重庆一中2015级2014-2015年九年级上半期数学试题及答案
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重庆一中初2015级14—15学年度上期半期考试数学试题
参考公式:抛物线()02
≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(2
a
b a
c a b --,对称轴为a b x 2-=.
一、选择题:(本大题共12个小题,每小题4分,共48分) 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1.
45tan 的值为( )
A .
21 B .22 C .1 D .2
3
2.下列立体图形中,主视图是三角形的立体图形是( )
A .
B .
C .
D . 3.计算32x x ⋅的结果是( )
A .5
x B .6
x C .7
x D .8
x 4.下列四种调查中,适合普查的是( )
A .登飞机前,对旅客进行安全检查
B .估计某水库中每条鱼的平均质量
C .了解重庆市九年级学生的视力状况
D .了解中小学生的主要娱乐方式 5.若1-a 有意义,则a 的取值范围是( ) A .1-≥a B .1>a C .1≥a D .1≠a
6.如图,在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2AD ,DE ∥BC 交AC 于点E , 若1=∆ADE S ,则ABC S ∆为( )
A .3
B .4
C .8
D .9
7.已知反比例函数图象经过点(2,-2),(-1,n ),则n 等于( ) A .3 B .4 C .-3 D .-4
8.已知点(-2,1y ),(-1,2y ),(3,3y )在函数12
+=x y 的图象上,则1y ,2y ,3y 的大小关系是( )
A .321y y y >>
B .213y y y >>
C .123y y y >>
D .312y y y >>
6题图
12题图
14题图
9.抛物线()02
≠++=a c bx ax y 上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:
从上表可知,下列说法错误的是( )
A .抛物线开口向上
B .抛物线与x 轴有两个交点
C .抛物线的对称轴是直线1=x
D .函数()02
≠++=a c bx ax y 的最小值为4
7-
10.下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子,观察图形的变化规律,第10个小房子需要 的石子数量
为 ( )
A .130
B .140
C
.150 D .160
11.已知一次函数k kx y +-=的图象如下左图所示,则二次函数k x kx y +--=22的图象大致是( ).
A .
B .
C .
D . 12.如图,A ,B 是反比例函数x
k
y =图象上两点,AC ⊥y 轴于C ,BD ⊥x 轴 于D ,AC =BD =
5
1
OC ,9=ABDC S 四边形,则k 值为( ) A .8 B .10 C .12 D .16. 二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分) 题号 13
14
15
16
17 18
答案
13.方程组⎩⎨
⎧=-=+2
y x y x 的解是 .
14.如图,矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,AC =6,则OD = .
x
… -1 0 2 … y
…
-1
47- 4
7- …
15.为了测量旗杆的高度,我们取一竹竿放在阳光下,已知1米长的竹竿影长为2米,同一时刻旗杆的影长为20米,则旗杆高 米.
16.二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,则下列结论: ①0<c ②042>-ac b ③0
2=+b a ④当3>x 时,0>y .正确的是 .
17.从-1,0,1,2,3这五个数中,随机取出一个数,记为a ,那么使关于x 的反比例函数x
a y 3
-=
的图象在二,四象限,且使不等式组⎩
⎨⎧>+≤+122x a a
x 无解的概率为 .
18.如图,等腰Rt △ABC 中,O 为斜边AC 的中点,∠CAB 的平分线 分别交BO ,BC 于点E ,F ,BP ⊥AF 于H ,PC ⊥BC ,AE =1, PG = .
三、解答题:(本大题共2个小题,每小题7分,共14分) 19.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,2
1
tan =A ,D 是边AB 上一点,∠BDC =45°,AD =4, 求BC 的长.
20.已知抛物线顶点坐标为(1,3),且过点A (2,1). (1)求抛物线解析式;
(2)若抛物线与x 轴两交点分别为B ,C ,求线段BC 的长度. 18题图
16
题图 19
题图
35%
22题图
四、解答题:(本大题共4个小题,每小题10分,共40分)
21.先化简,再求值:1
211222+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x x x x
,其中x 满足分式方程0122=--x x .
22.为了解我校初三学生体育达标情况,现对初三部分同学进行了跳绳,立定跳远,实心球, 三项体育测试,按A (及格),B (良好),C (优秀),D (满分)进行统计,并根据测试的结果绘制了如下两幅不完整的统计图,请你结合所给信息解答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生,请补全折线统计图;
(2)我校初三年级有2200名学生,根据这次统计数据,估计全年级有多少同学获得满分;
(3)在接受测试的学生中,“优秀”中有1名是女生,现从获得“优秀”的学生中选出两名学生交流经
验,请用画树状图或列表的方法求出刚好选中两名男生的概率.
