高中物理法拉第电磁感应定律及其推论专题辅导

高中物理法拉第电磁感应定律及其推论
河北 冯俊阁
法拉第电磁感应定律是《电磁感应》一章的重点，也是解答电磁感应与其他知识综合问题的关键，下面对这一定律及其推论进行总结并举例说明应用中注意的问题. 一、法拉第电磁感应定律：
电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比.t
n E ∆∆Φ
=（1） 上式中的E 是在时间△t 内的平均感应电动势.
二、法拉第电磁感应定律的推论
1. 当导体回路的面积S 一定，且S 与磁场方向垂直，磁感应强度B 均匀变化时：
S t
B
n
E ∆∆= （2）
推导：将S B ⋅∆=∆Φ代入（1）式S t
B
n t n
E ∆∆=∆∆Φ= 2. 当磁感应强度B 不变，导体长L ，以与B 夹角θ的速度v 平动切割磁感线时：E=BLvs in θ （3）
推导：如图1所示，在时间△t 内，回路面积变化量θ∆=∆Φ∆=∆sin t BLv ,t Lv S ，代入
（1）式并注意n ＝1得：
θ=sin BLv E
当导线垂直切割磁感线时，
θ＝90°，sin θ=1，E=BLv （4）
说明：（3）式和（4）式中，若v 为瞬时速度，则算出的E 为瞬时电动势；若v 为平均速度，则算出E 为平均电动势.
3. 当磁感应强度B 不变，长L 的导体在垂直于B 的平面内绕其一端以角速度ω匀速转动时：
ω=
2
BL 2
1E （5） 推导：如图2所示，因导体上任一点的线速度与该点的转动半径成正比，所以导体切
割的平均速度等于中点的速度ω=2
L
v ，代入（4）式得.BL 21E 2ω=
4. 匝数为n 面积为S 的线圈，在磁感应强度为B 的匀强磁场中以角速度ω绕在线圈平面内且垂直于磁场方向的轴转动时（从S 与B 垂直开始计时）：
t sin nBS E ωω= （6）
推导：如图3所示. 设ab=cd=l 1，ad=bc=l 2，从S 与B 垂直开始计时，经时间t 线框转到图4所示位置（俯视图）时，根据（3）式得每一匝线圈中t sin v Bl E E 1cd ab ω==，而v =
212
l l S ,2
l =ω，所以n 匝的总电动势 .t sin nBS )E E (n E cd ab ωω=+=
说明：①（6）式可推广到一般情况，线圈可以是任意形状的平面线圈、转轴可以是在线圈平面内且垂直于磁场方向的任意转轴.
②若从S 与B 平行开始计时，.t cos nBS E ωω=
三、典型例题
例1、如图5所示，在半径为a 的圆形区域内、外磁场方向相反，磁感应强度大小均为B ，一半径2a 、电阻为R 的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合，在导线环以一直径为轴转180°的过程中，通过导线截面的电量为（ ）
A. 0
B. R B a 42
⋅π C. R B a 62
⋅π D. R
B
a 82⋅π
分析：设开始时导线环在纸面外的侧面为M ，在纸面内的侧面为N. 因环内点磁应线比
叉磁感线多，所以，初态的合磁通从N 面向M 面穿过；末态的合磁通从M 面向N 面穿过，初态与末态磁通量的大小相等. 若取磁感线从M 面向N 面穿过磁通量为正（即取末态磁通量为正），则
初态：.B a 2]a B )a a 4(B [2222π-=π-π-π-=Φ 末态：B a 22π=Φ'
设翻转的时间为△t ，根据法拉第电磁感应定律得：=∆=∆=∆π=∆Φ-Φ'=t R E t I q ,t B a 4t E 2
R
B
a 42π 答案：B.
评注：①当一个回路内的磁感线从不同的侧面穿过回路时，合磁通的大小等于两个方向的磁通大小差的绝对值，方向与较大的方向相同. ②当Φ'和Φ方向相反，根据Φ-Φ'=∆Φ求磁通量的变化量时，一般取Φ'方向为正，Φ为负值. ③通过导线截面的电量q 只与匝数n 、磁通量的变化量△Φ、回路的总电阻R 有关，与时间△t 无关.
例2、一闭合线圈垂直于磁场方向放在匀强磁场里，t=0时刻磁感应强度向里，如图6所示，若磁感应强度随时间的变化如图7甲所示，则线圈中感应电动势ε随时间变化的图象为图7乙中的哪一个？（线圈面积不变，电流逆时针时电动势为正）
分析：由S t
B
n
E ∆∆=知，在S 不变时感应电动势的大小与磁感应强度的变化率（即B －t 图线的斜率）成正比；又由楞次定律知，第1s 、第3s 内的电流为顺时针方向，第2s 、第4s 内的电流为逆时针方向，所以只有答案D 正确.
答案：D
评注：在回路面积不变，只有磁感应强度B变化时，若B－t图线的斜率的大小不变，则感应电动势的大小不变；若B－t图线的斜率的符号不变，则感应电动势的方向不变.
例3、如图8所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场、磁场方向均垂直于纸面. 一导线框abcdefa位于纸面内，框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合，导线框与磁场区域的尺寸如图8所示从t=0时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域. 以a→b→c→d→e→f为线框中的电动势ε的正方向，以下四个ε－t关系示意图（如图9）中正确的是（）
分析：由右手定则和ε=Blv判定，水平位移从0→l的过程中，ε=－Blv，位移从l→2l的过程中，ε=0，位移从2l→3l的过程中，ε=3Blv，位移从3l→4l的过程中，ε=－2 Blv，可知图C正确.
答案：C
评注：①ε=Blv中的l是有效切割长度，即在磁场中的导体两端点连线在垂直于速度方向的射影的长度. ②当回路中有几部分在不同方向的磁场中切割磁感线时，应先取一个正方向，分别计算电动势（注意正负），总电动势等于它们的代数和.
例4、如图10所示，单匝矩形线圈面积为S，一半在具有理想边界的匀强磁场中，磁感应强度为B，线圈绕与磁场边界重合的轴OO＇以角速度ω转动，方向如图.
（1）从图示位置计时，并规定电流a →b →c →d →a 方向电动势为正，则感应电动势随时间变化的图象是图11中的哪一个？
（2）感应电动势的最大值为（ ）
A.
ωBS 2
1
B. ωBS
C. ωBS 2
D. 以上都不正确 分析：在4
T
0→的过程中，根据右手定则电流方向为a →d →c →b →a ，电动势为负值；
又根据公式（6）并注意到n=1、线圈在磁场中的面积为2S ，得t sin BS 21ωω-=ε，在4
T
时
刻ab 出磁场，cd 进入磁场，电流方向仍为a →d →c →b →a ，且由最大值逐渐变小，所以ε
－t 图象为图11中的C ，电动势最大值为ωBS 2
1
.
答案：（1）C ，（2）A
评注：应用公式t sin nBS E ωω=解题时，要注意式中的S 表示线圈在磁场中的面积，同时要根据题目中对电动势方向的规定判断各阶段电动势的正负，不可机械的套用公式.。