高等工程数学试题--2013-11-2工程硕士

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）

考试日期：2013年 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

（1）线性规划123123123131132min Z 24 .. 3256 226519 0, 0,x x x s t x x x x x x x x x x x R

=+-⎧⎪-+≥⎪⎪-+-≤-⎨⎪+=⎪≥≤∈⎪⎩ 的标准线性规划是 ；

（2）对方程()sin 0.60f x x x =--=，Newton 迭代公式 是 ；

（3）矩阵9636131131135A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

进行Cholesky 分解为 ； （4）如果311,152214Ax b A ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，矩阵F A = ， 利用Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的敛散性情况是 ；

（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ， ， ；

（6）设有线性回归模型11121223

12322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立，写出参数

12,ββ的最小二乘估计 。

（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法 。

（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。

二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：

试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。

三、（本题10分）利用迭代法求解非线性方程 ()ln(2)0f x x x =-+= 的负数根，取初值0 1.7x =-， 要求先进行收敛性分析，计算结果具有2位有效数字。

四、（本题14分）某厂生产A 、B 、C 三种产品，需要甲、乙两种原料，加工单位产品所需要原料及其他数据见下表。

（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划；

（2）利用单纯形法求解（要求计算过程和结果）；

（3）写出所建立的模型的对偶形式。

五、（本题12分）一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，一周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实)01.0(=α？

六、（本题10分）设有数值求积公式 3

012 3()(2)(0)(2)f x dx A f

A f A f -=-++⎰，试确定012,,A A A ，使

该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。

七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表

若考虑之间的交互作用，采用)2(8L 安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：

（1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，试寻找较好的生产条件。

八、（本题10分）设方程组为

123410201010121243301034x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ （1）对方程组利用杜利特尔（Doolittle ）分解方法求解；

（2）写出对应的雅可比(Jacobi)代格式的分量形式。