空间向量运算的坐标表示PPT优秀课件
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空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
空间向量运算的坐标表示ppt课件
新知探究
1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
＋
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
＋＝_______________________
减法
－
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
－＝_______________________
数乘
λ
(λa1，λa2，λa3)
λ＝______________，λ∈R
数量积
·
a1b1＋a2b2＋a3b3
·＝________________
下面我们来证明空间向量的
的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k ,
b=b1i+b2 j+b3k
∴a ∙ b=（a1i+a2 j+a3k） ∙ （b1i+b2 j+b3k）
∵i∙i=j∙ j=k∙ k=1
i∙j=j∙ k=k∙ i=0
∴a∙b=a1b1+a2b2+a3b3
2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有
①b1，b2，b3≠0时，∥⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔
②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
【练习7 】点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________.
8.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，
G在棱CD上，且CG＝ CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.
空间向量运算的坐标表示优质课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例题解说
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D 1 F 1
C 1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.5空间向量运算的坐标
表达
温故知新
向量的直角坐标系
p 给定一种空间坐标系和向量 ,且设e1，e2，
e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一 的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz 中的坐标，记作p=(x,y,z).
讲授新知 向量的直角坐标运算
设 a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3) 则
a b (a1 b1, a2 b2,a3 b3);
a b (a1 b1, a2 b2, a3 b3);
a (a1,a2,a3)( R); x1 y1 z1
a b a1b1 a2b2 a3b3;
P98 第7、8、9、10题
X
例题解说
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例题解说
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D 1 F 1
C 1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.5空间向量运算的坐标
表达
温故知新
向量的直角坐标系
p 给定一种空间坐标系和向量 ,且设e1，e2，
e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一 的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz 中的坐标，记作p=(x,y,z).
讲授新知 向量的直角坐标运算
设 a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3) 则
a b (a1 b1, a2 b2,a3 b3);
a b (a1 b1, a2 b2, a3 b3);
a (a1,a2,a3)( R); x1 y1 z1
a b a1b1 a2b2 a3b3;
P98 第7、8、9、10题
X
例题解说
例3 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
深度探究
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
高中数学选择性必修一(人教版)《1.3.2空间向量运算的坐标表示》课件
对空间向量坐标运算的两点说明 (1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和 数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利 用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对
表示，即 a＝(x，y)．而在空间中则表示为 a＝(x，y，z)．
(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依 然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数．
∴―BA→1 ＝(1，－1,2), ―CB→1 ＝(0,1,2)，
∴―BA→1 ·―CB→1 ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|―BA→1 |＝ 6，|―CB→1 |＝ 5，
∴cos〈―BA→1 ，―CB→1 〉＝
―→ ―→ BA1 ·CB1 ―→ ―→
＝
30 10 .
| BA1 || CB1 |
[对点练清] 1．[变条件]将本例(2)中“若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直”改为
“若 ka＋b 与 a＋kb 互相平行”，其他条件不变，求 k 的值．
解：因为 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，
b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，
所以 ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)．
故
A1B
与
B1C
所成角的余弦值为
30 10 .
[方法技巧] 1．利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的 坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的 夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
表示，即 a＝(x，y)．而在空间中则表示为 a＝(x，y，z)．
(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依 然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数．
∴―BA→1 ＝(1，－1,2), ―CB→1 ＝(0,1,2)，
∴―BA→1 ·―CB→1 ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|―BA→1 |＝ 6，|―CB→1 |＝ 5，
∴cos〈―BA→1 ，―CB→1 〉＝
―→ ―→ BA1 ·CB1 ―→ ―→
＝
30 10 .
| BA1 || CB1 |
[对点练清] 1．[变条件]将本例(2)中“若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直”改为
“若 ka＋b 与 a＋kb 互相平行”，其他条件不变，求 k 的值．
解：因为 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，
b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，
所以 ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)．
故
A1B
与
B1C
所成角的余弦值为
30 10 .
[方法技巧] 1．利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的 坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的 夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
1.3空间向量及其运算的坐标表示 课件(共19张PPT)
巩固练习
练习2（课本P22上面练习T4、5）
17
课堂小结
一、空间向量的坐标运算法则
（1）加法：
（2）减法：
（3）数乘：
（4）数量积：
二、空间向量的坐标与其端点坐标的关系
三、空间向量的平行、垂直、模与夹角的坐标表示
18
1.3空间向量及其运算的坐标表示
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
.
(2)垂直(a⊥b):
a⊥b⇔a·b=0⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
.(a,b 均为非零向量)
(3)模:|a|= ·= 12 + 22 + 32
.
