生活中的优化问题举例一.ppt
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圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应
怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面
研究汽油的使用效率单位 : L / km就是研究汽
油消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示
每千米平均的汽油消耗量,那么 G w ,其中,w s
表示汽油消耗量单位 : L,s表示汽车行驶的路 程单位 : km.这样,求"每千米路程的汽车消耗
量最少",就是求G的最小值问题. 解决" 优化问题"的途径之一是通过搜集大量的
思考 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切
去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做
成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子
的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为 xcm，则箱高 h 60 x cm，得箱 2
子容积V ( x) x2h 60x2 x3 (0 x 60)． 2
60-2x
x
60-2x
面同解法一，略）.
60
注:由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最 大值出现在极值点处．事实上，可导函数
V ( x) x2h 60 x2 x3 、V ( x) (60 2 x)2 x 在各自的定义 2
域中都只有一个极值点，从图象角度理解是单峰的，因而
这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 新疆 王新敞 奎屯
思考 2: 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应
怎样选取，才能使所用的材料最省？
分析: “所用材料最省”用什么量来刻划?
表面积 设半径为R,则高为h
h R
表面积写成R的函数,问题就转化求函数 的最值问题
思考 2: (课本习题 A 组第 3 题)
答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3
思考 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切
去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做
成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子
的容积最大？最大容积是多少？ 60-2x x
解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为 (60-2x)cm ， 则 得 箱 子 容 积60 60-2x V ( x) (60 2x)2 x (0 x 30) ．（后
将问题转化为汽油平均 5
消耗率 g(即每小时的汽
vkm/ h
油消耗量,单位 : L / h) 与 o
30 50 60 90 120
图1.4 1
汽车行驶的平均速度v 之间关系的问题,然后利用
图象中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.
如图1.4 1,函数 g f v 最小值的意义是什么?它是
v
v,g的直线的斜率. 继续观察图象,我们可以发现,
当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速 度约为90km / h.
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油 的使用效率最高,即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为90km / h . 从数 值上看,每千米的汽油消耗量就是图1.4
2中切线的斜率,即f ' 90,约为 L.
方法小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的
统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过
研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题
得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有
利的工具，其基本思路如以下流程图所示:
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题
思考 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角 切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)， 做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时， 箱底的容积最大？最大容积是多少？
否表示在此点处汽油的使用效率最高?
解
因为G W W / t .
gL / h
15
S S/t 这样,问题就转化为求g
的
10
斜率
g v
L
/
km
•
v
g
最小值.从图象上看, g 表示 5
v
什么?
o
30 50 60 90
图1.4v 2
源自文库
vkm/ h
120
从图1.4 2可以看出, g 表示经过原点与曲线上点
速度v的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题:
1是不是汽车的速度越快,汽油的消越量越大? 2"汽油的使用效率最高"的含义是什么?
现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们希望汽油 的使用效率最高,即每千米路程的汽油消耗量最少 或每升汽油能够使汽车行驶最长路程.这就需要考 虑 如 何 提 高 汽 油 的 使 用效 率, 使 汽 油 使 用 效 率 最 高.
30 50 60 90
图1.4 1
vkm/ h
120
行驶的平均速度v(单位 : km / h)之间有如图1.4 1
所示的函数关系g fv.
那么,我们如何根据这个图象中的数据信息,解决汽 油使用效率最高的问题呢 ?
从图象中我们不能直接 gL /h
解决汽油使用效率最高 15
问题.因此,我们首先需要 10
1.4 生活中的优化问题举例(1)
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题．通过前面的学习， 我们知道，导数是求函数最大（小） 值的强有力工具．这一节，我们利用 导数，解决一些生活中的优化问题．
例1：汽油的使用效率何时最高
我们知道,汽油的消耗量w 单位 : L与汽车的速度v 单位 : km / h之间有一定关系,汽油的消耗量w是汽车
统计数据,并对数据进行整理和分析,建立与其
相应的函数模型 ;再通过研究相应函数的性 质,
提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,
导数往往是一个有力的工具.
gL / h 通过大量的统计数据,并
15
对数据进行分析、研究,
人们发现， 汽车在行驶 10
过程中， 汽油平均消耗 5
率g(即每小时的汽油消 耗量,单位：L / h)与汽车 o
∴V ( x) 60x 3x2 (0 x 60)令V ( x) 60x 3x2 ＝0，
2
2
解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，
箱子容积很小，因此，16 000 是最大值 新疆 王新敞 奎屯
怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面
研究汽油的使用效率单位 : L / km就是研究汽
油消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示
每千米平均的汽油消耗量,那么 G w ,其中,w s
表示汽油消耗量单位 : L,s表示汽车行驶的路 程单位 : km.这样,求"每千米路程的汽车消耗
量最少",就是求G的最小值问题. 解决" 优化问题"的途径之一是通过搜集大量的
思考 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切
去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做
成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子
的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为 xcm，则箱高 h 60 x cm，得箱 2
子容积V ( x) x2h 60x2 x3 (0 x 60)． 2
60-2x
x
60-2x
面同解法一，略）.
