大学物理 ——角动量守恒
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大学物理-角动量及其守恒律
t2
F
dP dt
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
比较 动量定理
M
t2
dL dt
Mdt ΔL
t1
M 0 L 0
角动量定理
[例题1.2]：证明地球轨道是在一个平面内。
二. 角动量相关问题求解
角动量问题大部分是一维问题，力矩也是垂直于运动平面。
[例题2.1]：质量为m的质点受到两个力作用，一个是中心力 点f1的 速rr f度r。 如该质，点另初外始一时个对是摩r=0擦点力的角f2动量是vJ0，, 则其求中以v是后质 时刻它的角动量。
C
lim
1
sin r
s
1
rv sin
C
t0 t 2 t0
t 2
因此， rmv sin L 守恒！
2. 角动量 角动量大小: L rmv sin [思考1.1] 角动量的方向呢？是矢量吗？
角动量定理及其守恒律
角动量方向: 右手螺旋定则
L r mv r p
L
m
φ
p
r
O
[例题1.1] 某个行星质量为m，其运动方程为
r a costi bsintj
则该质点的角动量为多少？
角动量定理及其守恒律
[问题1.3] 动量定理的微分形 式是如何写的？什么物理量 能使得角动量产生变化呢？
Fdt dp
从牛顿第二定律出发推导角动量定理：
Hale Waihona Puke d 2r m dt 2F
r
m
d 2r dt 2
r F
d 2r r m
dt 2
d dt
大学物理
角动量及其守恒律
➢ 角动量定理及其守恒 ➢ 角动量相关问题求解 ➢ 课堂小结与课后作业
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
大学物理课件角动量守恒定律
只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统 只要整个系统受到的合外力矩为 ， 的总角动量守恒， 的总角动量守恒，即： 恒量 比如：当研究质点与刚体的碰撞问题 质点与刚体的碰撞问题时 比如：当研究质点与刚体的碰撞问题时，可以把质 点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中， 点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受 的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒 系统的角动量守恒。 的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。
刚体定轴转动的角动量定理 三、刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 ，则
当刚体受到的合外力矩为0 时，其角动量保持不变。 其角动量保持不变。 当刚体受到的合外力矩为 讨论 Ø 内力矩不改变系统的角动量。 内力矩不改变系统的角动量。 Ø 在冲击等问题中 冲击等问题中 常量
Ø 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。
可得：质点系的角动量守恒定律： 可得：质点系的角动量守恒定律： 若： 则： 或：
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。 当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。
二、刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律 质点对点的角动量： 质点对点的角动量： 作圆周运动的质点的角动量： 作圆周运动的质点的角动量： 1、刚体定轴转动的角动量
（ 海豚 Ⅱ ）
（支奴干 CH47)
装置反向转动的双旋翼产生 反向角动量而相互抵消
用两个对转的顶浆
自然界中存在多种守恒定律 2 动量守恒定律 2 能量守恒定律 2 角动量守恒定律 2 电荷守恒定律 2 质量守恒定律 2 宇称守恒定律等
例：人与转盘的转动惯量J0，伸臂时 人与转盘的转动惯量 ， 臂长为 l1，收臂时臂长为 l2。人站在 ， 。 不计摩擦的自由转动的圆盘中心上， 不计摩擦的自由转动的圆盘中心上， 的哑铃。 每只手抓有质量为 m的哑铃。伸臂时 的哑铃 转动角速度为 1， ， 求：收臂时的角速度 2 。 解：整个过程合外力矩为0， 整个过程合外力矩为 ， 角动量守恒， 角动量守恒，
大学物理 角动量 角动量守恒定律
z L mv
r
注意
L r mv
角动量 L在直角坐标系中各坐标轴的分量：
1. 质点的角动量与质点对固定点的矢径有关；同一质 点对不同的固定点角动量不同。 2. 讲角动量必须指明对哪一个固定点而言。
Lx ypz zp y Ly zpx xpz
角动量的单位：
例2.17 一质量为 m的质点t=0时位于 ( x1 , y1 )处，速度为 v0 v x 0 i v y 0 j ，质点受到恒力 f = f i 的作用，（1） 求t=0时相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力 的力矩（2）求2s后相对于原点的角动量的变化中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v 2 与OB方向成θ角，则有
l0 (m M ) v1 l (m M ) v2 sin
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M ) v1 (m M ) v2 k (l l0 ) 2 2 2 2
( x1mv y 0 y1mv x 0 )k