(4)夹角公式:
·
=
||||
cos<a,b>=
1 1 + 2 2 + 3 3
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
第一章 空间向量与立体几何
1.3空间向量及其运算的坐标表示
教师：XXX
1
1.3.1空间直角坐标系
新知讲授
空间直角坐标系
3
在空间选定一点O和一个单位正交基底 {i, j, k} ，以O为原点，分
别以 i, j , k 的方向为正方向，以他们的长为单位长度建立三条数轴：
x轴，y轴，z轴,它们都叫做坐标轴.
D1 B1 中点，求证： EF DA1
15
16
例题讲解
例 3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1
中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱 A1B1,C1D1上，
B1E1= A1B1，D1F1= C1D1.
空间向量运算的坐标表示空间向量平行线和垂直的条件课件
－3b＝( )
A．(6，3，－7) B．(－2，－1，－1) C．(2，1，－5) D．(14，7，－11)
2．若 a＝(2，3，－1) ，b＝(2，0，3) ，c＝(0，2，2) ，则 a·(b＋c) 的
值为( )
A．(4，6，－5) B．5
C．7
D．36
3．若向量 a，b 的坐标满足 a＋b＝(－2，－1，2) ，a－b＝(4，－3，－2) ，
所以（ （－ －xx， ，1－－yy，，2－ －zz） ）＝ ＝mn（ （－ －11， ，01， ，20） ）， ，
x＝－1， 解得y＝1， 即 D(－1，1，2).
z＝2，
(2)依题意，得A→B ＝(－1，1，0)，A→C ＝(－1，0，2)，B→C ＝(0，－1，2).假设
存在实数α，β，使得A→C ＝αA→B ＋βB→C 成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，
空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时 空间向量运算的坐标表示、空 间向量平行(共线)和垂直的条件
必备知识·自主学习
1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝_(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)_， ②a－b＝_(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)_， ③λa＝_(_λ__a_1_，__λ__a_2，__λ__a_3_)_， ④a·b＝_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_．
关键能力·合作学习 类型一 用坐标表示空间向量(直观想象)
【典例】(1)已知点 A 在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中 a＝i＋j，b＝j ＋k，c＝k＋i，则点 A 在基{i，j，k}下的坐标是( ) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) (2)在棱长为 1 的正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F，G 分别为棱 DD′，D′C ′，BC 的中点，以{A→B ，A→D ， AA' }为基，求向量A→E ，A→G ，A→F 的坐标．
A．(6，3，－7) B．(－2，－1，－1) C．(2，1，－5) D．(14，7，－11)
2．若 a＝(2，3，－1) ，b＝(2，0，3) ，c＝(0，2，2) ，则 a·(b＋c) 的
值为( )
A．(4，6，－5) B．5
C．7
D．36
3．若向量 a，b 的坐标满足 a＋b＝(－2，－1，2) ，a－b＝(4，－3，－2) ，
所以（ （－ －xx， ，1－－yy，，2－ －zz） ）＝ ＝mn（ （－ －11， ，01， ，20） ）， ，
x＝－1， 解得y＝1， 即 D(－1，1，2).
z＝2，
(2)依题意，得A→B ＝(－1，1，0)，A→C ＝(－1，0，2)，B→C ＝(0，－1，2).假设
存在实数α，β，使得A→C ＝αA→B ＋βB→C 成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，
空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时 空间向量运算的坐标表示、空 间向量平行(共线)和垂直的条件
必备知识·自主学习
1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝_(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)_， ②a－b＝_(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)_， ③λa＝_(_λ__a_1_，__λ__a_2，__λ__a_3_)_， ④a·b＝_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_．
关键能力·合作学习 类型一 用坐标表示空间向量(直观想象)
【典例】(1)已知点 A 在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中 a＝i＋j，b＝j ＋k，c＝k＋i，则点 A 在基{i，j，k}下的坐标是( ) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) (2)在棱长为 1 的正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F，G 分别为棱 DD′，D′C ′，BC 的中点，以{A→B ，A→D ， AA' }为基，求向量A→E ，A→G ，A→F 的坐标．
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aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
|A B |A BA B(x 2x 1)2 (y2y 1)2 (z2 z1 )2
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
cosa,b ab
a1b1a2b2a3b3
;
|a||b| a12a22a32 b12b22b32
D(0,0,0) , F10,14，1.