60
注:由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最 大值出现在极值点处．事实上，可导函数
V ( x) x2h 60 x2 x3 、V ( x) (60 2 x)2 x 在各自的定义 2
域中都只有一个极值点，从图象角度理解是单峰的，因而
这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 新疆 王新敞 奎屯
思考 2: 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应
怎样选取，才能使所用的材料最省？
分析: “所用材料最省”用什么量来刻划?
表面积 设半径为R,则高为h
h R
表面积写成R的函数,问题就转化求函数 的最值问题
思考 2: (课本习题 A 组第 3 题)
答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3
思考 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切
去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做
成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子
的容积最大？最大容积是多少？ 60-2x x
解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为 (60-2x)cm ， 则 得 箱 子 容 积60 60-2x V ( x) (60 2x)2 x (0 x 30) ．（后
将问题转化为汽油平均 5
消耗率 g(即每小时的汽
vkm/ h
油消耗量,单位 : L / h) 与 o
30 50 60 90 120
图1.4 1
汽车行驶的平均速度v 之间关系的问题,然后利用
图象中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.
如图1.4 1,函数 g f v 最小值的意义是什么?它是
v
v,g的直线的斜率. 继续观察图象,我们可以发现,
当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速 度约为90km / h.
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油 的使用效率最高,即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为90km / h . 从数 值上看,每千米的汽油消耗量就是图1.4
2中切线的斜率,即f ' 90,约为 L.
方法小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的
统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过
研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题
得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有
利的工具，其基本思路如以下流程图所示:
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题
思考 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角 切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)， 做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时， 箱底的容积最大？最大容积是多少？
否表示在此点处汽油的使用效率最高?
解
因为G W W / t .
gL / h
15
S S/t 这样,问题就转化为求g
的
10
斜率
g v
L
/
km
•
v
g
最小值.从图象上看, g 表示 5
v
什么?
o
30 50 60 90
图1.4v 2
源自文库
vkm/ h
120
从图1.4 2可以看出, g 表示经过原点与曲线上点
速度v的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题:
1是不是汽车的速度越快,汽油的消越量越大? 2"汽油的使用效率最高"的含义是什么?
现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们希望汽油 的使用效率最高,即每千米路程的汽油消耗量最少 或每升汽油能够使汽车行驶最长路程.这就需要考 虑 如 何 提 高 汽 油 的 使 用效 率, 使 汽 油 使 用 效 率 最 高.
30 50 60 90
图1.4 1
vkm/ h
120
行驶的平均速度v(单位 : km / h)之间有如图1.4 1
所示的函数关系g fv.
那么,我们如何根据这个图象中的数据信息,解决汽 油使用效率最高的问题呢 ?
从图象中我们不能直接 gL /h
解决汽油使用效率最高 15
问题.因此,我们首先需要 10
1.4 生活中的优化问题举例(1)
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题．通过前面的学习， 我们知道，导数是求函数最大（小） 值的强有力工具．这一节，我们利用 导数，解决一些生活中的优化问题．
例1：汽油的使用效率何时最高
我们知道,汽油的消耗量w 单位 : L与汽车的速度v 单位 : km / h之间有一定关系,汽油的消耗量w是汽车
统计数据,并对数据进行整理和分析,建立与其
相应的函数模型 ;再通过研究相应函数的性 质,
提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,
导数往往是一个有力的工具.
gL / h 通过大量的统计数据,并
15
对数据进行分析、研究,
人们发现， 汽车在行驶 10
过程中， 汽油平均消耗 5
率g(即每小时的汽油消 耗量,单位：L / h)与汽车 o
∴V ( x) 60x 3x2 (0 x 60)令V ( x) 60x 3x2 ＝0，
2
2
解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，
箱子容积很小，因此，16 000 是最大值 新疆 王新敞 奎屯