反函数

反函数

[重点难点]概念的把握,求反函数

1.反函数的定义

设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，

例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为

[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件

按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y 也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．3．函数与反函数图象间的关系

函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．

4．反函数的几个简单命题

（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．

（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．典型题目

题目一：（1999年全国高考试题）已知映射f:A→B，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A 中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是{a}，则集合B中元素的个数是

（）.

A、4

B、5

C、6

D、7

分析：根据映射的基本概念：“映射允许集合A中的不同元素在集合B中有相同的象.”来解题.

解：已知映射f: A→B，在集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}中共有7个元素，其中两个不同元素-3, 3对应B中相同的象|±3|=3，-2，2对应B中相同的象|±2|=2，-1，1对应B中相同的象|±1|=1，4对应B中的象|4|=4.故本题应选择（A）.

评述：

（1）映射是两个集合A与B之间的一种特殊反应，它的特点是对于集合A中任一元素，集合B中都有唯一元素和它对应；集合A中不同的元素在B中可以有不同的象，也可以有相同的象；集合B中的元素可以有原象，也可以没有原象.

（2）映射具有方向性，即从A到B的映射与从B到A的映射一般是不同的映射.

题目二:函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象（） .

A、关于直线y=x对称

B、关于直线y=x+1对称

C、关于直线y=x-1对称

D、关于直线y=-x对称

解答：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵y=f(x)与y=f-1(x)

的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.

题目三:定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图象与y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是（）.

A、关于直线y=x+a+b对称

B、关于直线x=y+a+b对称

C、关于直线y=x+a-b对称

D、关于直线x=y+a-b对称

解答:将y=x向左平移a个单位，向上平移b个单位得y=x+a+b，故选A.

题目四：求下列函数的反函数：

(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2];

(2)y=.

解：（1）∵y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2],

∴-2≤y≤1且(x+1)2=y+3.

∴x+1=-, y=-1-,

∴所求反函数y=-1--2≤x≤1.

(2)若x≤0，则y=x2≥0, x=-.

若x>0, 则y=-x-1<-1, x=-y-1.

∴所求反函数y=.

评注：求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域．

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).

（3）将x、y交换位置得y=f-1(x)．

（4）求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，它们联合在一起构成原函数的反函数．

题目五：已知点（1，2）既在y=的图象上，又在它反函数的图象上，求a,b．

解：∵点（1，2）在y=上，

∴2= (1)

∵点（1，2）在y=的反函数的图象上，

∴点（2，1）在y=上，

∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．

评议：本题目巧妙的运用了：若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．题目六：若函数f(x)的图象过（0，1）点，则f-1(x+4)的图象必过点___________．

分析：∵f(x)的图象过（0，1）点，∴f-1(x)的图象过（1，0）点，而f-1(x+4)的图象是把y=f-1(x)的图象向左平移4个单位而得到的，故f-1(x+4)的图象过(-3,0)点．

题目七：设y=f(x)=, y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于y=x对称，求g(3)的值．

解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.

∴x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-1(x+1)的反函数，即它们关于y=x对称．所以g(x)=f(x)-1,

∴g(3)=f(3)-1=-1=．

分析：还可以先求出f-1(x)，然后求f-1(x+4)，然后求出f-1(x+4)的反函数就是y=g(x)的表达式子.