§各向异性板的小挠度弯曲问题
(整理)第6章弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K)
第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。
薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。
薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。
1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。
这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。
当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§6.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。
变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。
由Kirchhoff 假设，可以得到xwzz y x u ∂∂-=),,(，y w z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1）并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （6-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法培训资料
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
x y
xy
1 E 1 E
(
( 2 (1
x
y
E
)
y x xy
) )
（9-2）
即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。
， （3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移
(u)z0 0 (v)z0 0
（9-3）
x
u x
、y
v y
将（a）x 2
2
y
w
2
)
y
Ez
1 2
2w (
y 2
2w x2
)
xy
Ez 1
2w () xy
（9-4）
（3）用w表示应力分量zx、zy 由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）： zx x yx ，将（9-4）式代入，有：
z
2(1E2)[d42
(zd)1(z3
23
d3)]4w
8
6(1Ed3 2)(12dz)2(1dz)4w
（9-6）
3. 弹性曲面微分方程
（1）在薄板上边界，(z)zd q，q薄板单位面积内的横向荷载， 2
包括横向面力及体力。
（2）将（9-6）式代入上式，有：
Ed3 4wq 12(12)
（9-7）
其中:
D4w q
D Ed 3 12(1 2 )
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
钢筋混凝土板弯曲问题的各向同性化最小平方误差法
钢筋混凝土板弯曲问题的各向同性化最小平方误差法
金丰年;方华军;高小玲;欧阳科峰
【期刊名称】《防灾减灾工程学报》
【年(卷),期】2004(24)4
【摘要】利用合适的坐标变换将钢筋混凝土板的弯曲问题变换为各向同性板弯曲问题。
由弹性薄板的虚功原理及最小平方误差法计算各向同性板弯曲变形,得到原正交各向异性薄板的挠度方程。
算例表明,在近似函数选取合理的情况下,该方法简单,计算时间短,具有较高的精确度。
【总页数】4页(P402-405)
【关键词】钢筋混凝土板;弯曲问题;各向同性化;最小平方误差法
【作者】金丰年;方华军;高小玲;欧阳科峰
【作者单位】解放军理工大学工程兵工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TU375
【相关文献】
1.用伽辽金法求解三参数弹性地基上的钢筋混凝土板的弯曲问题 [J], 皮德政
2.板面为各向异性面的横观各向同性弯曲板的精化理论 [J], 李荣荣;赵宝生
3.设计线性时变递归数字滤波器的时域最小平方误差法 [J], 殷福亮;王宏禹
4.横观各向同性功能梯度圆板弯曲问题的精确解 [J], 郑磊
5.钢筋混凝土板弯曲问题的各向同性化域外奇点解法 [J], 王元淳;吴文志
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两对边简支单向非均匀变厚度正交各向异性矩形板弯曲的一般解
+α m ( y − t ) shα m ( y − t )[ D2 '( y ) − D1 '( y )v2 − 2 Dk , ( y )] + shα m ( y − t )[ 3α m D2 ( y ) D1" ( y )v2 + D2" ( y ) D1 ( y )α m + − 2 2α m 2
−4 pm0 = α m f m (0),
p' m 0 = α
−5 m
' D2 (0) f ' m (0) − 2 p α m D2 (0) m 0
i −1
pmi = ( Fmi − ∑ pmj K mij ) / K mij ,
j =1
(4.3)
(i = 1,2,....k ),
其中：
-4-
K mij =
y ∂f ( y , t ) ∂ y [ ∫ f ( y , t )dt ] = f ( y, y ) + ∫ dt , 0 0 ∂y ∂y
(3.2)
容易求得关于未知函数 ϕ m ( y ) 的如下第二类 Volterra 积分方程：
ϕm ( y ) + ∫ K m ( y, t )ϕm (t )dt = f m ( y),
