六方晶系晶面间距公式
六方晶系的晶面间距公式为
二、 晶面
通过空间点阵任意三结点的 平面是一个晶面，而且同时 还有一系列等间距的晶面与 之平行，组成一组晶面。例 如，图2－2中的晶面，在三 轴上截距长为1、2、3时； 系数的倒数为：1、1/2、 1/3；将三个倒数乘以最小 公倍数6，得三整数为：6、 3、2，则此晶面的晶面指数 为（632）。
当泛指某一晶面指数时，一般用（hkl）代表。如果晶面 与某坐标轴的负方向相交 时，则在相应的指数上加一负 号来表示。例如，（ hk l ）即表示晶面与z轴的负方向相 交。当某晶面与某坐标轴平行时，则认为晶面与该轴的截 距为∞，其倒数为0。
七个晶系
Crystal systems
Cubic Tetragonal Hexagonal Rhomboedric Orthorhombic Monoclinic Triclinic
Lattice Paramater
a = b = c , = = = 90° a = b c , = = = 90° a = b c , = = 90° , = 120° a = b = c , = = 90° a b c , = = = 90° a b c , = = 90°, 90° a b c , °
五、十四种布拉菲（Bravais）点阵
在晶体结构理论中，按照对称的特点将自然界的晶体物质 分成七个晶系，每个晶系都有互相对应的空间点阵，布拉 菲于1848年用布拉菲晶胞证实了七种晶系共仅有十四种可 能的点阵，后人为了纪念他的这一重要论断，称为布拉菲 点阵。
六、 晶体的32种点群及符号
任何一种晶体结构都可能同时具有多种对称元素。在有限 对称图形中由宏观对称元素组合成的对称元素群称为点群。 之所以称为点群，是因为构成它的对称元素必须至少相交 于一点，此点称为点群中心。利用数学方法推导出，点群 只可能有32种。
晶面间距计算公式
晶面间距计算公式
晶面间距是物理学中的重要概念，它是指两个晶面之间的距离或者说是晶体中晶面之间的最小距离。
晶面间距可以通过一系列公式来计算。
晶面间距计算公式是建立在晶体衍射理论基础上的，它可以用来确定晶体中任意两个晶面之间的距离。
晶面间距的计算公式可以分为全空间公式和平面公式。
全空间公式用于计算任意两个晶面之间的距离，而平面公式则用于计算在矩形晶体和正方体晶体中晶面之间距离。
全空间公式通常表示为：d=n1*a1+n2*a2+n3*a3，n1、n2、n3分别表示晶面的晶格向量，a1、a2、a3分别表示晶格常数。
这个公式可以用来计算任意一对晶面之间的距离。
平面公式通常表示为：d=|k1*a1+k2*a2|，其中k1、k2分别表示晶面的晶格向量，a1、a2分别表示晶格常数。
这个公式可以用来计算矩形晶体和正方体晶体中任意两个晶面之间的距离。
晶面间距的计算公式的应用非常广泛，它可以用来确定晶体中任意两个晶面之间的距离，也可以用来计算晶体晶格参数，从而计算晶体的特性。
晶面间距的计算公式还可以用来研究X射线衍射现象，从而更深入地了解晶体结构。
晶面间距计算公式是晶体结构确定和研究的重要工具，因此，在物理学和材料科学领域，晶面间距计算公式都有着广泛的应用。
它可以帮助科学家更好地了解晶体的结构特性，从而更好地开发出新的材料，为科学发展做出贡献。
晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
1概述空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
2 计算不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。
总的来说，低指数的晶面其面间距较大，而高指数面的面间距小。
以图1-22所示的简单立方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。
但是，如果分析一下体心立方或面心立方点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。
此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越稀疏。
正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。
简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系：。
面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h、k、l 均为奇数，则；否则，。
体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h+k+l=偶数，则；否则，。
晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
1概述空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
2 计算不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。
总的来说，低指数的晶面其面间距较大，而高指数面的面间距小。
以图1-22所示的简单立方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。
但是，如果分析一下体心立方或面心立方点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。
此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越稀疏。
正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。
简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系：。
面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h、k、l 均为奇数，则；否则，。
体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h+k+l=偶数，则；否则，。
晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
1概述空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
2 计算不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。
总的来说，低指数的晶面其面间距较大，而高指数面的面间距小。
以图1-22所示的简单立方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。
但是，如果分析一下体心立方或面心立方点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。
此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越稀疏。
正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。
简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系：。
面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h、k、l 均为奇数，则；否则，。
体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h+k+l=偶数，则；否则，。
三六方晶系指数
(一) 晶向指数如 图1-10点阵矢量图所示，给出晶向OP →，可得到c b a w v u OP ++=→也即可沿a 、b 、c 分解成三个分矢量，不同的晶向只是u 、v 、w 的数值不同而已。
所以： 晶向指数：确定晶向的一组数[uvw]，表示所有相互平行、方向一致的晶向。
晶向指数确定步骤:(1)以晶胞的晶轴为坐标轴X 、Y 、Z ，以点阵矢量的长度(即晶胞边长)作为坐标轴的长度单位。
(2)从晶轴系的原点O 沿所指方向的直线取最近一个阵点的坐标u 、v 、w(亦即OP →三个分矢量对于点阵矢量a 、b 、c 的倍数)。
