《2.13导数的应用(Ⅱ)》 学案

学习过程

一、课堂导入

我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

②“汽油的使用率最高”的含义是什么？

通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课

二、复习预习

1.函数的单调性与导数的关系

2.函数的极值与导数的关系

3.函数的最值与导数的关系

4.函数的极值和函数的最值的联系和区别

三、知识讲解

考点1 生活中的优化问题

生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题．

考点2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

考点3 求实际问题中的最值问题

有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．

四、例题精析【例题1】

【题干】设函数f(x)＝ln x－1

2ax

2－bx.

(1)当a＝b＝1

2时，求f(x)的最大值；

(2)令F(x)＝f(x)＋1

2ax

2＋bx＋

a

x(0

1

2恒成立，求实数a的取值范

围；

(3)当a＝0，b＝－1时，方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，求正数m的值．

【解析】 (1)依题意，知f (x )的定义域为(0，＋∞)，

当a ＝b ＝12时，f (x )＝ln x －14x 2－12x ，

f ′(x )＝1x －12x －12＝－(x ＋2)(x －1)2x

， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1(x ＝－2舍去)．

当00，此时f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．

所以f (x )的极大值为f (1)＝－34.

又因为f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一解，所以f (x )的最大值为－34.

(2)由题意得F (x )＝ln x ＋a x ，x ∈(0,3]，则

k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20

≤12在x 0∈(0,3]上恒成立， 所以a ≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12x 20＋x 0max ，x 0∈(0,3]． 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，所以a ≥12.

(3)因为方程2mf (x )＝x 2有唯一实数解，

所以x 2－2m ln x －2mx ＝0有唯一实数解．

设g (x )＝x 2－2m ln x －2mx ，

则g ′(x )＝2x 2－2mx －2m x

. 令g ′(x )＝0，即x 2－mx －m ＝0.

因为m >0，x >0，所以x 1＝m －m 2＋4m 2<0(舍去)，x 2＝m ＋m 2＋4m 2

. 当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)上单调递减；

当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上单调递增；当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )取最小值g (x 2)．

因为2mf (x )＝x 2有唯一实数解，则⎩⎨⎧ g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎨⎧

x 22－2m ln x 2－2mx 2＝0，x 22－mx 2－m ＝0，所以2m ln x 2＋mx 2－m ＝0.又因为m >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0.(*)

设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，当x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝0至多有一解．

因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，即m ＋m 2＋4m 2＝1，解得m ＝12.

【例题2】

【题干】已知f(x)＝(x2－a)e x，a∈R.

(1)若a＝3，求f(x)的单调区间和极值；

(2)已知x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且|x1＋x2|≥|x1x2|，求实数a的取值集合M；

(3)在(2)的条件下，若不等式3f(a)

2a

2－3a＋b对于a∈M都成立，求实数b的取值范围．

【解析】(1)∵a＝3，∴f(x)＝(x2－3)e x.

令f′(x)＝(x2＋2x－3)e x＝0⇒x＝－3或x＝1.

当x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；

x∈(－3,1)时，f′(x)<0，

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－3,1)．

∴f(x)的极大值为f(－3)＝6e－3；

极小值为f(1)＝－2e.

(2)令f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，即x2＋2x－a＝0，由题意其两根为x1，x2，

∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－a，

故－2≤a≤2.

又Δ＝4＋4a>0，∴－1

∴M＝{a|－1

(3)原不等式等价于b>3f(a)－a3－3

2a

2＋3a对a∈M都成立，记g(a)＝3f(a)－a3－

3

2a

2＋3a(－1

则g′(a)＝3(a2＋a－1)(e a－1)，