空间向量运算的坐标表示PPT优秀课件
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|A B |A BA B(x 2x 1)2 (y2y 1)2 (z2 z1 )2
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
cosa,b ab
a1b1a2b2a3b3
;
|a||b| a12a22a32 b12b22b32
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1,0) , E11,34,1,
D
O
A
x
Cy
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
C1
1)求BN的长；
A1
B1
M
2)求cos BA1, CB1 的值； N
3)求证：A1B C1M。
C
A
B
思考题：
已A 知 （ 0,2,3)、 B （ 2,1,6)C ,(1,1,5)用 , 向 方法 A求 B 的 C面 S。积
aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
17. 4 15
B
cosBE1,DF1|BB EE 11|D |D FF 11|
16 15. 17 17 17
44
练习二：
正方A 体1B1C1D1－ABC， DE、F分别C是 1C
D1A1的中点 1)求，AB,EF
2)求点 A到直E线F的距离。D 1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
|a |2 a a a 1 2 a 2 2 a 3 2
|b |2 b b b 1 2 b 2 2 b 3 2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 ,z2)，则 A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z1 )
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
D
O
A
x
C
y
|BE1|
1 47,|DF1|
注意：
Hale Waihona Puke Baidu
（1）当 cosa,b1时，a 与 b 同向； （2）当 cosa,b1时，a 与 b 反向；
（3）当cosa,b0时，a b 。
思考：当 0co sa,b 1 及 1 c o s a ,b 0 时，
的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
( x 3 ) 2 ( y 3 ) 2 ( z 1 ) 2 ( x 1 ) 2 ( y 0 ) 2 ( z 5 ) 2 ,
化简整理，得 4x6y8z70 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满 足的条件是 4x6y8z70
D(0,0,0) , F10,14，1.
B
B E 1 1,3 4,1 (1,1,0 ) 0,1 4,1 ,
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
作业
P107：1
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
一、向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则 a b (a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
a b (a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a 3),( R );
∴点 M
的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
d A ,B (1 3 )2 (0 3 )2 (5 1 )22 9 .
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解：点P(x , y , z)到 A 、 B 的距离相等，则
三、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A
（1）线段 A B 的中点坐标和长度； 解：设 M(x, y, z)是 A B 的中点，则
M
B
O M 1 2 ( O A O B ) 1 2 ( 3 ,3 ,1 ) 1 ,0 ,5 2 ,2 3 ,3 ,O
(1 )a (2 , 3 , 3 ), b (1 ,0 ,0 ); ( 2 ) a ( 1 , 1 ,1 ),b ( 1 ,0 ,1 );
2.求下列两点间的距离：
(1 )A (1 ,1 ,0 ), B (1 ,1 ,1 );
( 2 )C ( 3 ,1 ,5 ),D ( 0 , 2 ,3 ).
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
cosa,b ab
a1b1a2b2a3b3
;
|a||b| a12a22a32 b12b22b32
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1,0) , E11,34,1,
D
O
A
x
Cy
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
C1
1)求BN的长；
A1
B1
M
2)求cos BA1, CB1 的值； N
3)求证：A1B C1M。
C
A
B
思考题：
已A 知 （ 0,2,3)、 B （ 2,1,6)C ,(1,1,5)用 , 向 方法 A求 B 的 C面 S。积
aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
17. 4 15
B
cosBE1,DF1|BB EE 11|D |D FF 11|
16 15. 17 17 17
44
练习二：
正方A 体1B1C1D1－ABC， DE、F分别C是 1C
D1A1的中点 1)求，AB,EF
2)求点 A到直E线F的距离。D 1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
|a |2 a a a 1 2 a 2 2 a 3 2
|b |2 b b b 1 2 b 2 2 b 3 2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 ,z2)，则 A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z1 )
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
D
O
A
x
C
y
|BE1|
1 47,|DF1|
注意：
Hale Waihona Puke Baidu
（1）当 cosa,b1时，a 与 b 同向； （2）当 cosa,b1时，a 与 b 反向；
（3）当cosa,b0时，a b 。
思考：当 0co sa,b 1 及 1 c o s a ,b 0 时，
的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
( x 3 ) 2 ( y 3 ) 2 ( z 1 ) 2 ( x 1 ) 2 ( y 0 ) 2 ( z 5 ) 2 ,
化简整理，得 4x6y8z70 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满 足的条件是 4x6y8z70
D(0,0,0) , F10,14，1.
B
B E 1 1,3 4,1 (1,1,0 ) 0,1 4,1 ,
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求
B
E1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
作业
P107：1
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
一、向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则 a b (a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
a b (a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a 3),( R );
∴点 M
的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
d A ,B (1 3 )2 (0 3 )2 (5 1 )22 9 .
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解：点P(x , y , z)到 A 、 B 的距离相等，则
三、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A
（1）线段 A B 的中点坐标和长度； 解：设 M(x, y, z)是 A B 的中点，则
M
B
O M 1 2 ( O A O B ) 1 2 ( 3 ,3 ,1 ) 1 ,0 ,5 2 ,2 3 ,3 ,O
(1 )a (2 , 3 , 3 ), b (1 ,0 ,0 ); ( 2 ) a ( 1 , 1 ,1 ),b ( 1 ,0 ,1 );
2.求下列两点间的距离：
(1 )A (1 ,1 ,0 ), B (1 ,1 ,1 );
( 2 )C ( 3 ,1 ,5 ),D ( 0 , 2 ,3 ).