投资组合管理第二次作业计算有效边界及

第二次作业
龚晓飞目录：
一、数据说明
二、计算有效边界
三、计算最小方差点
四、计算市场组合
五、计算资本市场线
六、计算结果
一、数据说明
这里选取了中国股票市场的四支股票，计算出了其从2004-2012年的年平均收益率及协方差矩阵。

结果如下：
编号协方差矩阵预期收益1
2
3
4
假定无风险利率是。

二、计算有效边界
假定为资产组合的权重向量，为协方差矩阵，是股票预期收益向量（历史数据的平均值），为资产组合的收益，为资产组合的标准差，为各个分量都为1且与
维数相同的列向量，为无风险利率。

对于无卖空限制的市场：
对于有卖空限制的市场：
对于第一个优化问题，可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，有效前沿的表达式为：
利用上面的表达式可以直接用matlab或excel画出有效前沿。

另外对第一个优化问题，可以用更加简单的方法来画有效前沿。

可以证明，给定后，可以得到与之对应的最小方差，只要赋给两个不同的值，同时得到两个相应的最小方差组合，这两个资产组合的凸组合可以形成整个有效前沿。

也就是说，假定及是两个不同的前沿组合，那么，任何其它的前沿组合都可以用来表达。

对于第二个优化问题，无法直接求得显式解，只能使用matlab或excel的二次规划函数（quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)）来求解出不同的所对应的最小方差，然后用这两组数据来画出有效前沿。

三、计算最小方差点
以下所用记号的含义与前面相同，计算最小方差点仍然要分下面两种情况。

对于无卖空限制的市场：
对于有卖空限制的市场：
对于第一个优化问题，与前面一样可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，最小方差点的收益与标准差的表达式为：
上面结果也可以直接从下面表达式得到：
当然上述最小方差点也可以用matlab或excel的二次规划程序来直接求解，在matlab 中所用的函数为quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)。

四、计算市场组合
以下所用记号的含义与前面相同，分下面两种情况计算市场组合。

市场组合的涵义是所有可行的资产组合中夏普率（Sharpe Ratio）最大的资产组合。

夏普率的定义为。

于是求市场组合可以归结为解决以下两个优化问题。

于无卖空限制的市场：
对于有卖空限制的市场：
上述优化问题都可以用matlab或excel的非线性规划函数
（fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)）来直接求解。

对于无卖空限制的情况，市场组合还有另一种特殊的求法。

市场组合本身在资本市场线上，因此它也是考虑无风险资产时达到最小方差的一种资产组合。

考虑无风险资产时的优化问题为：
上式中是风险资产的权重向量，是无风险资产的权重。

这个优化问题的解可以显式表达出来：
上面各分量的和不是1，需要将其单位化，即：
就是市场组合，它也称之为切线组合。

五、计算资本市场线
资本市场线就是市场组合点与的连线，它也是过点的有效边界的切线。

上面已经求得市场组合，求得这个组合的标准差以及收益。

那么在
平面上资本市场线的方程为：
六、通过以上计算可以得到以下主要的数据
1、excel计算结果：
具体数据在excel文档中。

2、matlab计算结果：。