《线性代数》习题集与答案 行列式计算证明题

1. 设
计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式. 解. A41 + A42 + A43 + A44
=
2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.
解.
3. 计算n阶行列式(n 2).
解. 当
+
=+
++
=－
=－－= 0 当
4. 设a, b, c是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式即为y2前的系数. 于是
=
所以的充要条件是a + b + c = 0.
5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.
证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.
6. 设
证明: 可以找出数δ(0 < δ < 1), 使(提示: 使用罗尔定理).
证明: ,
由罗尔定理, 存在数δ(0 < δ < 1), 使.
7. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)
证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, x n. 将它们代入多项式, 得关于C i方程组
…………
系数行列式为x0, x1, …, x n的范德蒙行列式, 不为0. 所以
8. 设
解. ===
=
1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.
解. =
=
2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.
解. 假设, αi是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令,
第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, …, m). 所以A = 0.
3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______.
解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量b j为非零列向量, 满足Ab j= 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0;
反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0.
所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0.
4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB= AC的充分条件是______. 解.
5. = ______.
解.
6. 设矩阵= ______.
解. =
=－+ =
=
7. 设n阶矩阵A满足= ______.
解. 由得. 所以, 于是A可逆. 由得
8. 设=______.
解. =
,
,
==
9. 设
解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1
10. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______. 解. ,
使用分块求逆公式
－=
所以
2．单项选择题
1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则
(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使
(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使
解. 因为A可逆, 存在可逆.
因为B可逆, 存在可逆.
所以= . 于是
令, . (D)是答案.
2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于
(A) (B) (C) (D)
解. . (A)是答案.
3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是
(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.
(C) 若A + B可逆, 则A－B可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.
解. 若A、B均可逆, 则. (B)是答案.
4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB =
(A) 0 (B) －E (C) E (D)
解. AB ==+ 2－2
= E. (C)是答案.
5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =
(A) (B) (C)
(D)
解. P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的
第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P2 = .(B)是答案.
6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(－A)*等于
(A) －A* (B) A* (C) (－1)n A* (D) (－1)n－1A*
解. (－A)* =. (D)是答案.
7. 设n阶矩阵A非奇异(n 2), A*是A的伴随矩阵, 则
(A) (B)
(C) (D)
解.
(C)是答案.
8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r,则
(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定
解. , 所以
又因为, 于是
所以. (C)是答案.
9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩
(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于
n (D) 都等于n
解. 若, 矛盾. 所以. 同理. (B)是答案.
3.计算证明题
1. 设, . 求: i. AB－BA ii. A2－B2 iii. B T A T 解. ,
2. 求下列矩阵的逆矩阵
i. ii.
iii. iv. 解. i.
,
ii. . 由矩阵分块求逆公式:
得到:
iii. . 由矩阵分块求逆公式:
所以
iv. 由矩阵分块求逆公式:
得到:
3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, ,
. 试求矩阵A.
解. 由本题的条件知:
4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.
解.
所以
5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆. 解. 因为
所以. 所以A可逆.
6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.
解. 因为, 所以.
因为B可逆, 所以
所以. 所以都可逆.
7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且
解.
=
=
所以.
8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| ≠ 0, A－E可逆, 且(A－E)－1 = (B－E)T, 求证A 可逆.
解. 因为(A－E)－1 = (B－E)T, 所以(A－E)(B－E)T = E
所以,
由 |B| ≠ 0 知存在.
所以. 所以A可逆.
9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)－1 = A－1 + B－1.
解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以
所以
10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .
解. 因为
所以
因为, 所以
11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵
i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;
ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)－1A为对称矩阵.
解. i. ,
,
所以当时, E + AB可逆.
ii.
因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)－1A为对称矩阵.
12. 计算下列各题:
i. ii.
解. i.
所以
ii. 假设, 则A的三个互不相同的特征值为于是存在可逆矩阵P, 使得
所以
于是
13. 设, 求A n.
解. 使用数学归纳法.
假设=
则=
=
所以==
14. 设A为n阶可逆矩阵, 证明 i. , ii. , iii.
, iv. .
解. i.
ii.
iii. 先证明: 当A, B为同阶可逆矩阵时, 有
证明:
下面证明本题:
因为. 两边取"*"运算, 所以.
于是
iv.
15. A是n阶方阵, 满足A m = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素a ij用其代数余子式A ij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.
解. 因为A m = E, 所以, 所以A可逆.
所以
16. 设矩阵
i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵)
ii. 求A100.
解. i.
所以
假设
则=
所以
ii.
17. 当时, A6 = E. 求A11.
解. , 所以
因为
18. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(A－B)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.
解. 因为(A－B)2 = A + B, 所以
于是, 所以
因为A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以
19. 设A, B, C均是n阶方阵, |E－A| ≠ 0, 如果C = A + CA, B = E + AB, 求证: B －C = E.