v1 = v2 = v0 = const D1 = D2 = D0 = const , Dk = (1 − v0 ) D1 2
-3-
时 ， 以 上 结 果 退 化 为 Levy 解 。 对 于 指 数 变 刚 度 D( y ) = D0 exp(λy ) 和 线 性 变 刚 度 D( y ) = D0 + D1 y 的特殊情形，可以求得与文献完全一致的精确解。
第12章薄板的小挠度弯曲问题
第12章薄板的⼩挠度弯曲问题第⼗⼆章薄板的⼩挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移和应变分量薄板⼴义⼒薄板⼩挠度弯曲问题基本⽅程薄板⾃由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简⽀薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应⼒⼴义位移和薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板⾃由边界⾓点边界条件挠度函数的分解⼀、内容介绍薄板是⼯程结构中的⼀种常⽤构件，它是由两个平⾏⾯和垂直于它们的柱⾯所围成的物体，⼏何特征是其⾼度远⼩于底⾯尺⼨，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性⼒学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要⾸先建⽴应⼒和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和⼏何特征，外⼒为横向载荷，厚度远⼩于薄板的平⾯宽度，可以忽略⼀些次要因素，引⼊⼀些基本变形假设，抽象建⽴薄板弯曲的⼒学模型。
薄板的⼩挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采⽤位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，⾸先将薄板的应⼒、应变和内⼒⽤挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建⽴挠度函数表达到平衡⽅程。
对于薄板问题，边界条件的处理和弹性⼒学平⾯等问题有所不同，典型形式有⼏何边界、混合边界和⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应⼒、⼴义⼒和⼴义位移；3、薄板⼩挠度弯曲问题的基本⽅程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要⼏何特征是板的中⾯和厚度。
⾸先，根据⼏何尺⼨，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度⼩于厚度的五分之⼀，属于⼩挠度问题。
对于⼩挠度薄板，在横向载荷作⽤下，将主要产⽣弯曲变形。
根据薄板的外载荷和⼏何特征，外⼒为横向载荷，厚度远⼩于薄板的平⾯宽度，可以忽略⼀些次要因素，引⼊⼀些基本变形假设，抽象建⽴薄板弯曲的⼒学模型。
薄板的⼩挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫⾸先提出的，因此⼜称为基尔霍夫假设。
第十四讲薄板小挠度弯曲(一)课件资料
第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。
荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。
横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。
中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。
薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。
放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。
只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。
（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。
弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。
小挠度问题
板壳力学
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2) 剪应变 微元平面内几何变形 (距中面为 z ) 平 板 理 论
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微元的剪切角 、 之和即为剪应变。 剪切角 为 平 板 理 论 根据小变形假定
则有
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同理可得到剪切角 平 板 理 论
x
若OA边有初始变位， 则上两式右边应为对应初值。 y
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(2) 简支边 (OC) 边界条件，y=0 时： 平 板 理 论 也反映
或 b 若边界有初始变形，则上两式右边 不为0，用对应值代替。 y
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a
x
