公务员常用排列组合

常用方法：
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,
素占了这两个位置.
先排末位共有1
3C
然后排首位共有1
4C
最后排其它位置共有34A
由分步计数原理得113
4
34288C C A =
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中
间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁
也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能
443
连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，
第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
4
6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元
素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几
个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73
73/A A
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7A 种
方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4
7
A 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5
10C
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素
练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，
所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
A
B C D E A
E H G F
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有
14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种
一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m
n A n
前 排后 排
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2
人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4
个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成
四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹
1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再
排小集团内部共有22
22A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩
画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254
254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255
255A A A 种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间
形成９个空隙。

在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。

二班三
班
七班
练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C
2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3
103C 十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。

这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3
个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有12
5
5C C ,和为偶数的取法共有123
555C C C +。

再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有123
5
559C C C +- 将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1
1m n C --
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不
妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共
有2223
6423/C C C A 种分法。

练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分
法？（544213842/C C C A ）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，则不同的安排方案种数为______（222
24262/90C C A A ）
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,
现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的
组数)避免重复计数。

选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的
5人中只有1人选上唱歌人员112
5
34C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有
22112
22335
3455C C C C C C C ++种。

练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉
其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有35C 种
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） 十五.实际操作穷举策略
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种还剩下3球3盒序号
不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C 种
3号盒 4号盒 5号盒
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种
5
4
3
21
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5
× 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
取若干个组成乘积，
所有的偶因数为：1234555555C C C C C ++++
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共481258C -=,每个四面体有
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划
掉，如此继续下去.从3×3方队中选3111
再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从中选取3行3列有3355C C 选法所以从5×5也不在同一列的3人有33111
553
21C C C C C 选法。

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马
路，从A 走到B 的最短路径有多少种？(3735C =)
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的
比324105大的数？
解:297
2
21
1
2
2
3
3
4
4
5
5
=
+
+
+
+
=A
A
A
A
A
N
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______ 10
=
N
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（5
4
3
2
1,,,,
i=）的不同坐法有多少种？44
=
N
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多
少种不同的取法
解
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗
漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效
二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.
一. 合理选择主元
例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同
的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。

二. “至少”型组合问题用隔板法
对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？
解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：
（种）
三. 注意合理分类
元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。

再用分类计数原理求出总数。

例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。

解：比2015大的四位数可分成以下三类：
第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）；
第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）；
第三类：203×，204×，205×，共有：（个）
∴比2015大的四位数共有237个。

四. 特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任
一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故
站法共有：＝480（种）
解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人
站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，
故站法共有：（种）
五. 分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不
同的坐标共有种。

六. 复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。

在应用此法时要注意做到不重不漏。

例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）
A. 150种
B. 147种
C. 144种
D. 141种
解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。

第一类，取出的
4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，
所以不同的取法共有：（种）。

七. 多元问题用分类法
按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。

例7. 已知直线中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

解：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。

（1）若c＝0，a，b各有3种取法，排除2个重复（，，），故有：3×3－2＝7（条）。

（2）若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：3×3×4＝36（条）。

从而符合要求的直线共有：7＋36＝43（条）
八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。

例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？
解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种
方法。

由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种）。

因此共有36种方案。

九．顺序问题用“除法”
对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？
分析：7个节目的全排列为A77,甲、乙、丙之间的顺序已定。

所以有A77∕A33=840种。

答案：840种。

十．特征分析
研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。

例：由1，2，3，4，5，6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？
分析：6的倍数既是2的倍数，又是3的倍数。

是2的倍数，个位上为2、4或6；是3 的倍数必须满足各个数字上的数字之和是3的倍数的特征。

把这6个数分组（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字和都是3的倍数，因此可分成两类讨论。

第一类：由1、2、4、5、6作数码，首先从2、4、6中任选一个作为个位数字，有A31种，然后其余4个数字在其它数字上全排列有A44,所以，N1=A31A44个，第二类：由1、2、3、4、5作数码，依上
法有N2=A21A44个。

故N=N1+N2=120个。

答案：120个。

十一、对应
有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系。

例：在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛后，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，需举行多少场比赛？
分析：要产生一名冠军，需要淘汰99名选手。

要淘汰掉一名选手，必须举行一场比赛；反之，每场比赛恰淘汰一名选手。

两者之间一一对应。

故要淘汰99名选手，应举行99场比赛，从而产生一名冠军。

十二、用比例法
有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得问题的结果。

例：从6个运动员中选出4个参加4×100 米接力赛。

如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？
分析：若不受条件限制，则参赛方案有A64=360种，但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而这4人在第一棒中出现的可能性为4/6故所求参赛方案有4∕6•A64=240种。