23.某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元,试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件. (1)求销售单价x (元)为多少时,该文具每天的销售利润W (元)最大;
(2)经过试营销后,商场就按(1)中单价销售.为了回馈广大顾客,同时提高该文具知名度,商场营
销部决定在11月11日(双十一)当天开展降价促销活动,若每件文具降价m %,则可多售出m 2%件文具,结果当天销售额为5250元,求m 的值.
24.如图,在△ABC 中,AB =AC ,EF 为△ABC 的中位线,点G 为EF 的中点,连接BG ,CG . (1)求证:BG=CG ;
(2)当∠BGC =90°时,过点B 作BD ⊥AC ,交GC 于H ,连接HF , 求证:BH=FH+CF . 24
题图
五、解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)
25.如图,已知抛物线()032≠-+=a bx ax y 与x 轴交于A ,B 两点,过点A 的直线l 与抛物线交于点C ,
其中A 点的坐标是(1,0),C 点坐标是(4,-3). (1)求抛物线解析式;
(2)点M 是(1)中抛物线上一个动点,且位于直线AC 的上方,试求△ACM 的最大面积以及此时点
M 的坐标;
(3)抛物线上是否存在点P ,使得△PAC 是以AC 为直角边的直角三角形?如果存在,求出P 点的坐
标;如果不存在,请说明理由.
25题图
26.如图,Rt △EFG 中,∠E =90°,EG =
415,5
3
sin =F ,□ABCD 中,AB =7,AC =10,H 为AB 边上一点,AH =5,AC ∥EF ,斜边FG 与边AB 在同一直线上,Rt △EFG 从图①(点G 与点A 重合)的位置出发,以每秒1个单位的速度沿射线AB 方向匀速移动,当F 与H 重合时,停止运动.
(1)求BC 的长;
(2) 设△EFG 在运动中与△ACH 重叠的部分面积为S ,请直接写出S 与运动时间t (秒) 之间的函
数关系式,并写出t 的取值范围;
(3)如图②,当E 在AC 上时,将△FGE 绕点E 顺时针旋转
α(1800<<α),记旋转中的△FGE 为
△E G F '',在旋转过程中,设直线'
'
G F 与直线AC 交于M ,与直线AB 交于点N ,是否存在这样的
M 、N 两点,使△AMN 为等腰三角形?若存在,求出此时EM 的值;若不存在,请说明理由.
图① 26题图 图②
重庆一中初2015级14—15学年度上期半期考试
数学答案2014.11
一、选择题:(本大题共12个小题,每小题4分,共48分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
C
A
A
C
D
B
B
D
B
B
B
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分) 题号 13
14 15 16 17 18
答案
⎩⎨
⎧-==1
1y x 3
10
②
5
3 12-
三、解答题:(本大题共2个小题,每小题7分,共14分) 19.解:∵∠ABC =90° ∠BDC =45° ∴BD =BC
又∵在Rt △ABC 中 2
1
tan ==AB BC A ∴
2
1
4=+BC BC ∴BC =4 ……7分
20.解:(1)设抛物线解析式为()312
+-=x a y (0≠a ) ∵(2,1)在抛物线上
∴()31212
+-=a ∴2-=a
∴()3122
+--=x y ……3分
(2)()03122
=+--x
2611+
=x 2
612-=x ∴ 621=-=x x BC ……7分 四、解答题:(本大题共4个小题,每小题10分,共40分)
21.解:原式=()()()()()
111112
--⋅
-+-+x x x x x x x x
=()()()()
11112
2
--⋅
-+x x x x x x =1+x x
……5分 01
22=--x
x 2-=x ……7分
经检验,2-=x 为原分式方程的根 ……8分
∴原式=
21
22
=+-- ……10分
22.解:(1)20 右图 ……2分 (2)440人 ……4分 (3)
总共有6种等可能的结果,满足条件的有2种,∴()3
1
=选中两名男生P ……10分 23.解:(1)销售量=()x x 105002510250-=-- ()()x x W 1050020--= 10000700102
-+-=x x ()225035102
+--=x
∴当35=x 时,元最大2250=W ……5分 (2)原来销售量15035050010500=-=-=x 35(1-m %)150(1+2m %)=5250 设m %=a ∴()()1211=+-a a 022
=-a a ∴01=a 2
1
2=a ∵要降价销售 ∴2
1
=
a ∴50=m ……10分 24.证明:(1)∵AB =AC ∴∠ABC =∠ACB 又∵EF 为中位线 ∴BE =