作用在质点上的力的力矩为
M 0 r0 f ( x1i y1 j ) ( f i )
y1 f k
t t （2） L Mdt (r f )dt t0 t0 f f f 2 a i x x1 vx 0t t m m 2m
k (l l0 ) 2 m2 2 v2 v0 (m M ) 2 mM
arcsin
l0 mv0
2 l m 2 v0 k (l l0 ) 2 (m M )
例 . 在光滑的水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系 一小球放在桌面上，另一端用手缓慢拉绳，开始时小球绕孔运动， 半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径变为 r2 时,求小球的速率 v2？
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量 之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
角动量守恒定律
0 L v0 ; L v 2 2
得：
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆 质点 质点 柔绳无切向力 （1） o • 水平方向： Fx =0 ， px 守恒
v0
l
m (2)
Fy
M
L • 对 o 点：M 0 ，
m v 0l = ( m + M ) v l
m v 0= ( m + M ) v
守恒
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
v0
m
l
轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
M
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3
v l
回顾习题
P84 4 -10
F
O
m M
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢 量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量 守恒。
注意
1.与动量守恒定律对比
当 F外 0 时，
当 M外 0 时，
2.守恒条件 能否为
p 恒矢量 L 恒矢量
或
?
彼此独立
M外 0
M轴 0
M 外 dt 0
m 以速度v 0 撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞
求：撞后m 2的速率 v ?
解1：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
A
解2： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
大学物理课件：刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
R l
v 2
R
1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
M J J d
dt
利用角动量表示 M
dJ
dL
dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
械能守恒。
1 (1 ML2 ma2 ) 2 mga(1 cos60) Mg L (1 cos60)
23
2
3(2ma ML)g 2(3ma2 ML2 )
6(2ma ML)(3ma2 ML2 )
v0
6ma
课后习题 3-9 3-10 3-18
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量
1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达： 2.角动量
t
0 M dt
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
v
o
r
m
定义质点 m 相对原点的
角L动 量r定义p为 rmvsin
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。 解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
m
v0
大学物理 ——角动量守恒
设两人对轴承0点的速率分别为vA,vB
rmv A rmvB 0
v A vB
不论小孩对绳的速度如何，他们对地的速度都相 同，故将同时到达！
角动量守恒的几种可能情况：
1 孤立系.
2 3
有心力场,对力心角动量守恒. 由分量式：
Mi 0
M
ix
0 ; Lx 常量
即：虽然 , 但对某轴外力矩为 零，则总角动量不守恒,但对这轴的角 动量是守恒的.
dL ri F外i dt i
M
dL M dt
一个质点系所受的合外力矩等于该质点系总角动量对 时间的变化率——质点系的角动量定理。
当 M 0时
L 常矢量
——质点系的角动量守恒定理
说明：
dL M dt
1 角动量守恒条件：合外力矩为零. 合外力为零,合外力矩不一定为零, 反之亦然. 2 守恒指过程中任意时刻。 3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的 自然界中更普适的定律之一. 4 角动量守恒定律只适用于惯性系。
L m r v m(a cos t i b sin t j ) (a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk ) (恒矢量) mab k
0!
或由
dL M dt
2
有心力场,对力心角动量守恒.
