1-4 几种典型信号的频谱 02_1
CH1 信号及其表述

n1
得
x(t)
a0
n1
[
1 2
(an
jbn )e jn0t
1 2
Random Signal)
析试限工
1
第1章 信号及其描述
1.0 序(Introduction)
信号(signal):随时间或空间变化的物理量。 信号是信息的载体,信息是信号的内容。 依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传输 电信号易于变换、处理和传输,非电信号 电信号。
信号分析与处理(signal analysis and processing) 不考虑信号的具体物理性质,将其抽象为变量之间的函数关 系,从数学上加以分析研究,从中得出具有普遍意义的结论。
信号的描述(9/53)
目录 上页 下页 返退回出 29
第1章 信号及其描述 课堂习题
信号的描述(10/53)
• 求题图1-1周期三角波的频谱,并作频谱图。
x(t)
T 0T
2
2
x(t) AA2T2AAt t T
t
T t0 2
0tT 2
目录 上页 下页 返退回出 30
第1章 信号及其描述 答案
目录 上页 下页 返退回出 15
第1章 信号及其描述 思 考?
信号的分类(9/13)
某钢厂减速机上测得的振动信号波形(测点3)如图所示, 其基本波形属于何种信号?
近似的看作为周期信号
目录 上页 下页 返退回出 16
第1章 信号及其描述 (2)非确定性信号(随机信号)
信号的分类(10/13)
• 无法用明确的数学关系式表达 。其幅值、相位变化是不 可预知的,所描述的物理现象是一种随机过程。如分子热 运动,环境的噪声等,分为平稳随机信号和非平稳随机信 号。
机械工程测试技术基础1-2

A( )
2 1
M
M
0
0
(五)卷积特性
两个函数x1(t)与x2(t)的卷积定义为:
x1
(
)
x
2
(t
)d
记作:
x1 (t) * x2 (t)
若: x1(t) X1( f ) 则:x1(t) * x2 (t) X1( f ) X 2 ( f )
x2 (t) X 2 ( f )
δ(t)的图示可用一长度为一个单位的线段来表示,线段位于 原点,表示当时间t0=0有一冲击。若线段位于 t=t0点,则 可定义δ函数的延迟为:
(t
t0
)
0 1
t t0 t t0 ,积分值仍为1。
(2) 函数的采样性质:如果 函数与某一连续函数f(t)相 乘,显然其乘积仅在t=0处为f(0) (t),其余各点(t 0) 之乘积均为零。如果函数与某一连续函数f(t)相乘,并在
)dt
f (t0 )
由于经过此种处理,可将f(t)在任何时刻的值提取出来,所 以称其为筛选性质,或抽样性质。当对信号进行采样时,采 样的过程及采样后信号即可利用此种性质来进行描述.
(3) 函数的与其他函数的卷积:任何函数和函数 (t)的卷
积是一种最简单的卷积积分。例如,一个矩形函数x(t)与 函数
从面积(通常也称其为 函数的强度)的角度来看:
lim (t)dt
0
S (t)dt 1
(t)
0
t0 t 0
且
+
(t)dt 1
---称之为δ函数。
贾民平主编 测试技术_第二版 第一章1-4

( t t 0 ) e j 2 f t j 2 f t ( f f ) 0 e
0
各频率成分移相
( f ) 平移到f0
1.3 几种典型信号的频谱
华中科技大学机械学院
机械工程测试技术
3. 谐波函数的频谱
由于正、余弦函数不满足绝对可积条件,故不能 直接利用定义式进行傅氏变换,需要引入 函数。
x (t ) (t )dt x (0),
x (t ) (t t 0 )dt x (t0 )
(3) 卷积性
x( t )* ( t ) x( ) ( t )d x( t )
x( t )* ( t t0 ) x( ) ( t t0 )d x( t t0 )
函数是一个理想函数,是物理不可实现信号。
1.3 几种典型信号的频谱
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机械工程测试技术
(2) 函数特性(采样性质) ①乘积性
x ( t ) ( t ) x (0) ( t ),
②积分性
x ( t ) ( t t 0 ) x ( t 0 ) ( t t 0 )
k
k 0, 1, 2,
1 Ts
e
k ej2 kf s t
k
ck e j2 kf s t
fs 1 Ts
-j2 kf s t
j2 kf s t
1 ck Ts ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
精密测试技术课程讲义(1~2章)