2
1
AB =CF EF ∥BC 一 二 女 男1 男2
女
(女,男1) (女,男2)
男1 (男1,女)
(男1,男2)
男2
(男2,女) (男2,男1)
∴∠1+∠ABC =∠EFC +∠ACB =180° ∴∠1=∠EFC 又∵G 为EF 的中点 ∴EG =GF ∴在△BEG 和△CFG 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=FG EG EFC CF BE 1
∴△BEG ≌△CFG ∴BG =CG ……4分 (2)延长BG 交AC 于M
∵∠BGC =90° BD ⊥AC ∴∠2=90°-∠GHB =90°-∠DHC =∠3 在△BGH 和CGM 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠3290CG BG CGM BGH
∴△BGH ≌CGM ∴BH =CM GH =GM
又∵EF ∥BC ∴∠4=∠GCB =45° ∴∠5=90°-∠4=45°=∠4 在△GMF 和△GHF 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=GF GF GH GM 45
∴△GMF ≌△GHF ∴MF =HF
∴BH=CM=MF+FC =FH+FC ……10分
25.解:(1)∵抛物线32
-+=bx ax y 过点(1,0),(4,-3) ∴⎩
⎨
⎧-+=--+=341633
0b a b a 解得:⎩⎨⎧=-=41b a
∴342
-+-=x x y ……4分 (2)过M 作MN ⊥x 轴交AC 于点N
设直线AC 为()0≠+=k b kx y ∵A (1,0) C (4,-3)在直线上
∴⎩
⎨⎧+=-+=b k b
k 430 ∴⎩⎨⎧=-=11b k 1+-=x y AC
∵M 在抛物线342
-+-=x x y 上 N 在直线AC 上
∴设M (m ,342
-+-m m ), N (m ,1+-m )
又∵M 在直线AC 的上方
∴MN =N M y y -=()1342+---+-m m m =452-+-m m ∴MNC MNA MAC S S S ∆∆∆+==
()A C x x MN -⋅⋅21 =()
453212-+-⨯m m =8
2725232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m ∴当25=m 时,8
27=最大S 此时M (25,43) ……8分 (3)1+-=x y AC 中,当0=x 时,1=y
∴OD =OA =1 ∴∠ADO =45°
当∠PAC =90°时:过1P 作F P 1⊥x 轴 ∠AF P 1=45°
∴设1P (1+n ,n )∴()()31412
-+++-=n n n 解得01=n (舍)12=n ∴1P (2,1)
当∠PCA =90°时:()82=-=C D y y DE ∴E (0,-7)
设()0222≠+=k b x k y CE ∴⎩
⎨⎧=-+=-222743b b k 解得⎩⎨⎧-==7122b k ∴7-=x y CE ∴⎩⎨⎧-+-=-=347
2x x y x y
∴41=x (舍) 12-=x ∴2P (-1,-8)
∴1P (2,1),2P (-1,-8) ……12分
26.解:(1)过C 作CI ⊥直线AB
∵AC ∥EF ∴∠CAB =∠F
在Rt △ACI 中 CAB ∠sin =F sin =
AC CI =53 ∴61053=⨯=CI 在Rt △ACI 中 822=-=IC AC AI ∴BI =AI -7=1
在Rt △BCI 中 3722=+=BI CI BC ……3分
(2)()
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<-+-≤≤=4454351612152275
3435425854524255104254502562222t t t t t t t t t t t S ……8分 (3)过E 作EK ⊥AB
如图1:当MA =MN 时 ∠1=∠2 又∵∠'F =∠1
∴∠3=∠1=∠'F ∴ME MF ='
在Rt △M EK '中,()2'224EK EM EM +-= ∴8
25=EM ……9分 如图2:当AM =AN 时 ∵∠EFK =∠'F
∴∠1=∠2=∠3=∠EM F ' ∴E F M F ''==5
145'''=-=-=M K M F M K
∴Rt △M EK '中,2'2
'2M K EK EM += ∴10=EM ……10分 如图3:当AM =AN 时 ∠1=∠2 ∵∠EFK =∠1+∠2=∠E F K ''=∠3+∠2
∴∠3=∠2 5'
'==M F E F
∴Rt △M EK '中 2'2'2E K M K ME += 103=EM ……11分
如图4:当NM =NA 时 ∠1=∠2=∠EFK =∠3
∴ME E F =' ∴M 与F 重合 ……12分
∴825=
EM ,10,103。