答案：240种。

十三、“树图”表示法
对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示出来。

例：四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有（）种。

A.6
B.9
C.11
D.32
分析：将四张贺卡分别记为A,B,C,D。

由题意，某人（不妨设为A卡的供卡人）取卡有3种情况。

因此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其它人依次取卡分步进行。

为避免重复或遗漏现象，可用树状图表示。

↗A→D→C ↗A→D→B ↗A→B→C
B→C→D→A C→D→A→B D→C→A→B
↘D→A→C ↘D→B→A ↘C→B→A
所以共有9种不同的分配方式。

又或：分析：设4人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人中的一人收到，故有3种分配方式。

以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类：第一类，甲收到乙送出的卡片，这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式；第二类，甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种（分别是丙或丁送出的），对每一种
情况，丙、丁收到卡片的方式只有1种。

因此，根据分步计数原理，不同的分配方式有：3×（1＋2）＝9（种）。

注意：解题的关键在第2个人和第3个人的拿法，只要给他们规定一个拿卡的顺序，依次进行，则根据分步计数原理即可求得。

例４. 把６棵不同的蔬菜，分别捆成３捆，在下列情况下，分别有多少分捆的方法？
⑴每捆２棵；⑵一捆3棵，一捆2棵，一捆1棵.
解：⑴
222
642
3
3
15
c c c
p=⑵
321
631
60
c c c=
例５. 把6棵不同的菜，分别种在3块不同的土地上，在下列情况下，分别有多少种植方法？
⑴每块地上种2棵；
⑵甲地3棵，乙地2棵，丙地1棵；
⑶一块地上3棵，一块地上2棵，一块地上1棵.
解：⑴222
64290
c c c=
⑵321
63160
c c c=
⑶
3
321
6313
360
p
c c c=
变式：如果是7棵不同的菜，种到3块土地上，一块地上3棵，一块地上2棵，还有一块地上2棵呢？
答案为
2 32
742
2
2
p c c
p
典型易错题：
例1某天有六节不同的课，若第一节排数学，或第六节排体育，问共有多少种不同的排法？
错解数学排第一节的排法有5
5
A种，体育排第六节的排法也有55A种，根据加法原理，
第一节排数学或排体育的排法共有5
5
A＋55A＝255A＝240种
剖析在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育排第六节的排法，
即多算
4
4
A
种。

正确结果是：5
5
A
＋5
5
A
－44
A
＝216种
例2 从4名男生3名女生中选3人成立科技小组，问当选者中至少有一名男生和一
名女生的选法有几种？ 错解 先选一名男生，有1
4
C
种选法，再选一名女生，有13
C
种选法，最后从余下的5
名学生中选一名有
1
5
C
种选法，故共有选法14
C 13
C 15
C
＝60种
剖析 上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我们不妨设
4名男生为A 1，A 2，A 3，A 4，3名女生为B 1，B 2，B 3，把上面选法中含有一名男生的选法分为4类。

在含有男生A 1的一类的选法有：A 1，B 1，A 2，即先选A 1，再选B 1，最后选A 2；在含有男生A 2的一类中有A 2， B 1，A 1，即先选A 2，再选B 1，最后选A 1。

显然这两种选法被重复计算了。

因此上述解法是错误的。

错误的原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏。

正解 以男生人数分类，则符合条件的有且仅有两类，一类是男生一名女生两名，有
1
2
4
3
C C
种选法，另一类是男生两名女生一名，有21
4
3
C C。

故共有1
2
4
3
C C
＋214
3
C C
＝30
种
例3 n 个不同的球放入n －1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每
个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？ 错解 先在每盒子中放入一球共有1n n
A
-种放法，再将剩下的一球放入，有n －1种放法。

由乘法原理，共有放法（n －1）
1n n
A
-＝（n －1）n ！种.
剖析 将这n 个球和n －1个盒子均依次编号，设先在每盒中放入一球时，有一种放法是
第I 号盒子恰好放入第I 号球，其中I ＝1，2，…，n －1，然后再考虑剩下的第n 号球的放法，假设第n 号球恰好放入第1号盒，这样，除1号盒中放有第一号与第n 号两个球外，其余各盒均只放有一个与盒子同号的球，若先在每盒中放入一球时，第n 号球恰好放入第1号盒，，而其余各盒所放的球均与盒子同号，这样，再将剩下的1号球放入盒中时，必有一种放法是恰好放入1号盒，这时，出现与前一次完全相同的结果，但在上面的解法中被当成两种不同的放法来计算，故重复。

正确的解法是：先从n 个球中任取2个组成一组，共有
2n
C
种方法；然后把这2个
球当作1份，另外n －2个球每个球算1份，共有n －1份，把这n －1份分放在n －1个盒子中，且使每盒中恰有1份，共有
11
n n A
--种放法，由乘法原理，符合题意的放法种数为
2n
C 1
1
n n A
--＝1
2
n -n ！。