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(3) 自由边 (AB) 边界条件，y=b时，该边界上的力均为零，则 平 板 理 论 不忽略yz、 zx, 平衡方程为6阶, 需要6个边界条件;
y b
(Qy
)
y b
0
即等效横向剪力为0。
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则，自由边界 y=b 时的两个条件为 平 板 理 论 若自由边界上有分布 荷载，则右边不为0
Vy
y b
(Qy
M yx x
)
y b
0
用挠度w 表示，则为
若自由边界上有位 移，则右边不为0
Myx—— y 取某值的截面上，绕 y 轴(旋转)的弯矩
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与主要应力对应的薄板中面内力表达式为 平 板 理 论 将应力-变形关系表达式代入，则有：
利兹法求解正交各向异性矩形板的弯曲
失效分析与预 防
第 ７卷
薄板 ；
３ 板近 似为平 面应 力状 态 ； ）
—
４ 变形 前 垂 直 于 中面 的直 法 线 变 形 后 仍 垂 ）
直 于 中面 ；
６２ ，
５ 只考 虑小 挠度 和小应 变 问题 。 ）
＋
ｂ２ ／
—
Ｌ
１ 挠 度 方程
Ｉ—。 斗 － ｎ — ／ ２ — ／ ２ —
Ａ警 ＝［
（０ １）
其中， ｇ为横向载荷集度。 对 于 图 １所 示 矩 形 板 ， 定 横 向载 荷 集 度 ｇ 假
弯 曲刚度 矩 阵 ：
为 均匀分 布 ， 积分后 得到 ：
＝
五 ＋ （ 。 ） （ ） １ ］ ４ ）（ ）
１ ＝ ９ ２６＋ ７ １ 。 ９ １
［ 摘
要］ 主要分析正交各 向异性矩形板在 四边 固支条件下弯 曲问题 。用双重 Ｆ ｕ ｅ 级数表达 弯曲挠度 函数 ， 函数 须满 ｏｒ ｒ ｉ 该
足 固支边界条件。用能量法求出正交各 向异性板的总势能 ， 分别截断级数的第 １ 项和前 ４ 项代 人势能方程 中， 用利兹法 ， 利
即最小势能原理求 出挠度级数的系数项 ， 利用应力应变与挠度之间的关系求 出板的应力。结合有限元分析软件计 算板的挠 度以及应力 ， 最后将两者结果对比分析。研究表明 ， 挠度和应 力计算四级近似方程较一级近似方程更精确 ， 应力计算需 取到
简支矩 形 板 的挠度 上迭 加沿 各边 缘分 布 的弯矩 所
０ 引言
产生的挠度 ， 弯矩 是通过 固支边界条件求得 。张 福范 在处理此 问题 时采用力 法与三角级数 的 混合解法 ， 将双重正弦级数代入变形能方程 ， 由虚
点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解
点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解随着科学技术的日益发展和人类社会对工程技术要求的提高，对结构物强度的要求也不断提高，以确保结构的安全性、功能性和经济性。
因此，考虑材料的性能，优化设计结构，研究结构力学问题成为工程技术研究中不可忽视的重要内容。
研究结构力学问题，分析材料受力状态，对保证结构安全有着重要意义。
圆柱型正交各向异性圆板是结构力学中的一个经典问题，研究起来具有重要的实际应用价值。
点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲是一类特殊的问题，它主要解决以下问题：确定弯曲圆板受力状态，计算出弯曲圆板的弯曲挠度、挠曲分布以及应力场分布，深入细致地分析圆板的材料性能，从而给出精确解，最终为结构设计提供有效参考，从而改善结构的受力状态和性能。
为了能够解决点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解，本文采用微分椭圆方法研究，具体分析了圆柱型正交各向异性圆板弯曲的特性及其表达式，通过对材料特性及应力场分布的分析，求解出了精确解，并对结果进行了数值验证。
结果表明，采用微分椭圆方法求解点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解，可以较好地满足实际需求。
首先，本文介绍了圆柱型正交各向异性圆板弯曲的概念，对其形式表达式及受力分析进行了详细的讨论，指出了各向异性材料的应力特性和圆板弯曲受力情况，并进一步解释了圆板受力的特点分布和圆板弯曲受力状态。
然后，本文介绍了点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲的基本研究内容，并对圆柱型正交各向异性圆板弯曲的应力特性和圆板弯曲的物理理论分析等重要研究内容进行了全面系统地分析，总结出了点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的相关特性和影响因素。
最后，本文用微分椭圆方法来求解点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解，介绍了计算步骤和验证结果，比较了微分椭圆方法及其他几种方法求解圆柱型正交各向异性圆板弯曲的数值结果，得出了微分椭圆方法求解精确解的可行性。
综上所述，本文完成了点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解研究，采用微分椭圆方法求解点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解，验证了微分椭圆方法求解精确解的可行性。
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TONGJI University 3) 板的薄厚 平 板 理 论 薄板——板厚远小于平面的最小尺寸 (t/b=1/5~1/8) 厚板 (中厚板)——t/b>1/5 膜——很薄且柔，抗弯刚度很弱或没有抗弯刚度 划分原则：考虑沿厚度方向(z向)的效应?