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向 下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然 后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周 求：v2=？ 解： 作用在小球的力始 v2 终通过O点（有 v O 1 心力）由质点角 r1 r2 动量守恒： mv1r1 mv2 r2 F r1 v 2 v1 ( ) ( v1 ) r2
大学物理—质点的角动量和角动量守恒定律
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理 力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理
第二章 刚体的定轴转动
1
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
一 质点的角动量定理 (theorem of angular moment)
质点运动
p mv
2
L
p
o
m r
2.质点的角动量定理
M dL dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等 于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率。
第二章 刚体的定轴转动
4
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
M dL dt
t2
t1
M d t L 2 L1
0, p 0
0, p 0
pi
pj
第二章 刚体的定轴转动
2
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律 1.质点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v
在空间运动，某时对 O 的位 矢为 r ，质点对参考点 O 的 角动量
L r p r mv
当 M 0， L C
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为零时，质点 对该参考点Ｏ的角动量为一恒矢量。——质点的 角动量守恒定律
第二章 刚体的定轴转动
6
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
例1 一半径为 R 的光 滑圆环置于竖直平面内。 一质量为 m 的小球穿在 圆环上， 并可在圆环上 滑动。小球开始时静止于 圆环上的点 A (该点在通 过环心 O 的水平面上)， 然后从 A点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦力 略去不计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度。
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理 力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理
第二章 刚体的定轴转动
1
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
一 质点的角动量定理 (theorem of angular moment)
质点运动
p mv
2
L
p
o
m r
2.质点的角动量定理
M dL dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等 于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率。
第二章 刚体的定轴转动
4
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
M dL dt
t2
t1
M d t L 2 L1
0, p 0
0, p 0
pi
pj
第二章 刚体的定轴转动
2
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律 1.质点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v
在空间运动，某时对 O 的位 矢为 r ，质点对参考点 O 的 角动量
L r p r mv
当 M 0， L C
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为零时，质点 对该参考点Ｏ的角动量为一恒矢量。——质点的 角动量守恒定律
第二章 刚体的定轴转动
6
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
例1 一半径为 R 的光 滑圆环置于竖直平面内。 一质量为 m 的小球穿在 圆环上， 并可在圆环上 滑动。小球开始时静止于 圆环上的点 A (该点在通 过环心 O 的水平面上)， 然后从 A点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦力 略去不计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度。
大学物理-角动量守恒定律
1 dA ( r sin )ds 2
4-3 角动量
角动量守恒定律
dA 1 ds 1 ( r sin ) r sin v dt 2 dt 2 1 1 r sin mv rp 2m 2m 而行星的角动量 r p 大小恒定，所以 dA 常量 dt
一般情形下， r 和 p 都是变化的，所以 L 没 有确定的方向，但任一时刻， L 总垂直于 r 和 p 所确定的平面。在直角坐标系下，L 的三个分量
为：
3
Lx ypz zp y Ly zpx xpz Lz xp y ypx
4-3 角动量
这就是开普勒第二定律。 如果一个力的方向始终指向某一点，这力称 为有心力，这点，称为力心。有心力对力心的力 矩恒为0，因此，在有心力作用下的质点对力心 的角动量守恒。 10
4-3 角动量
角动量守恒定律
质点系角动量变化定理和角动量守恒定律 1. 质点系角动量
L l i ri 量
角动量守恒定律
3. 角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 M 外 0，则
dL 0 ，L 常矢量 dt
实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所 经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的 过程，都遵守角动量守恒定律。
13
4-3 角动量
角动量守恒定律
【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球， 开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同时 打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向 获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过 程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度v0。 解 系统：弹簧和小球 质心C点固定不动，相对 C点系统的角动量守恒。
必须指明是对哪个点而言的
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
大学物理角动量定理
dL
dt
ri Fi
ri f内i
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统 所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。
质点或质点系的角动量守恒定律：
当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零 时，质点或质点系对该点的角动量保持不变。
第三章 守恒定律
4
大学 物理
3-6 角动量定理
证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相等时间内
扫过的椭圆面积相等 。
证： dS 1 r dr 2
dS 1 r dr 1 r v dt 2 dt 2
dr
r
dS 1 r mv 1 L 有心力作用下角动量守恒
dt 2m
2m
dS 恒矢量 dt
证毕
第三章 守恒定律
5
大学 物理
3-6 角动量定理
例.在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔，其一端
3-6 角动量定理
竖直平面内. 一质量为 m 的小球
穿在圆环上, 并可在圆环上滑动.
