高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题

八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直
，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段,直接用公式（2R ）^ = a 2 b 2 c 2,即2^ = a 2 b 2 c 2 ,求出R 例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
4 ,体积为16,则这个球的表面积是（ C ）
A. 16二
B . 20二
C . 24二
D . 32 :
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直
，且侧棱长均为-.3,则其外接球的表面积是 ___________________________ 9二
解：（1） V =a 2h *6, a =2, 4R 2 =a 2 a 2 h 2 =4 4 16 =24, S =24二,选 C ；
（2） 4R 2 =3+3 +3 = 9, S=4^R 2=9X
（3）在正三棱锥 S - ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM _ MN ,若侧棱SA = 2、、3 ,则正 三棱锥
S-ABC 外接球的表面积是 _________________________ 。

36二
解:引理:正三棱锥的对棱互垂直 。

证明如下： 如图（3） -1,取AB,BC 的中点D,E ,连接AE,CD , AE,CD 交于H ,连接SH ,则H 是底面正三角形
ABC 的中心，SH _ 平面 ABC , SH_AB , AC 二 BC ,AD =BD , CD_AB , AB _ 平面 SCD ,
-AB _ SC ,同理：BC _ SA , AC _ SB ,即正三棱锥的对棱互垂直
本题图如图（3） -2, AM _ MN , SB//MN ,
AM_SB , AC_SB , SB_ 平面 SAC , SB_SA , SB_SC , SB_SA , BC _SA , SA_平面 SBC , SA_SC ,
故三棱锥S ~■ ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直 ，
-（2R ）2=（2'・3）2 （2、、3）2 （2、3）2=36,即 4R —36,
-正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是 36 ■
图1
图2
P
C
a
B
图3
O
c
b
C
B a
才
C
⑶题-1
C
⑶题-2
(4)在四面体S - ABC 中，SA _平面ABC _ BAC = 120 , SA 二AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球
.(2R)2
=(2r)2
SA 2
=(2 7)2 4 二40, S
,选 D
\ 3 3
3
(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a,b,c ( a,b,c ・R '),则
ab =12
2 2 2 2 2
be =8 , abc = 24,. a =3, b = 4, c = 2 , (2R)=a b c =29 , S =4二R =29二， ac = 6
② R 2 二 r 2 OO/ u R ’r 2 OO 12
的表面积为(D ) A.11 ■
：
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直 B.7 :
10 C.—二
,它们的面积分别为6、4、
40 D.- 3
3,那么它的外接球的表面积是
(6)已知某几何体的三视图如图所示
三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为
1
的正方形，则该几何
体外接球的体积为
解析：(4)在 ABC 中，BC 2 =AC 2 AB 2 -2AB BC cos120l 7.
BC =：：；'7 , ABC 的外接球直径为
2r BC _ .. 7 sin ZBAC . 3 2一
7
一
40 二
(6) (2R)2
2
二 a ■
b 2
c 2=3, R 2
3 2
4
2
4
3
4 3<3
V
R 二 —H
------ J T
3
3
8
2
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
1.题设：如图5, PA —平面ABC
解题步骤：
第一步：将 ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ,
连接PD ,则PD 必过球心O ;
第二步：01为AABC 的外心，所以OO^! _平面ABC ,算出小圆01的半
径O 1^r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
sin A sin B
c
sin C
OO 1」PA ；
2
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径
2 2 2
:①(2R)二 PA (2r)=
2R= , PA 2 (2r)2 ；
2.题设：如图6,7,8, P的射影是.'ABC的外心：=三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 = 棱锥P - ABC的底面.SBC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点
第一步：确定球心0的位置,取ABC的外心O j,则P,O,O1三点共线;
第二步：先算出小圆01的半径AO j = r,再算出棱锥的高P01^h （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：OA2^OjA2•0102= R2=（h-R）2• r2,解出R
