辽宁石油化工大学化工自动化及仪表第3章 被控对象特性与数学模型

（3-9）
ca —液体比热容，近似为常数，下面统一用 c 表示。 cc、
由于热流体的流量 Ga Gc W ，一般所用W 较小，可近似为 Ga Gc ，由此可得 H Ta Tc W （3-11） Gc
a
该式描述了在静态情况下被控对象加热器的工艺参数 Ta、 Tc、 W 、Ga 之间的关系，它是系统的静态（稳态）数学模型。 （2）一般从控制角度来说，静态是相对的，我们更多的是 要研究系统的动态数学模型，即加热器内单位时间能量变化 量不为零，有下式：
（ 3）根据支配运动特性的基本规律，列出各部分的原始 方程； （4）消去中间变量，写出只有输入变量和输出变量的微 分方程； （5）对微分方程进行标准化处理。 1. 一阶对象的数学模型 下面通过一些简单的例子来讨论一阶对象及积分对象 机理建模的方法。 1 1）水槽对象 Q1 图3-2是一个水槽，水经过阀门1不断地 流入水槽，水槽内的水又通过阀门2不 断流出。工艺上要求水槽的液位h保持 一定数值。
在建立对象数学模型（建模）时，一般将被控变量 看作对象的输出量，也叫输出变量，而将干扰作用和控 制作用看作对象的输入量，也叫输入变量。干扰作用和 控制作用都是引起被控变量变化的因素，从控制的角度 看，输入变量就是操纵变量（控制变量）和扰动变量， 输出变量就是被控变量，如图3-1所示。由对象的输入 变量至输出变量的信号联系称为通道，控制作用至被控 变量的信号联系称为控制通道；干扰作用至被控变量的 信号联系称为干扰通道。在研究对象特性时，应预先指 明对象的输入量是什么，输出量是什么，因为对于同一 个对象，不同通道的特性可能是不同的。
C ຫໍສະໝຸດ Baidu t0 t1 t
t0
t
图3-6 矩形脉冲特性曲线
矩形脉冲波信号
正弦信号
3.2.3 混合法建模 机理建模与实验建模各有其特点，目前一种比较实用的方 法是将两者结合起来，称为混合建模（也称半测试建模）。这 种建模的途径是先由机理分析的方法提供数学模型的结构形式 ，然后对其中某些未知的或不确定的参数利用实测的方法给予 确定。这种在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定其 中的某些参数，称为参数估计。
对象特性的实验测取法有很多种，这些方法往往是以所加 输入形式的不同来区分的 。 1. 阶跃响应曲线法 所谓测取对象的阶跃响应曲线，就是用实验的方法测取对 象在阶跃输入作用下，输出量y随时间的变化规律。 举例 简单水槽的动态特性
优点
缺点
简单
稳定时间长
测试精度受限
图3-5 水槽的阶跃响曲线
2. 矩形脉冲法 当对象处于稳定工况下，在时间t0突然加一阶跃干扰，幅值 为C，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随时间的 变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的干扰称 为矩形脉冲干扰。如图 3-6所示 x
Q1
h
Q2
A
图3-4 积分对象示意图
A
式中 A—贮槽横截面积。 对式（3-16）积分，可得
dh Q1 dt
（3-16）
h
1 Q1dt A
(3-17)
这说明图3-4所示贮槽具有积分特性。
3.2.2 实验法建模
所谓对象特性的实验测取法，就是在所要研究的对象 上，加上一个人为的输入作用（输入量），然后，用仪表测 取并记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规 律，得到一系列实验数据（或曲线）。这些数据或曲线就可 以用来表示对象的特性。这种应用对象的输入输出的实测数 据来决定其模型的结构和参数，通常称为系统辨识。它的主 要特点就把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部特性 上来测试和描述它的动态特性，因此不需要深入了解其内部 机理，特别是对于一些复杂的对象，实验建模比机理建模要 简单和省力。
（3-2）
或表示成
Ty( t ) y( t ) Kx( t )
（3-3）
式中
T
K
a1 a0 ，称为时间常数；
1 a0 ，称为放大系数。
以上方程式中的系数以及T、K等都可以认为是相应的参量 模型中的参量，他们与对象的特性有关，一般需要通过对象的 内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。
Qc Qs Qa Q1
(3-8)
式中
