反比例函数图象与性质及应用

m 1 0 | m | 2 1
●
是反比例
m 1时,函数解析式为: y 2x1
已知y与x成反比例，并且当 x =3时，y =7， 求 21 该反比例函数解析式. y
x
考点二、反比例函数的图象与性质
k k 0 ）的图 （1）反比例函数 y （k 为常数， x 象是 双曲线
k
如图，S矩形PAOB＝PA· PB＝|y|· |x|＝|xy|＝|k|，同理 1 1 可得S△OPA＝S△OPB＝ |xy|＝ |k|. 2 2
与双曲线上的点有关的图形面积
1 1 S△AOP＝ |k|，S△APB＝ |k|，S△APP′＝2|k|. 2 2
(注：P’是P关于原点的对称点)
2、反比例函数的图象与性质
的图象不经过第 二 象限.
k 0,k 0
o -k
x
试一试：（一次函数与反比例函数的综合问题）
k2＋1 (10)． 正比例函数 y＝kx 和反比例函数 y＝－ x
(k 是常数， 且 k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可 能是( C )
A
B
C
D
考点三 反比例函数解析式的确定（待定系数法） 1．由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数 k，因此只需已知一组对应值就可以求出 k. 2．待定系数法求解析式的步骤 (1)设出含有待定系数的函数解析式； (2)把已知条件代入解析式， 得到关于待定系数的方 程； (3)解方程求出待定系数的值，从而确定解析式．
k 0
k0
（2）图象与性质如下表
k y＝ x (k 是常数， k≠0) k>0 k<0
图
象
所在 象限 性 质
一、三 (x，y 同号) x 的增大而减小
二、四 (x，y 异号) 的增大而增大
在每个象限内，y 随 在每个象限内，y 随 x
函数值 当 x1<x2<0 或 0<x1<x2 当 x1<x2<0 或 0<x1<x2 的大小 时，y1>y2；当 x1<0<x2 时，y1<y2；当 x1<0<x2 比较 时，y1<0<y2 时，y1>0>y2
1 在 Rt△BOD 中， BD＝ OB＝1， OD＝ 3BD＝ 3， 2 ∴点 B 的坐标为( 3，1)． ∵当 x＝ 3时，y＝ 3 ＝1， x
3 ∴点 B( 3，1)在反比例函数 y＝ 的图象上． x
2、如图，已知一次函数 y
的纵坐标都是－2，
8 y 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B x
k的值的多少?
8 （1） y x
1 1 y 2 y 5 x （2） （3） 4x
3 （4） y 2x
1 （5） y x 2
（6）
xy 1
1、反比例函数的定义
试一试：
●
练习2 填空： 1 若 y m 1 是反比例函数，求m的值. x
m 2
2
• 当m为何值时，函数 y m 1x 函数，并求出其函数解析式．
(8) 如果点A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数
-2
-1
y3
y1 y2
y3 y1 y2
A
· B·
·
2
C
x
试一试：（一次函数与反比例函数的综合问题）
k （９）已知反比例函数 y x (k 0)
当
x0
时,y 随着 x 的增大而减小,
k 0
y
角坐标系中， 已知反比例函数 y＝ 的 x 图象经过点 A(1， 3)． (1)试确定此反比例函数的解析式； (2)点 O 是坐标原点，将线段 OA 绕 O 点顺时针旋 转 30° 得到线段 OB，判断点 B 是否在此反比例函数的 图象上，并说明理由．
k 解： (1)把 A(1， 3)代入 y＝ ， 得 k＝1× 3＝ 3， x 3 ∴反比例函数的解析式为 y＝ ； x
2、反比例函数的图象与性质
试一试：
5 (1)函数 y 的图象在第 一、三 象限，当 x 0 时，y 的 x 值随着x值的增大而 减小 ，x的取值范围是 x 0 。
m4 x ，当 x 0 时，y 的值随着x 值的增大而减小，则m的取值范围是 m>4
(2) 对于函数 y
(3) 双曲线 y
y
A（－2，2 ）
A 2 D
B
-2 2 C x
试一试：（比较函数值的大小）
(7) 已知点A(1，y1),B(-2，y2)在反比例函数 y 的图象上，则 y1 < y2(填“>” 、“<”、“=”)
k (k 0) x
k y (k 0)的图象上,那么y1,y2,y3的大小关系是 y x
kx b 的图象与反比例函数
1 1 ）. 经过点（－ 3 ， 3x 9
(4) 若双曲线经过点（－3，2）,则其解析式 6 为 y .
x
2、反比例函数的图象与性质
（3）图象的对称性
y x
yx
反比例函数既是轴对称图形，又是中心对称图形
2、反比例函数的图象与性质
（4）比例系数 k 的几何意义（图象的面积不变性）
长方形面积：
试一试： （5）如图，点P是反比例函数图象上一点， 过点P向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为 12，求反比例函数解析式.
y
12 y x
P
·
N
M
x
试一试：
k (6)如图,直线 y 2 x 2 与双曲线 y x (k 0)
交于点A,与x轴,y轴分别交于点B、C，AD⊥x轴 于点D，如果 SADB SCDB ，那么k＝ -4 .
(2)点 B 在此反比例函数的图象上．理由如下：过 点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C，过点 B 作 x 轴的垂 线交 x 轴于点 D，如图，
在 Rt△AOC 中，OC＝1，AC＝ 3， OA＝ AC2＋OC2＝2， ∴∠AOC＝60° . ∵线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30° 得到线段 OB， ∴∠AOB＝30° ，OB＝OA＝2， ∴∠BOD＝30° .
九年级数学总复习
反比例函数
主讲人：曹珊
考点一、反比例函数的定义
k 一般地，函数 y (k 0) ，k为常数， x
叫反比例函数，自变量取值范围是 x 0 。
k 1 等价形式： y y kx xy k x
1、反比例函数的定义
试一试：
练习1：判断下列函数中，哪些是反比例函数？