小球开始时静止于圆环上的点 A
(该点在通过环心 O 的水平面上)，
然后从 A点开始下滑．设小球与
圆环间的摩擦力略去不计．求小
球滑到点 B 时对环心 O 的角动量
和角速度．
解 小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为零，重力矩垂直
i 1
z F1 Fi
0
ri
dpi dt
ri
Fi f内i
dL
dt
ri Fi
ri f内i
r1
ri
O
x
r2
F2
y
第三章 守恒定律
3
大学
一对力对某一固定点的力矩
5角动量守恒大学物理
夹角 ）
解: 分析受力: 重力，支持力 定点弹性力。
设：恢复原长时， 球速为V及图示角
显然，在水平方 向。。。。。
v
M
l0
O
l0 a
v0
2
M
因为弹性力为 有心力， M rF 0
v
M
l0
v0
则；在小球运动的整
2
个过程中，M对O点 的角动量守恒。
L
O 恒矢量
l0 a Lrp
M
角动量守恒：
v
r
r
Sun
v
方向：满足右手关系，向上 3 质点 直线运动对 某定点的角动量：
d r
m
L r p mr v
O
大小：L mvrsin mvd
方向：
思考：如何使L=0？
质点的角动量定理：
仿照平动：F
dp
M
r
F
dt r
dp
d(r
p)
dr
p
d(r
p)
v
dt
mv
dt
L LdL m2gR3
cosd
0
0
3
1
L mR 2 (2g sin )2
由 L mR2
;
(
2g
sin
)
1 2
R
例：原长为 l0 劲度系数为k的弹簧，一端固定在一光 滑水平面上的o点，另一端系一质量为M的小球。开始
时，弹簧被拉长a,并给予小球一与弹簧垂直的初速度v 0 求：当弹簧恢复原长时小球速度 v的大小和方向（即
2 有心力场,对力心角动量守恒.
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向
下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1 ,v1)然
解: 分析受力: 重力，支持力 定点弹性力。
设：恢复原长时， 球速为V及图示角
显然，在水平方 向。。。。。
v
M
l0
O
l0 a
v0
2
M
因为弹性力为 有心力， M rF 0
v
M
l0
v0
则；在小球运动的整
2
个过程中，M对O点 的角动量守恒。
L
O 恒矢量
l0 a Lrp
M
角动量守恒：
v
r
r
Sun
v
方向：满足右手关系，向上 3 质点 直线运动对 某定点的角动量：
d r
m
L r p mr v
O
大小：L mvrsin mvd
方向：
思考：如何使L=0？
质点的角动量定理：
仿照平动：F
dp
M
r
F
dt r
dp
d(r
p)
dr
p
d(r
p)
v
dt
mv
dt
L LdL m2gR3
cosd
0
0
3
1
L mR 2 (2g sin )2
由 L mR2
;
(
2g
sin
)
1 2
R
例：原长为 l0 劲度系数为k的弹簧，一端固定在一光 滑水平面上的o点，另一端系一质量为M的小球。开始
时，弹簧被拉长a,并给予小球一与弹簧垂直的初速度v 0 求：当弹簧恢复原长时小球速度 v的大小和方向（即
2 有心力场,对力心角动量守恒.
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向
下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1 ,v1)然
大学物理学之角动量守恒
对于由两个质点构成的质点系引入相对速度uvvu?考虑到质心系是零动量参考系即可得21121212mmv?u?v?u?mmmm?由此可得每个质点相对于质心的动量分别为212112v?v?v?????02211v?mv?m22两质点的约化质量利用质心表达式每个质点相对于质心的位矢分别为????1m故两个质点系统相对于其质心的角动量为????112212r?clrpr?p?u???????22u1v?mp?u?u?mmmmv?mp????2212111??????mmr??m?1r2112r?12121222112r?22?12121mmrmr?r?r?mmmmr?r?mr?r?cc?23四两体问题对于质量可以比拟的孤立两体问题总可以把其中一个物体看作固定力心另一物体的质量用约化质量代替
h
m' v m
v
例6.5：在图示装置中，盘与重物的质 ：在图示装置中， 量均为m，胶泥的质量为m’, 原来重 量均为 ，胶泥的质量为 物与盘静止，让胶泥从h高处自由落 物与盘静止，让胶泥从 高处自由落 求胶泥粘到盘上后获得速度。 下，求胶泥粘到盘上后获得速度。
vo 6.8、 6.5图 图6.8、题6.5图
o
F
mg
图6.4、题6.1图 、 图
5
例6.2：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 ， ：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m， 速率为v，求圆锥摆对 点 点 轴的角动量。 速率为 ，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量。 轴的角动量 在讨论质点的角动量时， 在讨论质点的角动量时，必须指明是对 那点或那个轴的角动量
