．
方法总结：当所研究问题的图形位置不确定时，需用分类讨论法来解答．例3 如图所示，∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠BAD=α，则∠EDC=∠（）
A．
α
2
1
B．
α
3
1
C．
α
4
1
D．
α
3
2
方法指导：观察图形可知：∠EDC+∠1=∠B+α，∠2=∠EDC+∠C；又由题中条件可知，∠1=∠2，∠B=∠C；综合上述条件设法建立关于∠EDC的方程．
解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠2是∠DEC的外角，
∴∠ADC=∠B+α，∠2=∠EDC+∠C，
设∠EDC=x°，则有：∠1+x=∠B+α，∠2=x+∠C．
又∠1=∠2，∴x+∠C+x=∠B+α．
又∵∠B=∠C，∴2x=α，即
α
=
2
1
x
．选A．
方法总结：当图形涉及的角较多，角之间的关系较复杂时，运用方程的思想建立有关方程，则使解题思路清晰化，有助解题方法的获得．
二、多边形的边、角及对角线
多边形的边、角的定义与三角形类似，其对角线是将多边形问题转化为三角形问题的一个重要工具，从n边形的一个顶点出发可引（n—3）条对角线，把多边形分成（n—2）个三
角形，n边形共有2)3
(-
n
n
条对角线．
多边形的内角和定理反映了边数与角之间的关系，利用它求内角和或边数实质是解一元一次方程；而多边形的外角和恒为360°，因此常常将多边形的内角问题转化为外角来解决．将多边形问题转化为三角形问题解决，是解多边形问题的一个基本思路，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法．
典例精讲
例1 如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
方法指导：图中所求和的七个角比较分散，可利用外角的关系将它们集中到一个五边形内，然后利用多边形的内角和计算．
解：∵∠1=∠E+∠F，∠2=∠C+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G．
而由多边形内角和定理得：∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=（5—2）×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．
方法总结：利用三角形外角的性质将所求的角集中到一个五边形里，然后利用五边形的内角和计算．
例 2 如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的角度数．设最小角是80°，最大角是100°，求多边形的边数．
方法指导：根据题意可求出多边形的内角平均度数，然后结合多边形内角和定理建立方程求解．
解：最小角是80°，最大角是100°，求多边形的边数．
方法指导：根据题意可求出多边形的内角平均度数，然后结合多边形内角和定理建立方程求解．
解：最小角是80°，最大角是100°，且依次增加相同的度数，则多边形的内角平均度
数为
︒
=
÷
︒
+
︒90
2
)
80
100
(，设多边形的边数为x，则有：90x=（x—2）·180．
解得：x=4．
故多边形的边数为4．
方法总结：方程思想是解多边形有关问题常要用到的思想方法．
例3 如图所示，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度
数．
方法指导：观察图形可知，易求出六边形ABCDEF的内角和，因此欲求∠F，只需求∠BAF 或CDE即可．但题中条件显然不够，因此考虑延长CB、FA交于H点，得△BHA，借助三角形的有关性质解题．
解：如图所示，延长CB、FA交于H点，
∵CD∥AF，∴∠H=180°—∠C=180°—124°=56°．
∵∠BAF为△HAB的外角，∴∠BAF=∠H+∠ABH=56°+90=146°．
又∵∠BAF=∠CDE，∴∠CDE=∠BAF=146°．
∵六边形ABCDEF的内角和为4×180°=720°，
∴∠F=720°—∠E—∠D—∠C—∠ABC—∠BAF=720°—80°—146°×2—124°—90°
=134°．
方法总结：将多边形问题转化为三角形问题来处理常用的方法是对内分割或向外补形成连对角线，本题采用的是向外补形的方法．
三、点击中考
本章知识中的中考考点是：
·三角形的三边关系，是各地中考常考内容，一般以填空题、选择题的形式出现；
·三角形的高、角平分线、中线的性质，以填空题、选择题形式出现；
·三角形的内角和定理、外角的性质，是中考常考内容之一，而且常常会与后续知识综合考查，一般以选择题、填空题的形式出现，当与其他知识综合考查时，以综合题的形式出现．
·多边形的内角和、外角和、对角线的作用，是中考的必考内容，常以填空题、选择题的题型出现．
·平面镶嵌，特别是正多边形的镶嵌，是近几年中考的热闹考点，一般以大题形式出现，分值平均八分~十分左右，有时也与后续知识综合考查．
典例精讲
例1 填空题：
（1）（青海省中考题）两根木棒的长分别是8cm和10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的取值范围是_________；