“精密测试技术”课程主要内容典型测试系统的组成一、信号分析基础理论1. 傅立叶变换、FFT频谱分析2. 相关分析、功率谱分析3. 采样及采样定理4. 数字信号处理步骤二、测试系统的基本特性1.传递函数2.静态特性3.动态特性三、传感器1. 电阻应变式传感器2. 电感式传感器3. 电容式传感器4. 压电式传感器5. 光电式传感器6. 热电式传感器7. 霍尔式传感器四、信号处理电路及接口技术1. 电桥电路2. 模拟信号的放大3. D/A及A/D4. 数据通讯技术5. 几种总线接口五、数据处理方法1. 简单的数字滤波2. 非线性补偿及误差修正(插值)六、虚拟仪器技术参考书籍《测试技术》贾民平等高等教育出版社成绩:闭卷考试90%+大作业10% (加分措施)大作业:智能传感器及应用虚拟仪器新的测试技术智能结构第一章. 信号分析、处理基础理论1. 信号分类● 按数学关系可以分为:确定信号和非确定性信号周期信号:()()T n t x t x 0+=002/1/T f πω== , 22/f T ωππ==非周期信号:()()t f t x=● 按取值特征分为:连续信号和离散信号信号离散信号 一般离散信号:独立变量都离散数字信号:幅值和独立变量都离散● 按能量功率分:能量信号和功率信号R=1,()R t x t P /)(2=()dt t x ⎰+∞∞-2<∞信号的能量有限,称能量有限信号,简称能量信号。
若在()+∞∞-,的能量无限,但在有限区间()2/,2/T T -内满足平均功率有限的条件:()∞<-⎰-dt t T T Tx 2/2/21则称为功率信号,如各种周期信号● 按信号的处理分析不同分为:时域信号:以时间为独立变量来描述的信号 频域信号:以频率为独立变量来描述的信号2. 信号分析处理的目的获取信号频谱特性 (1) 幅频特性:()A ωω- (2) 相频特性:()θωω-3. 周期信号与傅立叶级数 (1) 周期信号定义()()0x t x t n T =+(2) 周期信号的傅立叶级数 (基频、谐波)对于满足狄里赫利条件的周期信号,均可展开成:()0001(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞==++∑ (1.5)式中常值分量0a ,余弦分量幅值n a ,正弦分量幅值n b 分别为()()()000000/20/20/20/20/20/2012cos 2sin T T T n T T n T a x t dtT a x t n tdt T b x t n tdt T ωω---⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭⎰⎰⎰ (1.6)上述展开式也可合并成如下式子:1()sin()nnn x t n t A A ωθ∞==++∑其中:ω――信号的基频n ω 为 n 次谐波各谐波分量的幅值 :n A = (1.8)各谐波分量的初相角: a r c t a n n n n a b φ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1.9)(3) 举例、周期信号频谱特点以方波信号为例:方波信号时域波形/频域波形001()sin()n nn x t n t A Aωθ∞==++∑=2001020233sin()sin(2)sin(3)....t t A t ωφωφωφA +A ++A ++++()00/20/210T T a x t dt T -==⎰00/2/2()002cos 0T n T t a x n tdt T ω-=⎰=00/2/2()002sin T n T t b x n tdt T ω-=⎰=00/20/200002[()sin sin ]T T A n tdt A n tdt T ωω--⎰-+⎰ =00/2000/20000cos cos 2[||]T T n t n t A T n n ωωωω---+40{An π= 1,3,52,4,6n n ==()000411(sin sin 3sin 5....)35t A x t t t ωωωπ=+++周期信号频谱特点:● 离散;● 有效频谱只出现在基波的整数倍上; ● 谐波n 次数越大,n A 越小。
信号的频谱