守恒条件: 守恒条件
M x = 0 ⇒ Lx = const M y = 0 ⇒ Ly = const M z = 0 ⇒ Lz = const
h
m' v m
v
例6.5：在图示装置中，盘与重物的质 ：在图示装置中， 量均为m，胶泥的质量为m’, 原来重 量均为 ，胶泥的质量为 物与盘静止，让胶泥从h高处自由落 物与盘静止，让胶泥从 高处自由落 求胶泥粘到盘上后获得速度。 下，求胶泥粘到盘上后获得速度。
vo 6.8、 6.5图 图6.8、题6.5图
o
F
mg
图6.4、题6.1图 、 图
5
例6.2：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 ， ：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m， 速率为v，求圆锥摆对 点 点 轴的角动量。 速率为 ，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量。 轴的角动量 在讨论质点的角动量时， 在讨论质点的角动量时，必须指明是对 那点或那个轴的角动量
守恒条件: 守恒条件
M x = 0 ⇒ Lx = const M y = 0 ⇒ Ly = const M z = 0 ⇒ Lz = const
大学物理 牛顿运动学定律 动量 动量守恒 角动量 角动量守恒
1 2
mv02[(
r0 r
)2
−
1]
>
0
例2. 用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径 的面积速度为恒量。
解： 在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积
dS
=
1 2
r
dr
sin α
=
1 2
r × dr
行星
α
r dS dr
面积速度
孔做圆周运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径为 r2 时，求 小球的速率 v2
解：小球受力： f 拉 为有心力
L = r × mv
L2 = L1
r1mv1 = r2mv2
v2
=
r1 r2
v1
显然 v2 > v1
f拉
0 v1
r2
r1
利用动能定理，该力所做的功
W == ∆Ek
1 2
m= v2 − 12 mv02
p1
= p2 − p1 = mv2 − mv1
2. 动量守恒定律 （与外界没有质量交换的质点系）
∑ 当当 ∑FFixi = 0 时 时
∑ miv∑i =mimvix1v=1恒+矢m量2v2 + + mnvn = 恒矢量
当质点系所受的合外力为零时，系统的总动 量保持不变。
第7节 角动量定理 角动量守恒定律
t： t+dt ：
质量 m m + dm -dm
速度
v
v + dv
v'
动量 p1 = mv
p2
(此处dm<0)
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A. 动量守恒 B. 机械能守恒 C. 动能守恒 D. 速度不变 E. 以上都不对
O
F
E
开普勒第一定律：所有行星沿各自的椭圆轨道绕太阳 运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任一行星来说，它与太阳的连线 （称为对太阳的矢径）在相等的时间内扫过相等的面积.
开普勒第除三定了律动：量行星，绕机太械阳运能动守轨恒迹量的半以长外轴一a的定立 方 是与 一还运个有动只另周与期 太外阳T一的有个平关放的守成常恒反量量比。。存比在例！系数与行星无关，
0
M1
M
2
r1
f
2
r2
f2
(r2 r1 ) f2 r f2
r f2
2.质点系的角动量
L ri Pi
d
(a
b)
i
da
b
a
db
Fi
·i
Pi·
fi · ·
r·i ·rj
fj·
j
dt
dt
dt
o
dL
dt
d [
dt i
ri Pi ]
i
ri
p
d(r
p)
dt
定义角动量
dt
v mv
dt dt d(r p)
vdvt 0
ddLL ddt t
M
L r p mr v
t2
M
dt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
质点的角 动量定理
t2 t1
Mdt
为质点在t内对o点的冲量矩
力
力矩
平动运动状态发生改变（动量定理） 转动状态发生改变（角动量定理）
1.质点的圆周运动
动量：p
mv
L
Or
v
（对圆心的）角动量：
m
L
r
p
r
(mv)
mr
v
(r
v)
大小： L m rv
方向：满足右手关系，向上
2 行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量：
L
r
p
m(r
v)
大小： L mvrsin;
v
v
r
r
Sun
方向：满足右手关系，向上
3 质点直线运动对某定点的角动量
第五章
自然界中常见物体绕着某中心运动的情况.例 如地球绕太阳的公转, 等等. 在这些情况下,仅仅 用动量来描述物体的运动是不够的,有必要引入 另一个物理量──角动量来描述物体的转动.