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2) 剪应变 微元平面内几何变形 (距中面为 z ) 平 板 理 论
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TONGJI University 微元的剪切角 、 之和即为剪应变。 剪切角 为 平 板 理 论 根据小变形假定
则有
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TONGJI University 同理可得到剪切角 平 板 理 论
由此，得到剪应变 xy
但是，剪应变 xy 中的 u、v 未知。
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TONGJI University 板弯曲变形后, 中面由于板挠曲产生的 x 方向的挠曲角 (或 绕 y 轴的转角)为x， x 与 w 的几何关系为 平 板 理 论 根据中面不变形的基本假定(3), 可得距中面为 z 处的点的水平 位移 u 可表示为
平 板 理 论
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图示为横向荷载作用下，板单位长度上的内力
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TONGJI University 力矩的方向： 平 板 理 论 Mx—— x 取某值的截面上，绕 y 轴(旋转)的弯矩 My—— y 取某值的截面上，绕 x 轴(旋转)的弯矩 Mxy—— x 取某值的截面上，绕 x 轴(旋转)的扭矩
有限元基本理论及工程应用：第七章 四阶问题(板的弯曲)1
节点: １、２、３ 位于三个角点
４、５、６ 位于各边中点。
节点参数：
wi
(i
1
~
3) , (w n
)i
(i 4 ~ 6)
2. 单元位移场
w 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
３
y
５
６
２
４
１s
o
n
x
图７－７
(7-5-1)
由
wi
i
1
~
3）、( w n
)
i（i
4
~
6）定出6个待定系数。
xi＝
w y
i
、
yi
w x i
位移场：
w N1w1 N x１ x１ N y１ y１ N 2 w2 N x２ x２ N y２ y２ N3w3 N x３ x３ N y３ y３
(7-6-4)
形函数的表达式为：
L1 L2 L3 1
单元位移场 w
N1＝Ｌ
＋Ｌ
1
§7- 4 十六自由度矩形单元（ＢＦＳ元）
实现协调条件的一个办法是引入高阶导数做为节点参数
n
y
４
1. 单元和节点参数
单元： 边与 x、y 轴平行的矩形；
n
节点: 取矩形的四个角点。
１ n
o
节点参数：
wi、 ( wx
)
i
、 ( w y
)
i
(
2w xy
)
i
(i 1 ~ 4)
2. 单元位移场
图７－6
w 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
节点３的面积坐标为：（０，０，１）
点Ｍ的面积坐标（L1、L2、L3）和总体坐标（ x、y ）之间存在着线性关系
第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法ppt
而是对边简支对边为任意边界的矩形薄 板
怎样选取挠度函数呢
q(x,y)
边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心
一 边界条件
支）
任意边界（固支或自由或简 任意边界（固支或自由或简
二 选取w(x,y)
原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数）
，导致 实际
实际
，导致
不符合 不符合
3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项
0
§13-10 圆形板 轴对称问题算例
序 算例 号 1
2
3
4
载荷 解答
定解条件 特解
序 算例 号 5 6
7
8
载荷 解答
无均 布载 荷 无均 布载 荷
上 下
定解条件 特解
§13-11 圆形薄板在 静水压力下的弯曲
件 三个自由边则要提出两个角点条件
角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力
2.角点力能否与弯曲内力 叠加？ 3.角点力能否与 叠加？ 4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合
并为
5.写出下列板的边界条件
O
bz
a
写出x=a边界条件
C x 及B点和C点角点条件
4． 关于q，单位（力*长度 ），沿着 z方向为正
t
q z 2 zdz
面力
t2
体力
板壳力学
12
§13-3 薄板应力和内 力相互关系
复习
薄板弹性曲面微分方程
一.应力 内力
(13-12)
哈密顿体系下正交各向异性板弯曲的求解
Science &Technology Vision 科技视界0引言目前很多文献讨论各向异性板的弯曲问题的方法。