9.1信号的频谱要求:重点掌握频谱分析的基本内容、频谱分析仪的分类方法和分类;了解各种信号的付氏变换及信号频谱的特性。
9.1.1信号分析和信号频谱的概念1)信号的定义及种类信号一般可表示为一个或多个变量的函数。
根据信号随时间变化的特点可分为:A.确定信号与随机信号B.连续时间信号与离散时间信号C.周期信号与非周期信号除了上述信号种类之外,还有很多分类方法,如奇信号、偶信号,调制信号、载波信号,能量有限信号、功率有限信号等。
2)频谱分析的基本概念广义上,信号频谱是指组成信号的全部频率分量的总集,频谱测量就是在频域内测量信号的各频率分量,以获得信号的多种参数。
狭义上,在一般的频谱测量中常将随频率变化的幅度谱称为频谱。
频谱测量的基础是付里叶变换,它以复指数函数t j e 为基本信号来构造其他各种信号,其实部和虚部分别是正弦函数和余弦函数。
任意一个时域信号都可以被分解为一系列不同频率、不同相位、不同幅度的正弦波的组合。
在已知信号幅度谱的条件下,可以通过计算获得频域内的其他参量。
对信号进行频域分析就是通过研究频谱来研究信号本身的特性。
从图形来看,信号的频谱有两种基本类型:①离散频谱,又称线状谱线;②连续频谱。
实际的信号频谱往往是上述两种频谱的混合。
9.1.2周期信号的频谱1)周期信号的付氏变换大多数周期信号都可以用正弦和余弦级数展开表示。
付氏级数明确地表现了信号的频域特性。
周期信号的付氏变换或频谱密度由无穷多个冲激函数组成,位于谐波频率nω0处冲激函数的强度是第n个付氏级数系数的2π倍。
2)周期信号的频谱特性●离散性:频谱是离散的,由无穷多个冲激函数组成;●谐波性:谱线只在基波频率的整数倍上出现,谱线代表的是基波及其高次谐波分量的幅度或相位信息;●收敛性:各次谐波的幅度随着谐波次数的增大而逐渐减小。
3)脉冲宽度和频带宽度脉冲宽度是时域中的概念,指在一个周期内脉冲波形的两个零点之间的时间间隔;频带宽度或带宽是频域概念,通常规定在周期信号频谱中,从零频率到需要考虑的最高次谐波频率之间的频段即为该信号的有效占有带宽,亦称频带宽度。
信号及其分类

为什么要对信号进行频域描述?
信号的时域与频域描述是否包含同样的信息量?
1.时域描述:以时间为独立变量 ,反映信号
幅值—时间变化的关系
不能提示信号的频率组成
2.频域描述:信号的频率组成及其幅值相角之
大小
揭示:幅值——频率, 相位——频率
幅频谱
相频谱
例:周期方波
x(t) x(t nT0 )
x(t) A 0 t T0
2 T0
x(t)
sin
nw0tdt
2
n=1,2,3…..
w0
2
T0
合并同类项: x(t) a0 An sin(nw0t n )
An
a
2 n
bn2
n1
tg n
an bn
即:
n
arctg
an bn
也可写成: x(t) a0 An cos(nw0t n ) n1
T0
T0 t 0 2
x(t) A 2A t T0
o t T0 2
解:a0
1 T0
T0
2
2 T0
2
x(t)dt
T0
T0
2A
A
2 (A t)dt
0
T0
2
an
2 T0
T0
2 T0 2
x(t) cosnw0tdt
4 T0
T0 2 0
(
A
2 At ) T0
例1-2:画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图
解:
cosw0t
第三节瞬变非周期信号与连续频谱