方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为（）C 16兀A. 3二B. 2二 C. D .以上都不对
3
解:选C, （ . 3 - R）2 1 二R2, 3-2 ..3R R2 1 =R2, 4 - 2.3R=0,
16
=—Ji
3
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
1题设：如图9-1,平面PAC _平面ABC,且AB_ BC （即AC为小圆的直径）
第一步：易知球心0必是. PAC的外心,即：PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC = 2r ;
第二步：在:PAC中，可根据正弦定理—b C 2R,求出R
sin A sin B sin C
2.如图9-2,平面PAC _平面ABC ,且AB _ BC （即AC为小圆的直径）
OC2 =0Q2 OQ2 = R2二r2 OQ2二AC = 2、. R2二OQ2
3•如图9-3,平面PAC _平面ABC,且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥P -ABC的三条侧棱相等三棱P - ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥
的顶点
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O「则P,O,O1三点共线；
第二步：先算出小圆O1的半径AO^r ,再算出棱锥的高PO1^h （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：OA2 =O1A2 O1O^ R2 =（h-R）2• r2,解出R
4•如图9-3,平面PAC _平面ABC ,且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且PA_ AC ,则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2R）2=PA2• （2r）2= 2R=J PA2• （2r）2；
② R2二r2 OO12二R =;r2OO12
例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2 3,则该球的表面积为____________________ < （2）正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为..2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为—
解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R =7, S =4二R2=49二,
4m
（2）方法一：找球心的位置，易知r=1,h=1,h=r,故球心在正方形的中心ABCD处，R=1,V =
3
方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半
4兀
径，2R =2, R =1, V -
3
（3）在三棱锥P - ABC中，PA = PB = PC - 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（）
n 4兀
A.二
B. —
C. 4 二
D.
3 3
解：选D,圆锥A, B, C在以r 的圆上，R=1
2
（4）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，厶ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径,且SC = 2,则此棱锥的体积为（）A
一2
2
3 2 6
2 6
1 1 . 3 2、6 •
2 解：0Q
R 2 -r 2「1 - (一)2
, h
, V Sh = - Y 3
3
3 3
3
4
3
6
类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
题设：如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱 ，棱柱的上下底面可以是任
意三角形) 第一步：确定球心0的位置，01是 ABC 的外心，则001 _平面ABC ； 第二步：算出小圆01的半径
A0^r , 00^^AA^-h ( AA ,二h 也是圆柱的高)；
2 2
第三步：勾股定理：OA 2 =01A 2 +0102n R 2=(£)2+r 2n R = *r 2+(^)2,解出 R 例4 (1)一个正六棱柱的底面上正六边形
，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上
9
且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3,则这个球的体积为 ___________________________________
8
1
解：设正六边形边长为 a ,正六棱柱的高为h ,底面外接圆的关径为r ,则a 二一，
2
3 1 2 33
3 \ 3 9 2
. 3 2 1、2 彳
底面积为 S =6
(—)2 ,V 柱工Sh
h ,. h h ：：：3,R 2=( )2 ( )2 =1, 4 2
8
8 8 2 2
4兀
R =1,球的体积为V =—
3
(2)直三棱柱 ABC - A B 1C 1的各顶点都在同一球面上 ，若AB 二AC 二AA 一 = 2 , • BAC = 120 ,则此球
的表面积等于 _______________ 。

—
2 ： ：'
3 —
解:BC =2.3 , 2r
4, r = 2 , R = . 5 , S = 20"
sin 120
(3)已知 」EAB 所在的平面与矩形 ABCD
所在的平面互相垂
直，EA = EB = 3, AD = 2, AEB 二 60 ,则多面体 E - ABCD 的外 接球的表面积为 ___________________ 。