（2）（河北省中考题）已知如图所示，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=78°，点O是△ABC的角平分线的交点，BO的延长线交AC于D，则∠BDC的度数为_________；
（3）（安徽省中才考题）如图，直线AB、CD交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，如果∠AOC=50°，那么∠EPF=___________．
方法指导：（1）根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得出x的取值范围；
（2）根据角平分线定义、三角形内角和定理进行解答；
（3）由邻补角定义求出∠AOD，由垂线定义求出∠PEO、∠PFO，再根据多边形内角和定理求出∠EPF．
解：（1）2cm<x<18cm （2）77°（5）50°
方法总结：熟练各考点相关的内容，是解答题目的关键．
例2 选择题：
（1）（四川省中考题）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且2
4cm
S ABC=
∆，则阴影部分的面积为（）
A．
2
2cm B．2
1cm
C ．221cm
D ．241cm
（2）（北京市朝阳区中考题）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
（3）（黑龙江省中考题）如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每个长方形地砖的面积是（）
A ．2200cm
B ．2
300cm
C ．2600cm
D ．22400cm
方法指导：（1）（1）由三角形的一条中线可将三角形分成面积相等的两部分解题；
（2）设边数为n ，根据多边形外角和、内角和定理建立方程求解；
（3）设小长方形的宽为a ，根据小长方形的宽与长之和等于40cm ，求出a ，再求解大长方形的面积．
解：（1）三角形的一条中线将三角形的面积分成相等的两部分，则：ABE BDE S S ∆∆=，CEA S S CDE ∆=∆；因此：ACE ABE CDE BDE S S S S ∆∆∆∆+=+即
ABC BEC S S ∆∆=21，又BEC BEF S S ∆∆=21，故ABC BEF S S ∆∆41．由于24cm S ABC =∆，所以21cm S BEF =∆，故选B ；
（2）设边数为n ，则（n —2）·180°=360°×3—180°，得n=7．故选C ；
（3）如图所示，设小长方形的宽为a ，则观察图知有：小长方形的长为（40—a ），且2（40—a ）=3a+（40—a ），解得a=10，（40—a ）=30；则小长方形的面积为)(30030102cm =⨯．故选B ．
方法总结：（1）中要善于在不同的三角形中运用“三角形一条中线将三角形分为面积相等的两部分”这个结论；（2）运用相关定理建立方程求解即可；（3）中关键是根据图形结构求出小长方形的长和宽，因此要学会观察图形．
例3 （陕西省中考题）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
__________________________________________________________________________
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
方法指导：（1）正n 边形每个内角的度数为n n ︒⋅-180)2(；
（2）设正多边形的边数为n ，根据“一个顶点处的各内角之和为360°”得，一个顶点处的正多边形个数为：
22180)2(360-=︒⋅-÷︒n n n n ，显然22-n n 必须为正整数，则n=3，
4，6；
（3）两个正多边形镶嵌必须满足“一个顶点处的各内角之和为360°”，根据这个条件建立方程，求出正整数解． 解：（1）108° 120° n n ︒
⋅-180)2(
（2）正三角形，正方形，正六边形
（3）如正方形和正八边形，草图如图所示．
理由：设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么m ，n 应是方程
m ·90°+n ·135°=360°的整数解．∴这个方程的整数解只有⎩⎨
⎧==21n m 一组，∴符合条件的图形只有一种．
方法总结：解答此类题目，需弄清正n 边形内角与边的关系．
综合练习
一、选择题．（每小题3分，共30分）
1．有4根木条长度分别为12cm ，10cm ，8cm ，4cm ，选择其中三根组成三角形，则选择的种数有（）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．一个三角形的周长为30，其中两边分别是第三边的2倍和3倍，则最短边是（）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．适合条件∠A ：∠B ：∠C=2：2：5的三角形ABC 是（）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4．一个三角形的三个内角中（）．