从函数值极限的角度看:
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积(通常也称其为δ函数的强度)的角度看:
(t )dt lim S (t )dt 1
0
(2)δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数,即:
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
(3)δ函数的频谱
将δ(t)进行傅立叶变换:
( ) (t )e
jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为:
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中:
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件,因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数, 根据欧拉公式可知:
其中:
幅度频谱为:
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为:
( ) arctg
a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)
2
ω
2
例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解: 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为:
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w(t)的频谱为:
W ( ) w(t )e jwt dt
《机械工程测试技术基础》知识点总结

《机械工程测试技术基础》知识点总结1. 测试是测量与试验的概括,是人们借助于一定的装置,获取被测对象有相关信息的过程。
测试工作的目的是为了最大限度地不失真获取关于被测对象的有用信息。
分为:静态测试,被测量(参数)不随时间变化或随时间缓慢变化。
动态测试,被测量(参数)随时间(快速)变化。
2. 基本的测试系统由传感器、信号调理装置、显示记录装置三部分组成。
传感器:感受被测量的变化并将其转换成为某种易于处理的形式,通常为电量(电压、电流、电荷)或电参数(电阻、电感、电容)。
信号调理装置:对传感器的输出做进一步处理(转换、放大、调制与解调、滤波、非线性校正等),以便于显示、记录、分析与处理等。
显示记录装置对传感器获取并经过各种调理后的测试信号进行显示、记录、存储,某些显示记录装置还可对信号进行分析、处理、数据通讯等。
3. 测试技术的主要应用:1. 产品的质量检测2.作为闭环测控系统的核心3. 过程与设备的工况监测4. 工程实验分析。
4. 测试技术是信息技术的重要组成部分,它所研究的内容是信息的提取与处理的理论、方法和技术。
现代科学技术的三大支柱:能源技术材料技术信息技术。
信息技术的三个方面:计算机技术、传感技术、通信技术。
5. 测试技术的发展趋势:(1) 1. 传感技术的迅速发展智能化、可移动化、微型化、集成化、多样化。
(2)测试电路设计与制造技术的改进(3)计算机辅助测试技术应用的普及(4)极端条件下测试技术的研究。
6. 信息:既不是物质也不具有能量,存在于某种形式的载体上。
事物运动状态和运动方式的反映。
信号:通常是物理、可测的(如电信号、光信号等),通过对信号进行测试、分析,可从信号中提取出有用的信息。
信息的载体。
噪声:由测试装置本身内部产生的无用部分称为噪声,信号中除有用信息之外的部分。
(1)信息和干扰是相对的。
(2)同一信号可以反映不同的信息,同一信息可以通过不同的信号来承载。
7.测试工作的实质(目的任务):通过传感器获取与被测参量相对应的测试信号,利用信号调理装置以及计算机分析处理技术,最大限度地排除信号中的各种干扰、噪声,最终不失真地获得关于被测对象的有关信息。
1信号分析

(2)利用傅立叶积分,计算其频谱。 其频谱为
利用欧拉公式,代入上式后
这里定义森克函数sinc(x)=sin(x)/x,该函数是以 为周期,并随x增加而衰减的振荡,函数在x= (n=±1,±2,±3……)幅值为零,如图所示
例4:求下图波形的频谱 :
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
几种典型信号 信号的频谱 几种典型信号的频谱
6、方差
信号x(t)的方差定义为: 的方差定义为: 信号 的方差定义为
σ
2
x
= E [( x (t ) − E [ x (t )]) ] = lim
2
T 1 T 0 T →∞
∫
( x (t ) − µ x ) 2 dt
大方差
小方差
方差:反映了信号绕均值的波动程度。 方差:反映了信号绕均值的波动程度。
2) 互相关函数的概念和性质 互相关函数的概念和性质
对于各态历经随机过程,两个随机信号x(t)和y(t) 的互相关函数Rxy(t)定义为:
互相关函数的性质 1)互相关函数是可正、可负的实函数。 x(t)和y(t)均为实函数,Rxy(τ)也应当为实函数。在 t=0时,由于x(t)和y(t)值可正 、可负,故Rxy(τ)的 值也应当可正 、可负。 2)互相关函数非偶函数、亦非奇函数,而是 Rxy(τ)=Rxy(-τ)。 3)Rxy(τ)的峰值不在τ=0 处,其峰值偏离原点的 位置τ0 反映了两信号时移的大小,相关程度,如图 所示。
利用相关测速的原理,在汽车前后轴上放置传 感器,可以测量汽车在冰面上行驶时,车轮滑 动加滚动的车速;在船体底部前后一定距离, 安装 两套向水底发射、接受声纳的装置,可以 测量航船的速度;在高炉输送煤粉的管道中, 在相距一定距离安装两套电容式相关测速装置, 可以测量煤粉的流动速度和单位时间内的输煤 量。
现代通信原理(02信息1)