Qc —单位时间冷流体带入的热量； Qs —单位时间蒸汽带入的热量； Qa —单位时间热流体带出的热量；
Q1 —单位时间加热器散失的热量。
根据假设，可令 Q1 0 ，于是有：
Qc Qs Qa
可以得到系统输入输出变量在稳态时的关系式： GcccTc WH GacaTa 式中 H —蒸汽热焓，为常数；
3.2 对象数学模型的建立
在工业控制过程中，建立被控对象的数学模型的目的 主要有以下几种。 （1）进行工业过程优化操作。 （2）控制系统方案的设计和仿真研究。 （3）控制系统的调试和控制器参数的整定。 （4）工业过程的故障检测与诊断。 （5）制订大型设备启动和停车操作方案。 （6）设计工业过程操作人员的培训系统。 （7）作为模型预测控制等先进控制方法的数学模型。
3.3描述对象特性的参数 当对象的输入量变化后，输出量究竟是如何变化的呢？ 这就是要研究的问题。显然，对象输出量的变化情况与输入量 的形式有关。为了使问题比较简单起见，下面假定对象的输入 量是具有一定幅值的阶跃作用。 前面已经讲过，对象的特性可以通过其数学模型来描述， 但是为了研究问题方便起见，在实际工作中，常用下面三个物 理量来表示对象的特性。这些物理量，称为对象的特性参数。
an y( n )( t ) an 1 y( n 1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) x( t )
（3-1）
一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性 （通常称一阶对象），则可表示为
a1 y( t ) a0 y( t ) x( t )
dU Qc Qs Qa1 dt
(3-12)
式中
U —加热器中聚集的热量，U VcTa； V —加热器的有效容积；
—流体的密度；
Vc 一常数，用C表示，即 dU dT dT Vc a C a (3-13) dt dt dt 因为Qc Gc cTc , Qs WH , Qa GacTa ，代入式（3-12）有
3.2.1 机理分析法建模
机理建模是根据对象或生产过程的内部机理，列写出 各种有关的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动 量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方 程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过 程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。 机理法建模的具体步骤如下： （1）根据实际情况确定系统的输入、输出以及中间变量 ，搞清各变量之间的关系； （2）做出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使 问题简化；
2. 参量模型 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。 对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微分方 程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。 对于线性的集中参数对象，通常可用常系数线性微分方 程来描述，如果以 x( t ) 表示输入量，y( t ) 表示输出量，则对象 特性可用下列微分方程式来描述
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量形式， 称为非参量模型；另一类是参量形式，称为参量模型。 1. 非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非 参量模型。
非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通 过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定 性的特征。但是，由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直 接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难，必要时 ，可以对它们进行一定的数学处理来得到参量模型的形式。
h A
2
Q2
图3-2 水槽对象示意图
