ch函数逼近与计算

Ch3、函数逼近与计算

§1、引言

1、引例

某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数.设计要求x 在区间[]b a ,中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数ε.

①由于插值法的特点是在区间[]b a ,中的1+n 个节点处，插值函数)(x P n 与被插值函数)(x f 无误差，而在其它点处)()(x f x P n ≈.对于i x x ≠，)(x P n 逼近)(x f 的效果可能很好，也可能很差.在本问题中要求)(x P n 在区间[]b a ,中的每一点都要“很好”地逼近)(x f ，应用插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证. ②可以采用泰勒展式解决本问题.

将)(x f 在特殊点0x 处做泰勒展开

10)(00)(000)()!1()()(!)())(()()(+-++-++-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ

取其前1+n 作为)(x f 的近似，即

)()(!

)

())(()()(00)(000x f x x n x f x x x f x f x P n n n ≈-++-'+=

但泰勒展式仅对0x 附近的点效果较好，为了使得远离0x 的点的误差也小于ε，只好将项数n 取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度.因此，从数值计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的.

③引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数)(x P n ，比如说，它仍然是一个n 次多项式，)(x P n 不一定要在某些点处与)(x f 相等，但)(x P n 却在区间[]b a ,中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近)(x f . 2、逼近问题

对],[)(b a C x f ∈，求一个多项式)(x p ，使)()(x p x f -在某种衡量标准下最小.

①一致逼近（均匀逼近）

无穷范数：)()(max )()(x p x f x p x f b

x a -=-≤≤∞

最小

②平方逼近（均方逼近）

欧氏范数：[]⎰-=

-b

a

dx x p x f x p x f 22)()()()(最小. 3、维尔斯特拉斯定理

定理：设],[)(b a C x f ∈，则对任意0>ε，有多项式)(x p ，使ε<-)()(x p x f 在[]b a ,上一致成立.

本定理的证法很多，伯恩斯坦在1921年引入了一个多项式

∑=--⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n

k k n k

k n n x x C n k f x f B 0)1(),(

他证明了)10()

(),(lim ≤≤=∞

→x x f x f B n n .

伯恩斯坦多项式在自由外形设计中有较好的应用.但它有一个致命的缺点，就是收敛太慢.要提高逼近精度，只好增加多项式的次数，这在实际中是很不合算的.

切比雪夫从另一个角度去研究逼近问题.他不让多项式的次数n 趋于无穷，而是先把n 固定.对于],[)(b a C x f ∈，他提出在n 次多项式集合中，寻找一个多项式

)(x P n ，使)(x P n 在[]b a ,上“最佳地逼近”)(x f .

§2、正交多项式

一、正交多项式的概念及性质

定义1：设区间),(b a 上非负函数)(x ρ满足

①)2,1,0()( =⎰n dx x x n

b

a

ρ存在；②对非负连续函数)(x f ，若0)()(=⎰dx x x f b

a

ρ，

则在),(b a 上0)(≡x f ，则称)(x ρ为区间),(b a 上的权函数. 定义2：设],[)(),(b a C x g x f ∈，)(x ρ为[]b a ,上的权函数，则积分 ()0)()()(,==⎰dx x x g x f g f b

a ρ称为)(x f 与)(x g 在[]

b a ,上的内积.

定义3：设)(x f n 为[]b a ,上的n 次多项式，若{} ,2,1,0,)(=n x f n 满足())(),(x f x f j i

⎩⎨

⎧=≠==⎰j

i A j

i dx x f x f x i j i b a

0)()()(ρ，则称{})(x f n 为[]b a ,上关于权函数)(x ρ的正交多项式系.

定理：[]b a ,上的正交多项式)(x f n 在()b a ,内有n 个不同的实零点. 二、Legendre 多项式 1、定义

()[]

[]1,11!21)(1)(20-∈⎪⎩

⎪⎨⎧-⋅==x x dx d n x P x P n n n n n

，称为Legendre 多项式.

2、性质 ①正交性

⎰-⎪⎩⎪

⎨⎧=+≠=1

1

1

22

0)()(m

n n m n dx x P x P m n

②奇偶性

)()1()(x P x P n n n -=-，即n 为奇（偶）数时，)(x P n 为奇（偶）函数. ③递推公式

)(1

)(112)(11x P n n x xP n n x P n n n -++-++=

三、Chebyshev 多项式 1、定义

()11,arccos cos )(≤≤-=x x n x T n 称为第一类Chebyshev 多项式. 若记x arccos =θ，即θcos =x ，则()θn x T n cos )(=. 2、性质

①{})(x T k 在[]1,1-上关于权

2

11x

-正交，即

⎰

-⎩⎨

⎧=≠≠=-1

1

200

11

)

()(m n A m n dx x x T x T m n 证：⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

≠===≠=⋅=--ππ

πθθθθ0

2110

2

00

cos cos arccos 11

)

()(n m n m n m d n m x dx x x T x T m n ②当n 为奇（偶）数时，)(x T n 为奇（偶）函数. 证：[][]x n n x n x T n arccos cos )arccos(cos )(-=-=-π

()()x n n x n n arccos sin sin arccos cos cos ππ+=)()1(x T n n -=

③递推关系⎩⎨⎧=-===-+

,2,1)

()(2)()(,1)(1110

n x T x xT x T x x T x T n n n

证：θθθθθsin sin cos cos )1cos(n n n -=+

θθθθθsin sin cos cos )1cos(n n n +=- θθθθ)1cos(cos cos 2)1cos(--=+n n n

即)()(2)(11x T x xT x T n n n -+-=

④)(x T n 是n 次多项式，其最高项系数为12-n . 证：由③易知)(x T n 为n 次多项式.