B
B E 1 1,3 4,1 (1,1,0 ) 0,1 4,1 ,
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
D
O
A
x
C
y
|BE1|
1 47,|DF1|
三、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A
（1）线段 A B 的中点坐标和长度； 解：设 M(x, y, z)是 A B 的中点，则
M
B
O M 1 2 ( O A O B ) 1 2 ( 3 ,3 ,1 ) 1 ,0 ,5 2 ,2 3 ,3 ,O
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
作业
P107：1
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
一、向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则 a b (a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
a b (a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a 3),( R );
17. 4 15
B
cosBE1,DF1|BB EE 11|D |D FF 11|
16 15. 17 17 17
44
练习二：
正方A 体1B1C1D1－ABC， DE、F分别C是 1C
D1A1的中点 1)求，AB,EF
2)求点 A到直E线F的距离。D 1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
|a |2 a a a 1 2 a 2 2 a 3 2
|b |2 b b b 1 2 b 2 2 b 3 2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 ,z2)，则 A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z1 )
∴点 M
的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
d A ,B (1 3 )2 (0 3 )2 (5 1 )22 9 .
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解：点P(x , y , z)到 A 、 B 的距离相等，则
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
Байду номын сангаас
C1
1)求BN的长；
A1
B1
M
2)求cos BA1, CB1 的值； N
3)求证：A1B C1M。
C
A
B
思考题：
已A 知 （ 0,2,3)、 B （ 2,1,6)C ,(1,1,5)用 , 向 方法 A求 B 的 C面 S。积
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1,0) , E11,34,1,
D
O
A
x
Cy
( x 3 ) 2 ( y 3 ) 2 ( z 1 ) 2 ( x 1 ) 2 ( y 0 ) 2 ( z 5 ) 2 ,
化简整理，得 4x6y8z70 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满 足的条件是 4x6y8z70
注意：
（1）当 cosa,b1时，a 与 b 同向； （2）当 cosa,b1时，a 与 b 反向；
（3）当cosa,b0时，a b 。
思考：当 0co sa,b 1 及 1 c o s a ,b 0 时，
的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1 )a (2 , 3 , 3 ), b (1 ,0 ,0 ); ( 2 ) a ( 1 , 1 ,1 ),b ( 1 ,0 ,1 );
2.求下列两点间的距离：
(1 )A (1 ,1 ,0 ), B (1 ,1 ,1 );
( 2 )C ( 3 ,1 ,5 ),D ( 0 , 2 ,3 ).
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
|A B |A BA B(x 2x 1)2 (y2y 1)2 (z2 z1 )2
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
cosa,b ab
a1b1a2b2a3b3
;
|a||b| a12a22a32 b12b22b32
D(0,0,0) , F10,14，1.
B
B E 1 1,3 4,1 (1,1,0 ) 0,1 4,1 ,
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
D
O
A
x
C
y
|BE1|
1 47,|DF1|
三、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A
（1）线段 A B 的中点坐标和长度； 解：设 M(x, y, z)是 A B 的中点，则
M
B
O M 1 2 ( O A O B ) 1 2 ( 3 ,3 ,1 ) 1 ,0 ,5 2 ,2 3 ,3 ,O
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
作业
P107：1
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
一、向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则 a b (a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
a b (a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a 3),( R );
17. 4 15
B
cosBE1,DF1|BB EE 11|D |D FF 11|
16 15. 17 17 17
44
练习二：
正方A 体1B1C1D1－ABC， DE、F分别C是 1C
D1A1的中点 1)求，AB,EF
2)求点 A到直E线F的距离。D 1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
|a |2 a a a 1 2 a 2 2 a 3 2
|b |2 b b b 1 2 b 2 2 b 3 2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 ,z2)，则 A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z1 )
∴点 M
的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
d A ,B (1 3 )2 (0 3 )2 (5 1 )22 9 .
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解：点P(x , y , z)到 A 、 B 的距离相等，则
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
Байду номын сангаас
C1
1)求BN的长；
A1
B1
M
2)求cos BA1, CB1 的值； N
3)求证：A1B C1M。
C
A
B
思考题：
已A 知 （ 0,2,3)、 B （ 2,1,6)C ,(1,1,5)用 , 向 方法 A求 B 的 C面 S。积
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1,0) , E11,34,1,
D
O
A
x
Cy
( x 3 ) 2 ( y 3 ) 2 ( z 1 ) 2 ( x 1 ) 2 ( y 0 ) 2 ( z 5 ) 2 ,
化简整理，得 4x6y8z70 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满 足的条件是 4x6y8z70
注意：
（1）当 cosa,b1时，a 与 b 同向； （2）当 cosa,b1时，a 与 b 反向；
（3）当cosa,b0时，a b 。
思考：当 0co sa,b 1 及 1 c o s a ,b 0 时，
的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1 )a (2 , 3 , 3 ), b (1 ,0 ,0 ); ( 2 ) a ( 1 , 1 ,1 ),b ( 1 ,0 ,1 );
2.求下列两点间的距离：
(1 )A (1 ,1 ,0 ), B (1 ,1 ,1 );
( 2 )C ( 3 ,1 ,5 ),D ( 0 , 2 ,3 ).