水槽就是被控对象，液位h就是被控变量。如果阀门 2的开度保持不变，而阀门1的开度变化是引起液位变化 的干扰因素，那么，这里所指的对象特性，就是指当阀 门1的开度变化时，液位h是如何变化的。在这种情况下 ，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对象的输出量是 液位h。下面推导表征h与Q1之间的关系的数学表达式。 以图3-2的水槽对象为例，截面积为A的水槽，当流入 水槽的流量 Q1 等于流出水槽的流量 Q2时，系统处于平衡 状态,即静态，这时液位h保持不变。 在用微分方程式来描述对象特性时，往往着眼于 一些量的变化，而不注重这些量的初始值，所以下面在
阻力系数 R2 成反比，用式子表示为
Q2 h R2
(3-5)
将此关系式代入式（3-4），移项整理后可得
dh AR2 h R2Q1 dt 令T AR2， K R2 代入式（3-6），便有
(3-6)
T
dh h KQ1 dt
(3-7)
这就是用来描述简单的水槽对象特性的微分方程式。 它是一阶常系数微分方程式，式中T称时间常数，K称放大 系数。
c
Ta 蒸汽W
冷流体TC、GC
图3-3 直接蒸汽加热器示意图
均作为干扰变量。
假设加热器内温度是均匀的；加热器的散热量很小，可 Tc 忽略不计；蒸汽喷管和加热器的热容很小，忽略不计；Gc、 变化不大，近似为常数。 作为一个加热过程，遵循能量守恒定律即 单位时间内进入加热器的能量=单位时间带出加热器的能量+ 单位时间加热器内能量的变化量 可以分为如下两种情况： （1）当加热器内单位时间能量变化为零时，即所谓静态情况下， 这时 Ta 保持不变，有下式：
第3章 被控对象特性与数学模型
3.1 石油加工对象的特点及其描述方法 3.2 对象数学模型的建立
3.3 描述对象特性的参数
3.1 石油加工对象的特点及其描述方法
在化工自动化中，常见的对象有各类换热器、精馏 塔、流体输送设备和化学反应器等，此外，在一些辅助 系统中，气源、热源及动力设备（如空压机、辅助锅炉 、电动机等）也可能是需要控制的对象。本章着重研究 连续生产过程中各种对象的特性，因此有时也称研究过 程的特性。 所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出 对象输入量与输出量之间的关系，这种对象特性的数学 描述就称为对象的数学模型。
Q2 、h都代表他们偏离初始 推导方程的过程中，假定Q1、
平衡状态的变化值。
如果在很短一段时间dt内，由于 Q1 不等于 Q2 ，引起液位 变化了dh，此时，流入和流出水槽的水量之差为
Q1 Q2 A dh dt
（3-4）
如果考虑变化量很微小（由于在自动控制系统中，各个 变量都是在它们的额定值附近做微小的波动，因此做这样的 假定是允许的），可以近似认为 Q2 与h成正比，与出水阀的
2）直接蒸汽加热器 图3-3所示为直接蒸汽加热器，它是 将温度为 Tc 的冷流体用 蒸汽直接加热，
Ta 的热流体的简单换热对象。 以获得温度为
Ta
热流体
其中冷流体的流量为 Gc ，蒸汽流量为W。
确定输出变量（被控变量）为Ta ; 输入 变量为蒸汽流量W 、冷流体的流量 Gc、 冷流体温度Tc、环境温度等，它们的变化 都会引起 Ta 的变化。 选择W 作为操纵 变量，其余量如Gc、T 、环境温度等
干扰变量 工业过程的数学模型可分为动态 数学模型和静态数学模型。动态数学 模型是表示输出变量与输入变量之间 被控变量 随时间而变化的动态关系的数学描述 控制变量 。动态数学模型在对动态过程的分析 和控制中起着举足轻重的作用，可用 图3-1 对象的输入输出量示意图 于各类自动控制系统的设计和分析， 以及工艺设计和操作条件的分析和确 定。静态数学模型是描述输出变量与 输入变量之间不随时间而变化的数学 关系。
T
Gc c
令 1 R, T RC, K HR ，则有
dTa T Ta Tc KW dt
dTa Gc cTc WH Ga cTa dt
（3-14）
（3-15）
令 Tc 0 ，得控制通道的数学模型；
W=0，得调节通道的数学模型。
2. 积分对象的数学模型 当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系 时，称为积分对象。 图3-4所示的液体贮槽，就具 有积分特性。因为贮槽中的液体 由正位移泵抽出，因而从贮槽中 流出的液体流量Q2将是常数，它 的变化量为零。因此，液位h的变 化就只与流入量的变化有关，如 果以h、Q1分别表示液位和流入 量的变化量，那么就有