16'：
A.
B.乜 C .辽
6
3
C
类型五、折叠模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起
第一步：先画出如图所示的图形，将. BCD 画在小圆上，找出 BCD 和- A BD 的外心H 1和H 2 ； 第二步：过H 1和H 2分别作平面BCD 和平面ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O ,连接OE,OC ； 2 2 2 第三步：解 OEH 1,算出
OH 1,在Rt OCH 1
中，勾股定理：OH • CH = OC
例5三棱锥P-ABC 中,平面PAC _平面ABCA PAC 和厶ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥
P- ABC
外接球的半径为
2
4
2
1
解析:2口 = 2D
, A = a *
, O 2H
,
si n60 <3
V3 <3
R 2 =O 2H 2
『J 4 = 5, R = 15
3 3 3 1
1
法二：O 2H =
,。

屮=「一, AH V3 丁3
解析：折叠型,法一 ：EAB 的外接圆半径为r , = . 3,00, =1,
R= 1 3=2 ；法二：0側=仝，r 2 =02D =』，R 2 =壬 4 13 = 4, R = 2, S =16二
4
(4)在直三棱柱 ABC-ARG 中，AB=4,AC=6,A
,AA 1 3
二4则直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的外接球 的表面积为
160。

二
3
解析：BC 2 =16 36 -2 4 6 丄=28, BC =2 一 7,2r 二
2
2 2
AA 2
R =r (
!) 2
28
40
4 , S
3
3 160
-1,
2 2 2 2 2
5
15 R 2 =A02 = AH 2 O 1H 2 O 1O 2
, R 二-
3
3
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB 二CD , AD 二BC , AC = BD ） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b, c , AD = BC = x , AB = CD = y , AC = BD 二z ,列方程组，
三棱锥的体积为V = 1 Sh = —3
3 4
（3）在三棱锥A-BCD
中，AB 二CD
= 2,AD =BC =3, AC = BD =4,则三棱锥
积为
解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长
，设长宽高分别为a,b,c ,则a 2 b^9,
b 2
c 2 =4, c 2 a 2 =16 2(a 2 b 2 c 2) =9 4 16 =29, 2(a 2 b 2 c 2) =9 4 16 =29 ,
『2
a 小2
2
c
2 2
b x
2 2 2 2.2 2
c = y= (2R) = a b c 2 2 a z
x 2 y 2 z 2
补充:V A _BCD
1
1 =abc abc 4 abc
6
3
第三步：根据墙角模型 ,2R 二 a 2 b 2 c 2
x 2 y 2 z 2
222
R 2
_ x y z
x 2 y 2 z 2
------------------ ,求出R ,
例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例6 （ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 （2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
1
的球面上，其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（
4
解：（1）截面为 PCO ,,面积是.2 ； （2）高h = R =1,底面外接圆的半径为 设底面边长为a ,则2R 旦 2
sin 60
-3
12
R =1,直径为2R =2,
a 「3,S
3 a 2
4
33
A - BCD
外接球的表面
⑴题解答图
29
29 29
,S
2
2
(4)如图所示三棱锥 A-BCD ,其中AB =CD =5,AC =BD =6,AD =BC =7,则该三棱锥外接球的表
面积为 ____________ .
解析：同上，设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长 ，设长宽高分别为
2 2 2 2 2 2 2
a,b,c ,2(a b c ) =25 36 49 =110, a b c =55, 4R =55,S =55二
【55二；对称几何体；放到长方体中】 (5)正四面体的各条棱长都为
..2 ,则该正面体外接球的体积为 ___________________
解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R = ... 3 ,
V 兀.空色=空冗
3 8
2,
(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥 )模型
C
题设：.APB =• ACB =90 ,求三棱锥P - ABC 外接球半径(分析：取公共的斜边的中点 O ,连接 1
OP,OC ,则OA=OB=OC=OP AB,. O 为三棱锥P-ABC 外接球球心，然后在OCP 中求出半 2 径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关
例7 (1)在矩形 ABCD 中，AB =4, 面体
A . ABCD 的外接球的体积为( 125 厂 125 12 9 ,只要不是平角球半径都为定值。