现代通信原理(02信息1)
•理想低通滤波器的传递函数和冲击响应
PPT文档演模板
现代通信原理(02信息1)
•3.系统带宽:
• 指一个系统的幅频特性| H(ω )|保持在
给定数值范围内的那段正频率区间。
• LPF: B=fm •
• 要能完整地传送一个信号,信号带宽必须 要小于系统带宽。
PPT文档演模板
v 自相关函数:反映一个信号与其延迟后的信 号间相关的程度。
v 互相关函数:反映了一个信号和延迟后的另 一个信号间相关的程度。
v 通常用相关函数衡量波形之间的关联和相似 程度。
v 自相关函数与谱密度之间有何关系?傅里叶 变换
PPT文档演模板
现代通信原理(02信息1)
•例:周期信号f(t)的自相关函数
PPT文档演模板
现代通信原理(02信息1)
•⑶信号的自相关函数在原点的值等于信号的能量/功率。
•能量信号的自相关函数等于信号的能量 •功率信号的自相关函数等于信号的平均功率
•⑷自相关函数的最大值出现在原点,即 R(τ) ≤R(0)
PPT文档演模板
现代通信原理(02信息1)
v 确知信号的时域特性:
PPT文档演模散信源和连续信源的统计描述; v (2)离散信源的信息量、条件信息量、互信息
量和平均信息量(熵)的定义和物理意义; v (3) 连续信源的平均信息量、平均互信息量的
定义和物理意义; v (4) 信息量的单位——比特,比特率与波特率
的区别; v (5) 有扰信道的信息传输过程;
v 为了减小系统失真,要求系统有足够的带宽,而 且信号带宽越宽,系统的带宽相应地也要越宽。
PPT文档演模板
现代通信原理(02信息1)
3 非周期信号讲解

j 2ft0
x( S )e j 2fs dS e j 2ft0 x( f )
所以就有
② 由于时间位移而引起了相角Φ (f)的变化,即:
第一章 信号及其描述
没有时移时:xcosωt
时移450
时移900
时移1800
分析:
时移时,并不改变富氏变换频域的幅值大小.
第一章 信号及其描述
第一章 信号及其描述`
函数 x(t) 与 x(ω) 称为富氏变换偶对
㈣ 非周期信号的频谱
① 频谱函数-----富氏变换将一个时域函数变换为频域的函数,故
称 x(ω)为 x(t)频谱函数。
② 幅频谱(特性) -----频谱函数的模│x(ω)│称为幅频谱 (简称频谱)。
③ 相频谱(特性)
第一章 信号及其描述
可改写为 代入w(f)式
1 ( e jt e jt ) 2 1 sin( fT ) ( e jfT e jfT ) 2j sin t j
w( f ) T sin fT T sin c( fT ) (T为窗宽) fT
第一章 信号及其描述
频谱图
特点 ① 该函数是偶函数,在nπ 为(n=±1,±2…)处其值为“0”且只有实 部。 幅值 相位 视其符号而定: A)当 sinc(πf T)为正值时相角为“ 0 ” B)当 sinc(πf T)为负值时相角为“π”
周期信号中,相邻频率间隔为:
信号了。
第一章 信号及其描述
x(t )
( 0 2
1 ( 2
x(t )e jn 0t dt )e jn 0t
因为 1/T=ω0/2π当 T→∞,ω0=△ω→dω,nω0→ω
2.3 瞬变非周期信号与连续频谱