如张福范[1]用三角级数解正交各向异性板弯曲问题,冯立华[2]用利兹法求解正交各向异性矩形板的弯曲,王克林[3]用级数和叠加解得到正交各向异性板弯曲问题的解,张承宗[4]用复级数展开法求解了各向异性板的横向弯曲问题,王震[5]用傅立叶级数法求解了各种边界条件下的正交各向异性板弯曲问题。
上述一些方法中在求解不同矩形板的问题时不够系统而且要硬性事先选取弯曲挠度。
本文将基于哈密顿体系来对正交各向异性板的弯曲问题进行推理直接可以获得弯曲解的表达方式进而获取一种较普遍适用的解法。
本文首先由板弯曲方程导入哈密顿体系,将问题的求解转入求解推导出的哈密顿对偶方程,将问题的解通过本征值和本征函数来表示,在求解本征向量时会依据本征值特点选取简洁的本征向量,并能够有规律并简洁的表述问题的解。
1哈密顿体系的导入本文在弹性力学基本方程的基础上来进行导入哈密顿体系。
1.1板弯曲的挠度函数方程为:D 11ə4w əx 4+2(D 12+2D 66)ə4w əx 2əy 2+D 22ə4w əy 4=q (1.1)其中,w 表示板的挠度,q 为横向外载荷,D 11,D 22,D 12,D 66为板的弯曲刚度。
板内弯矩扭矩、剪力以及等效剪力分别表示M x =-(D 11ə2w əx 2+D 12ə2w əy 2),M y =-(D 12ə2w əx 2+D 22ə2w əy 2),M xy =-(2D 66ə2w əx əy)(1.2)Q x =-əəx (D 11ə2w əx 2+(D 12+2D 66)ə2w əy 2),Q y =-əəy ((D 12+2D 66)ə2w əx 2+D 22ə2w əy 2)(1.3)V x =Q x +əM xy əy =-(D 11ə3w əx 3+(D 12+4D 66)ə3w əx əy 2),V y =Q y +əM xy əx =-((D 12+4D 66)ə3w əx 2əy +D 22ə3w əy 3)(1.4)T =-V x =D 11ə3w əx 3+(D 12+4D 66)ə3w əx əy 2(1.5)1.2以[w ,φx ,T ,M x ]T 为对偶变量的方程设v =[w ,φx ,T ,M x ]T ,对x 求偏导,并结合(1.2)我们得到:w ·=əw əx =ϕx ,ϕ·x =ə2w əx 2=-(D 12D 11ə2w əy 2+M x D 11)(2.1)类似地,我们得到:T ·=-((D 22-D 122D 11)ə4w əy 4-D 12D 11ə2M x əy 2)+q ,M ·x =4D 66ə2φxəy 2-T (2.2)其中,转角ϕx =əw əx.上面方程可以写成如下的矩阵形式:v ·=Hv+f (2.3)其中,H =A C B -A T[],f =[00q0]T ,A=01-D 12D 11ə2əy 2[],B =-d 1ə4əy 4d 3ə2əy 2[],C =000-1D 11[]B=B T,C=C TA T=0-D 12D 11ə2əy210[],d 1=D 22-D 122D 11,d 3=4D 66v =[w ,φx ,T ,M x ]T 为板的状态向量,f =[00q 0]T 为外力向量.“·”表示对x 求偏导。
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
§13.2弹性曲面的微分方程
3.力平衡方程
z
w 表示，取体力分量 Z 0
z xz yz
z x y
zx
2
E
1 2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 2
z2
t2 4
y
2w
z
z
E (z2t2)4w
2(12) 4
推导过程
21
PPT课件
z xz yz z x y
zx
y xy zy 0 y x z
z
xz
yz
Z
0
z x y
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
yzvzw y,zx
uw z x
物理方程
x E1[(x (y z)];y E1[(y (x z)];
z E1[(z (x y)]
xy
8G1xy;yz
G1yz;zx
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
2w y
zx
2
E
1 2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 2
z2
t2 4
y
2w
20
PPT课件
z E (z2t2)4w
z 2(12) 4
22
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解
点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解近年来，随着科学技术的发展和计算机的应用，力学的研究越来越受到关注。
其中，研究和分析点简支圆柱型正交各向异性圆板的弯曲问题，已经成为当今力学研究的重要课题，因为与物理实验相比，其具有计算精确，可控性强等优点。
点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题，是指在边界条件下，某种各向异性圆板因外力作用，以及支撑点的存在而发生挠曲的问题。