A．至少有一个等于90° B．至少有一个大于90°
C．可能只有一个小于90° D．不可能都小于60°
5．直角三角形两个锐角的平分线所组成的角等于（）．
A．90° B．100° C．120° D．135°
6．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（）．A．5 B．6 C．7 D．8
7．从n边形的一个顶点出发作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）．A．n B．n—1 C．n—2 D．n—3
8．若一个正多边形的一个外角为45°，则这个多边形的内角和为（）．A．1080° B．720° C．540° D．360°
9．能铺满地面的正多边形是（）．
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
10．能铺满地面的正多边形组合是（）．
A．正三角形和正八边形 B．正五边形和正十边形
C．正方形和正七边形 D．正六边形和正八边形
二、判断题．（每小题1分，共10分）
11．三角形的三条中线交于三角形内一点．（）
12．三角形的三条高至少有一条在三角形内部．（）
13．一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是五边形．（）14．一个三角形内角之比为3：2：1，此三角形有一个钝角．（）
15．多边形中内角最多有两个是锐角．（）
16．一个三角形中，至少有一个角不小于60°．（）
17．以a，b，c为边，若a+b>c，则可以构成一个三角形．（）
18．一个多边形增加一条边，它的内角和相应增加180°．（）
19．若△ABC中的内角满足
C
B
A∠
=
∠
+
∠
2
1
，由此三角形的内角都是锐角．（）
20．四边形外角和大于三角形的外角和．（）
三、填空题．（每空2分，共28分）
21．等腰三角形底边长为6，则它的腰长a的范围是____________，等腰三角形的腰长为6，则它的底边长b的范围是__________．
22．在△ABC中，
（1）若∠A+∠B=∠C，则∠C=___________°；
（2）若∠A=36°，∠B比∠C大35°，则∠B=_____________°；
（3）若∠A—∠B=∠C—∠A，则∠A=____________°；
（4）若一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44°，则此三角形的最大角是__________°．
23．如图7-5-1，∠1=140°，∠B=75°，则∠A=_____________．
24．如图7-5-2，D，E是边AC的三等分点，图中有____________个三角形，BD是三角形___________中____________边上的中线；BE是三角形____________中____________边上的中线．
25．若一个四边形的四个外角的度数之比为1：1：2，则它的相应的四个内角的度数为___________．
26．如图7-5-3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________．
四、解答题．（共32分）
27．（8分）如图7-5-4，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且∠B=3∠BAD，求∠ADC的度数．
28．（8分）不等边三角形的三条边长都是自然数，其中两条边长是3，4，5中的某两个数．求符合条件的三角形周长的所有不同值．
29．（8分）过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角
线，试求
n
p
m)
( 的值．
30．（8分）走在上学的路上或者是公园里，我们可以发现地上铺的地砖有的虽然非常简单，却能拼出美丽的图案来，构成图案的每一块地砖都是正方形吗？请你自己设计一个用两种或三种地砖铺成的美丽图案．
参考答案
一、1．C 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．A 9．B
10．B
二、11．√ 12．√ 13．× 14．× 15．× 16．√ 17．× 18．√
19．× 20．×
三、21．a>3 0<b<12
22．（1）90 （2）90 （3）60 （4）96
23．65°
24．6 ABE AE BCD CD
25．120°，120°，60°，60 26．360°
四、27．因为∠C=90°，所以∠B+∠BAC=90°．因为AD 平分∠BAC ，所以BAC BAD ∠=∠21，所以∠B+2∠°BAD=90°．因为∠B=3∠BAD ，所以3∠BAD+2∠BAD=90°，所以∠BAD=18°，所以∠B=54°，所以∠ADC=∠B+∠BAD=54°+18°=72°．
28．共有8个不同值：周长可以为9，11，12，13，14，15，16，17．
提示：分三类讨论，共存在2，3，4；3，4，5；3，4，6；3，5，6；3，5，7；2，4，5；4，5，6；4，5，7；4，5，8．
29．解：由题意可知，n=3，m —3=8，得m=11，2)3(-=p p p 解得p=5，所以216)511()(3=-=-n p m ．
30．略。