#1a0204001a
质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向 下，水平面光滑，开始小球作圆周运动半径为 r1， 然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为半径r2的圆周。 试问小球这一过程中下面哪个叙述是对的？
A. 守恒 B. 不守恒 C. 条件太少，无法判断
oa x
mg v
B
质点系的角动量定理和角动量守恒
1. 一对作用力、反作用力对定点（定轴）
的合力矩等于零。
M1 r1 f1
M 2 r2 f2
o
M 1 M2 r1 f1 r2 f2
r2
r1
m2 f2
r f1
m1
f1 f2
M
r
F
i jk x yz
Y
o
说明
Fx Fy Fz Mxi M y j Mzk
1.力矩是改变质点系转动状态的原因,
力是改变质点系平动状态的原因。
2. 同一力对空间不同点的力矩是不同的。
质点的角动量及 角动量定理：
d
(a
b)
da
b
a
db
dt
dt
dt
M
r
F
r dp
d(r
p)
dr
L
r
p
mr
v
=0 ？
大小： L mvrsin mvd
方向：
d
r
思考：如何使L=0？
O
v
m
#1a0204010a
质点的角动量的定义是
L
r
p
,以下哪一个
选项的理解是正确的？
A.对不同的参考点，角动量是相同的，或者说 质点的角动量与特定的坐标原点无关
BC..当当rr与 与质 质点 点动动量量pp平垂行直时时质质点点的的角角动 动量 量等 等于 于零 零
行星受力方向与矢径在一条直线，永远
注意与矢径L 是v反 平行的r。LMmvr0sinLm常r矢r s量in
t
S
r1
F
r
mrsin2m1 2rr
sin
2m
S
2
行星的 mv时 刻在变,但其
可L维t持不变. t
有心力：运动质点所受的力 的作 用线始终通过某个给定 点，而且 力的大小只依赖于 质点对该给定点的距离。
D.以上都不对
B
#1a0204010b
对于角动量的理解，以下说法错误的是： L
A. 质点m对O点的角动量是一个矢量， p
其组成大r的小平为p 面prs，in与 ,方和向垂直满于r足右和p手 螺 O
B.
旋关系 角动量定义中的
r一定是质点运动
的位置矢量
p
r
θ m
C. 角动量是描述物体的转动运动状态 的物理量
性质：角动量守恒 机械能守恒
#1a0204003c
一个粒子飞过一金原子核而被散射，金核基本 未动（如图所示）。在这一过程中，对金核中心 粒子的角动量
A. 守恒 B. 不守恒 C. 条件太少，无法判断
粒子
A
v
r
Au核
#1a0204003b
质量为m的质点在t=0时刻自(a，0)处静止释放，忽 略空气阻力。问对原点O的角动量是否守恒？
一、质点的角动量
力矩
中学的表达式：对轴的力矩M
r
和
F
在同一平面内
d是O点到力作用线的
M Fd Fr sin
力对 定轴的力矩：
M rF
o
垂直距离，称为力臂。
M
F
r
p
d
Z
力F对o点的力矩：
M
r
F
M rF sin
M
r
F
F p
方向由右手螺旋法则确定。
r
直角坐标系：
X
m(ab cos 2 tk ab sin2 tk )
mabk (恒矢量)
M
dL
0!
dt
或由
M
r
F
二、角动量守恒定律
M dL
dt
质点的角动量守恒定律
当M 0
,
L
r (mv)
=恒矢量
当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点
对该参考点O的角动量为一恒矢量。
例：
L
v
r m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律
C. mabk
D. 以上都不对
C
例r:一a质c量os为mti的质b s点in沿一tj条其二中维a曲,b线,运为动常数
解试：求:该v质 点dr对原a点的si角n动ti量 矢b量co.s
tj
dt
L m r v m(a cos ti b sintj )
(a sinti b cos tj )
D. 当质点做平面运动时，对该平面上
任一点的角动量都垂直该平面
B
#1a0204002a
一质量为m的r质 点a c沿os一条ti二 维b s曲in线t运j 动 其中a，b， 为常数，试求：该质点对原点的角动
量矢量
A. ma 2 cos t sinti mb 2 cos t sintj
B. m(a2 b2 )cos t sint sintk