为了实现更多的计算机仿真，建立一个精确的曲面计算方法，来得出曲面形状和各向异性特性的解，是近年来重要的研究课题之一。
首先，需要分析此问题，找出其物理由来，并建立数学模型。
由材料力学理论可知，该模型可由一组和介质分布相同的非线性微分方程构成。
由此可推出，圆板挠曲的曲面可以由这组微分方程给出。
由于微分方程系统是非线性的，因此无法用常规方法来求解，需要采用适当的迭代方法，如牛顿迭代法和非线性最小二乘法，来求出精确解。
其次，应该调整算法，以便在求解计算过程中，简化算法的困难度，充分利用数据的特性，同时有效使用计算机资源，以达到精确解的要求。
在这种情况下，希望通过改进之前的算法，重新设计更为简单、高效、有效的算法，以最大程度地提高模型求解的精度，同时减少计算机资源的消耗，提高计算效率。
最后，需要进行有效的验证工作。
解决点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的算法验证是一个大工程，由于计算机运算的精度有限，必须严格检查算法的精确度，以及计算结果的准确性和可信度。
常用的验证方法包括精度验证、重复性验证、随机性验证等。
通过这些验证方法可以有效保证算法的准确度，以进一步提高算法的精确性。
从而，通过上述分析，研究并完善点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的数值解，可以使用计算机进行模拟实验，提供有效的理论依据，从而更好地发挥力学在实践中的重要作用，更好地服务实际的工程项目。
总而言之，点简支圆柱型正交各向异性圆板弯曲问题的精确解是一个复杂的数学模型，在计算解的过程中，要求特别注意算法的选择、调整和验证，以达到最优的计算效果。
正交各向异性空心板弹性挠度的计算分析
正交各向异性空心板弹性挠度的计算分析空心楼板两个方向的截面刚度不同，导致其强度及变形演算与现浇混凝土实心板并不一致。
对于大跨各向异性空心板的弹性挠度计算应充分考虑空心板的两向刚度差。
本文应用能量法进行空心板弹性挠度公式的推导，给出各向异性空心板在均布荷载作用下的弹性挠度计算公式，为将来解决大跨度空心板的挠度超限问题提供参考。
标签空心板；能量法；弹性挠度1 引言现浇混凝土空心楼盖是一种新型的楼盖体系，由于能提供大柱网，大空间，自由分隔房间以及降低建筑高等等优点，已被大量应用于实际工程当中。
但是，由于空心楼板两个方向的截面刚度并不完全相同，所以，其强度及变形演算与现浇混凝土实心板并不相同。
虽然通过大量的试验研究表明工程中常用的空心板两向刚度可近似认为相等，但是，也存在刚度相差较大而认定为各向异性空心板的情况。
目前，对大跨度空心板的挠度超限问题已进行大量的研究分析，本文应用能量法进行公式推导，给出各向异性空心板在均布荷载作用下的空心板的弹性挠度计算公式，为解决大跨度空心板的挠度超限问题提供有益的参考。
由于混凝土开裂后，混凝土板截面有所削弱，板的荷载—挠度曲线可分为两个阶段：弹性未裂阶段，此时荷载—挠度曲线基本呈线性关系；开裂阶段，荷载—挠度曲线基本呈非线性关系[1]。
本文研究的为空心板弹性工作阶段的挠度。
2 里茨法的应用当空心板两个方向的刚度差不能忽略时就认为是各向异性的现浇空心板。
当不存在空心管内膜的端部横肋时，即有可能出现各向异性的情况。
本文采用能量法中的里茨法，对均布荷载作用下现浇空心板任意一点处的弹性挠度表达式进行推导。
取四边简支的矩形区格空心板为计算单元，其长、短边尺寸分别为a和b。
假定此空心板为正交各向异性板，取挠度函数为[2]：（1）将式(1)代入正交各向异形板形变势能公式，做积分运算，并经整理得到如下总形变势能公式：则：（2）其中：、为薄板在弹性主向的弯曲刚度；是薄板在弹性主向的扭转刚度；。
弹性力学-第十三章 薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法
要点：
（1）弹性薄板的挠曲面微分方程建立； （2）弹性薄板问题的解法：纳维（Navier C. L. ）
解法、李维（Levy, M.）解法等； （3）圆形薄板极坐标求解、变厚度板的近似求解等。
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-1 有关概念及基本假定 §13-2 弹性曲面的微分方程 §13-3 薄板横截面上的内力及应力 §13-4 边界条件 扭矩的等效剪力 §13-5 简单例题 §13-6 简支边矩形薄板的纳维叶解 §13-7 矩形薄板的李维解法及一般解
1 E
(
x
1 E
(
y
2(1
E
y
x ) xy
) )
(13-3)
——与平面应力问题
的物理方程相同
（1）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z
引起的形变；但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。
（2）薄板弯曲问题与平面应力问题的物理方程相同，但
沿板厚方向，对于 x , y , xy ，平面应力问题的