例如100、110、111、1-00、11-0、111-等。
负号记于其上方，指方向相反(3)将此数化为最小整数并加上方括号，即为晶向指数[uvw]。
例如 [100] 、 [010] 、[110]、 [100]、 [ 101]、[110]、 [111] 、[111]、 [2 12]等 举例：错误！未找到引用源。
列出了立方晶系一些重要晶相的晶相指数，如X 轴晶向指数[100]，对角线OG 晶向指数[111]，OF晶向指数[1-10]等晶向族：晶体中因对称关系而等同的各晶向的归并，表示为<uvw>。
例：立方晶系[100]、[010]、[001]和2、[01-0]、[001-]六晶向，性质完全同，表为<100>；正交晶系[100]、[010]、[001]晶向不等同(二)晶面指数晶面指数：确定晶面方位的一组数，代表一组相互平行的晶面晶面指数的确定步骤：(1)对晶胞作晶轴X、Y、Z，以晶胞的边长作为晶轴上的单位长度。
(2)求出晶面在三个晶轴上的截距(如该晶面与某轴平行，则截距为∞)。
例如1、1、∞，1、1、1，1、1、1/2等。
(3)取这些截距数的倒数。
例如110，111，112等。
(4)将上述倒数化为最小的简单整数，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，一般记为(hkl)。
晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
1概述空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
2 计算不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。
总的来说，低指数的晶面其面间距较大，而高指数面的面间距小。
以图1-22所示的简单立方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。
但是，如果分析一下体心立方或面心立方点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。
此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越稀疏。
正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。
简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系：。
面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h、k、l 均为奇数，则；否则，。
体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h+k+l=偶数，则；否则，。
晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
1概述空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
2 计算不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。
总的来说，低指数的晶面其面间距较大，而高指数面的面间距小。
以图1-22所示的简单立方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。
但是，如果分析一下体心立方或面心立方点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。
此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越稀疏。
正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。
简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系：。
面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h、k、l 均为奇数，则；否则，。
体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h+k+l=偶数，则；否则，。
(推荐下载)关于晶面间距计算的几点思考演示课件
a,b,c 绝对值 a=b≠c α =β= γ=120° (h k l) 比例值
推导得出密排六方的晶面 间距为：
1 h 2 ( h 2k ) 2 l2 2 2 2 2 d a 3a c
.
如果我比别人看的远，那是因为我站在巨人 的肩膀上。 ——牛顿 三人行，必有我师焉。择其善者而从之，其 不善者而改之。 ——孔子 泰山崩于前而色不变，麋鹿兴于左而目不瞬， 然后可以制利害，可以待敌。 ——苏洵 何物动人，二月杏花八月桂 有谁催我，三更灯火五更鸡 ——清·彭元瑞
.
B
C
射影定理 面积公式 二维方程
1 1 1 2 2 2 OC OA OB
.
O
α β γ
B E C
cos cos cos 1
2 2 2
D
A
1 1 1 1 2 2 2 2 OD OA OB OC
体积公式 余弦定理 勾股定理 立体几何
.
密排六方晶系晶面间距的计算
关于晶面间距计算 的几点思考
北京科技大学 2018年01月
.
晶面间距的计算
Ｚ
Ｏ
Ｙ
a,b,c 绝对值 α =β= γ=90° (h k l) 比例值
定性：原子之间的作用力
Ｘ
1 h2 k2 l2 2 2 2 2 d a b c
.
O
α β
cos cos 1 OB OA
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[100] 与 (100)
西北工业大学 材料学院 王永欣
[111] 与 (111)
2
5. 六方晶系的晶向指数与晶面指数
采用a1、a2、a3和c四轴坐标系
a1、a2、a3轴共面，夹角120° —— 只有两个独立
c
晶向：[ u v t w ]
－（u + v）＝ t 或 u＋v＋t＝0
a3
o a1
晶面：( h k i l ) －（h + k）＝ i 或 h＋k＋i＝0
a2
西北工业大学 材料学院 王永欣
3
(1 1 00)
(0001) (10 1 0)
[2 1 1 0]
[1 2 1 0] [11 20]
西北工业大学 材料学院 王永欣
4
两晶向夹角公式：
cos
u1u2 v1v2 w1w2
u12 v12 w12 u22 v22 w22
两晶面夹角公式：
西北工业大学 材料学院 王永欣
7
如何快速确定晶向族与晶面族包含的各晶向和晶面？ 同一个晶面，能否具有不同的晶面指数？ 六方晶系能否采用常规的直角坐标系？ 金属中最常见的晶体结构有哪些？请分析其特点。
西北工业大学 材料学院 王永欣
8
—— 加 ｛ ｝ 1. 对于立方晶系，数字相同，仅正负号、数字排序不同的
属同一晶面族
2. 一个晶面指数代表一系列相互平行的晶面 3. 一个晶面族代表一系列性质地位相同的晶面
例：
(111) (1 11) (1 1 1) (11 1)
= { 111 }
(1 1 1) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1)
(110) (101) (011) (1 10) (1 01) (0 1 1)
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) (1 1 0) (10 1) (01 1)
= { 110 }
西北工业大学 材料学院 王永欣
1
数字相同的晶向与晶面相互垂直
—— 仅 对于立方晶系而言
例：
[110] 与 (110)
k2
l2 c2
西北工业大学 材料学院 王永欣
6
两晶面交线的晶向指数公式：
u k1l2 l1k2 v l1h2 h1l2 w h1k2 k1h2
两相交晶向决定的晶面指数公式：
h k
v1w2 w1u2
w1v2 u1w2
l u1v2 v1u2
cos
h1h2 k1k2 l1l2
h12 k12 l12 h22 k22 l22
西北工业大学 材料学院 王永欣
52
四方晶系晶面间距公式：
d
1
h2 k 2 a2
l2 c2
六方晶系晶面间距公式：
d
1
4 3
h2
hk a2