解. 因为B = E + AB, 所以, 所以可逆.
对于B = E + AB, 右乘得, 左乘B, 得B = E + BA
所以
所以
右乘, 得B－C = E
(注: 本题中条件|E－A| ≠ 0 可以不要)
20. 设A为n阶非奇异矩阵, α为n维列向量, b为常数. 记分块矩阵
i. 计算并化简PQ;
ii. 证明: 矩阵Q可逆的充要条件是.
解. i.
因为, 所以,
= 0
所以
ii. 因为
所以
所以
所以存在的充要条件为
1. 设, 则k =
______时, α1, α2, α3, α4线性相关.
解. 考察行列式
= 13k +5 =
0.
2. 设, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关.
解. 考察行列式
.
所以对任何t, α1, α2, α3, α4线性相关.
3. 当k = ______时, 向量β = (1, k, 5)能由向量线性表示.
解. 考察行列式
得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是
线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.
4. 已知, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______.
解. 将α1, α2, α3, α4表示成矩阵
. 所以r (α1, α2, α3, α4) = 3
5. 设, 则秩(A) = ______.
解.
所以r (A) = 3.
6. 已知矩阵A = α·β, 则秩(A) = ______.
解. A = α·β =
所以r (A) = 1.
7. 已知向量, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.
解. A= (α1, α2, α3, α4)
所以当t = 7时, r (A) = 2.
2.单项选择题
1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是
(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1
解. 由
得
因为向量组α1, α2, α3线性无关, 所以得关于的方程组
的系数行列式为. 所以有非零解, 所以α1－α2, α2－α3, α3－α1线性相关. (C)是答案.
2. 设矩阵A m×n的秩为R(A) = m < n, E m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是
(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零
(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B= 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E m, 0)的形式
解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(E m, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:
因为BA = 0, 所以 0. 所以= 0. 于是B = 0.
3. 设向量组 (I): ;设向
量组 (II): , 则
(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关
(C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关
解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.
4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则
(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关(C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2线性表示
解. 因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关, 所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.
5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则
(A) 秩(A－B) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A)
(C) 秩(A－B) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B)
解. (A) 取且|A|≠ 0, |B| ≠ 0则A－B ≠ 0, 则r(A－B)≠ 0. 排除(A);
(B) 取A =－B ≠ 0, 则秩(A + B) ≠ 2秩(A); (C) 取A = B ≠ 0, 则秩(A－B) ≠ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.
3.计算证明题
1. 设有三维向量, ,, 问k取何值时
i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一;
ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一;
iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.
解.
i. 时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;
ii. 当k = 1 时
. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所
以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一;
iii. 当时
.
系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示.
2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问
i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论;
ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论
解. i. α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: , , . 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;
ii. α4不一定能由α1, α2, α3线性表出. 反例: , , , . α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, α4不能由α1, α2, α3线性表出.
3. 已知m个向量α1, α2, …αm线性相关, 但其中任意m－1个都线性无关, 证明:
i. 如果存在等式
k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0
则这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;
ii. 如果存在两个等式
k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0
l1α1 +l2α2 + … + l mαm = 0
其中l1≠ 0, 则.
解. i. 假设k1α1 +k2α2 + … + k mαm = 0, 如果某个k i = 0. 则
k1α1 +…+ k i－1αi－1 + k i+1αi+1… + k mαm = 0
因为任意m－1个都线性无关, 所以k1, k2, …k i－1, k i+1, …, k m都等于0, 即这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;
ii. 因为l1≠ 0, 所以l1, l2, …l m全不为零. 所以.
代入第一式得:
即
所以, …,
即
4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aα1－α2, bα2－α3, cα3－α1线性相关.
解. 假设
得
因为α1, α2, α3线性无关, 得方程组
当行列式时, 有非零解. 所以时, aα1－α2,
bα2－α3, cα3－α1线性相关.
5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组A k x= 0有解向量α, 且A k－1α≠0, 证明: 向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关的.
解. 假设. 二边乘以得
,
由. 二边乘以得
,
………………………………
最后可得,
所以向量组α, Aα, ⋯, A k－1α是线性无关.
6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.
i. .
ii.
解. 解. i.
所以是极大线性无关组. 由得方程组
解
得,
所以
ii.
所以是极大线性无关组. 由得方程组
解
得, ,
所以
由得方程组
解得, , 所以
7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.
解. i. ,
ii. ,
iii. ,
iv. ,
iv.
所以, 当时, ; 当时,
8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A≠±E, 试证明:
(秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 0
解. 由第十一题知
又因为A≠±E, 所以,
所以, 中有一个为1
所以 (秩(A－E)－1)(秩(A + E)－1) = 0
9. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则A－E的秩为n－r, 其中E是n阶单位矩阵.
解. 因为A2 = A, 所以
所以
所以
又因为
所以. 所以。