BC =3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角
B - A
C -
D ,则四 )
125 ----- 兀
6 125 125 4
=—兀- 3 8 (2)在矩形ABCD 中，AB = 2, BC =3,沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥 A - BCD 的外接 球的表面积为 5 4 3 2R=AC=5,R ,V R 3
2 3 解析：(2) BD 的中点是球心 O , 2R 二 BD = .13 , S =4二R 2 =13二； 类型八、锥体的内切球问题 1 •题设：如图14,三棱锥P - ABC 上正三棱锥，求其外接球的半径。

P 第一步：先现出内切球的截面图，E,H 分别是两个三角形的外心； 1 第二步：求DH BD , PO=PH -r , PD 是侧面 ABP 的高;
3
第三步：由POE 相似于 PDH ,建立等式：延=堕，解出r DH PD
C
E
A
,4R 2 类型七、两直角三角形拼接在一起
2
解析:PAC 的外接圆是大圆，2R
, R sin 60
<3
5.三棱锥P - A B C 中，平面PAC _平面ABC , P - A B C
外接球的半径为
2 2 2
PA PC -AC 9 9 -4
7
解析:COS • P = •
2PA PC
2
2.题设：如图15,四棱锥P _ABC
上正四棱锥，求其外接球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，P,0, H 三点共线; 1 第二步：求FH 二丄BC , P0二PH - r , PF 是侧面 PCD 的高; 2 OG PO 第三步：由：POG 相似于 PFH ,建立等式：曲 =PO ,解出 HF PF 3•题设：三棱锥P - ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； P
D
第二步：设内切球的半径为r ,建立等式：V JBC 二V 公BC ■ V O-PAB - V O PAC ■ Vo^BC - 11111 V P 山BC S ABC r — S PAB r — S PAC r — S PBC r (S ABC ' S PAB ' S PAC ' S PBC ) r 3 3 3 3 3 第三步：解出r - Wp 4BC S O 」BC S O _PAB S O _PAC S O _PBC
习题： 1 .若三棱锥 A. 3 解:【A 】 (2R)2「4 16 16 =6, R =3 【三棱锥有一侧棱垂直于底面 ，且底面是直角三角形】【共两种】 2.三棱锥S - ABC 中，侧棱SA _平面ABC ,底面ABC 是边长为3的正三角形，SA 二2 3 ,则该三棱 32 二 S - ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB = SC = 4,则该三棱锥的外接球半径为( B. 6 C. 36 D. 9 锥的外接球体积等于 J 3
解析：2r 2, (2R)2 =4 1^16, R 2 =4, R =2,外接球体积
sin 60
【外心法(加中垂线)找球心；正弦定理求球小圆半径】 3 .正三棱锥S - ABC 中，底面ABC 是边长为.3的正三角形，侧棱长为 于 . 32
二
8 = ■
3
2,则该三棱锥的外接球体积等
2 解析：「ABC 外接圆的半径为，三棱锥S - ABC 的直径为2R =- sin 60
v3 8 = 32 3 ■ 3” 3 27
或R 2 =(R - J3)2 +1, R =呂，外接球体积 V3 4 .三棱锥 P - ABC 中，平面PAC _平面 P-ABC
外接球的半径为 _____________ 」
4 3 V R 3 = 3 ABC , △ 4 ,外接球半径R= 2 ,
寸3
3 4 _ :—TL 3 PAC
边长为2的正三角形，AB _ BC ,则三棱锥
7, sin 2. P =1 _(7)2 二16^ , sin P-4^
9 9 81 9
：3，
AC =2 , PA = PC =3 , AB _ BC ,则三棱锥
9
6.三棱锥P - ABC 中，平面PAC _平面ABC , AC = 2 , PA _ PC , AB _ BC ,则三棱锥P- ABC 外 接球的半径为 . 解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心 0 ,球半径为R =1 2R = 2 4、2
9 9 2 9 2 2、2 T。