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-8 圆形薄板的弯曲 §13-9 圆形薄板的轴对称弯曲 §13-10 轴对称弯曲问题的实例 §13-11 圆形薄板在静水压力下的弯曲
§13-12 变厚度矩形薄板
§13-13 变厚度圆形薄板
§13-14 文克勒地基上基础板 §13-15 薄板的温度应力
和扭矩 M xy 。
（3）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z 引起的形变 zx , zy , z ，即
zx zy z 0
表明：中面法线在薄板弯曲时，保持不伸缩，并 成为弹性曲面的法线。
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对于正交各向异性板，将x轴和y轴也放在弹性主向（三个 坐标面都成为弹性对称面），则物理方程如（17-4）所示。取 出其中的第一式、第二式及第六式，按照薄板小挠度弯曲问题 中的假定，命 z 0 ，得到
x a11 x a12 y , y a12 x a22 y , xy a66 xy。
6
（17-16）
其中
E1 3 D1 , 12(1 12 ) E2 3 D2 , 12(1 12 ) G 3 Dk 。 12
/2 /2
（17-11）
其中的常数
Dij Bij
3
12
（17-12）
3
薄板的平衡方程与弹性常数无关，因此，以前针对各向 同性板而导出的平衡方程
M xy M y Mx 2 q 0 2 2 x xy y
2 2 2
（17-13）
也适用于各向异性板。将（17-11）式代入，即得各项异性板 在横向荷载作用下的弹性曲面微分方程
/2 /2
（17-15）
于是可以得出用w表示弯矩及扭矩的表达式如下：
2w 2w M x x z d z D1 2 2 2 , y x 2w 2w /2 M y /2 y z d z D2 2 1 2 , x y 2w /2 M xy /2 xy z d z 2 Dk , xy
2
w y z 2 , y
2
w xy 2 z 。 （17-8） xy
2
但是，物理方程却将和各向同性板中的不同，需要重新 进行推导。在物理方程（17-3）的第一式、第二式及第六式 中，按照假定命 z 0，得到各向异形板的简化后的物理方程：
x a11 x a12 y a16 xy ,
（17-9）
（17-10）
2
a11 a12 a16
a12 a22 a26
a16 a26 。 a66
现在，利用（17-9）式，可将弯矩及扭矩用挠度w表示成为
2w 2w 2w M x x z d z D11 2 D12 2 2 D16 , x y xy 2w 2w 2w /2 M y /2 y z d z D12 2 D22 2 2 D26 , x y x y 2 2 2 w w w /2 M xy D26 2 2 D66 , /2 xy z d z D16 2 x y xy
4w 4w 4w 4w 4w D11 4 4D16 3 2( D12 2D66 ) 2 2 4D26 D22 4 q（17-14） 4 x x y x y xy y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可以用来在边界条件下求解薄板的挠度w，从而用（17-11） 式求得弯矩和扭矩，并用（17-9）式求得弯应力及扭应力。 通过方程（17-11）及（13-15），不难把横向剪力也用w来 表示。
00000
§17-3各向异性板的小挠度弯曲问题
Character
实验结果指出：尽管薄板是各向异性的，只要它的中面 （以及与中面平行的各平面）是弹性对称面，而且挠度远小 于厚度，则§13-1中所述薄板小挠度弯曲理论中的假定，都 仍然是可用的。因此，可以和§13-1中完全一样地导出下列 几何方程：
w x z 2 , x
在工程文献中，一般都将上式改写成为
（b）
x
x 1 y
E1
, y
y 2 x
E2
, xy
xy
G
,
（c）
由于（17-4）式或（b）具有对称性，因此有1 / E1 2 / E2。 求解应力分量，得
x
5
E1 x 1E2 y 1 12
, y
E2 y 2 E1 x 1 12
,
xy G xy。
将几何方程（17-8）代入，得
2w 2w x E1 2 1 E2 2 , 1 12 x y 2w z 2w y E E , 2 2 1 1 12 y 2 x 2 2w xy z 2G 。 xy z
y a12 x a22 y a26 xy , xy a16 x a26 y a66 xy ,
1
（a）
和平面应力问题中的物理方程（17-5）相同。求解应力 分量，然后利用几何方程（17-8），可将应力分量用挠度w 表示如下： 2 2 2
w w w x z B11 2 B12 2 2 B16 , x y xy 2w 2w 2w y z B12 2 B22 2 B26 , x y x y 2w 2w 2w xy z B16 2 B26 2 B66 , x y xy 2 2 a22 a66 a26 a11a66 a16 B11 , B22 , 2 a16 a26 a12 a66 a11a22 a12 B66 , B12 , a12 a26 a22 a16 a12 a16 a11a26 B16 , B26 ,