f(t)
f (t ) (t )dt f (0),
δ (t)
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
f(0)
δ (t-t0)
f(t0)
t t
三 几种典型信号的频谱
佳木斯大学机械工程学院
3) 卷积特性
x(t ) (t ) x(t ) x(t ) (t t0 ) x(t t0 )
证:
x(t ) (t ) x( ) (t )d x( ) ( t )d x(t )
x(t ) (t t0 ) x( ) (t t0 )d x( ) [ (t t0 )]d x(t t0 )
2.3 瞬变非周期信号与连续频谱 幅频
佳木斯大学机械工程学院
x ( )
1 a2 2
相频
( ) arctan
X(ω )
1/a
a
φ (ω ) π /2 ω
0 0 ω -π /2
幅频图
相频图
2.3 瞬变非周期信号与连续频谱
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二 傅立叶变换的性质
1.奇偶虚实性
三几种典型信号的频谱???????????????dd?dd????txt?????00ttxtttx???函数xt和函数卷积的结果就是xt图形搬迁以发生函数的位置作为新坐标原点的重新构图?????????txtxtxttx??????????????????????0000ttxd?ttxd?ttxtttx??佳木斯大学机械工程学院三几种典型信号的频谱佳木斯大学机械工程学院对t取傅里叶变换???et?函数的频谱????????102edtfftj?三几种典型信号的频谱???dfetftj?2?1利用对称时移频移性质还可以得到以下傅里叶变换对t11f时域频域ff0tt002ft?je?tfje02?佳木斯大学机械工程学院t11
机械工程测试技术基础 _第三版_第一章

30
第四节 随机信号
二、随机信号的主要特征参数
1、 均值、方差和均方值 均值表示信号的常值分量
方差描述随机信号的波动分量。
均方值描述随机信号的强度。
31
第四节 随机信号
二、随机信号的主要特征参数
2、 概率密度函数 随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间的概率。如图1-22所示。
图1-22
一、概述
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的,不能预测其未来的任何瞬时值。 任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一,但其值的变动服 从统计规律。 随机过程与样本函数如图1-21所示。
图1-21
29
第四节 随机信号
二、随机信号的主要特征参数
1) 均值、方差和均方值 2) 概率密度函数 3) 自相关函数 4) 功率谱密度函数
图1-3
4
第一节 信号的分类与描述
一、信号的分类
3.能量信号和功率信号 当电压信号满足一定条件时:则认为信号的能量是有限的,并称之为能 量有限信号。简称能量信号。 若信号在区间(- ∞ , ∞ )的能量是无限的,但它在有限区间的平均功
率是有限的。这种信号称为功率有限信号,或功率信号。
x 2 (t )dt
通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号如图1-11所示。图1-11a为矩 形脉冲信号,图1-11b为指数衰减信号,图1-11c为衰减振荡,图1-11d为 单一脉冲。
图1-11
14
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
一、傅里叶变换
图1-11 非周期性信号
15
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
一、傅里叶变换
图1-7
9
机械工程测试技术基础

二、连续信号和离散信号 • 分类依据:
–自变量即时间t是连续的还是离散的 –信号的幅值是连续的还是离散的;
• 连续信号:
–自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号; –自变量是连续、但幅值为离散的信号则称为量化信号
• 离散信号:
–信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时则称该 信号为被采样信号
–信号的自变量及幅值均为离散的则称为数字信号;
Cn
C n
C0
1 2
(an
1 2
(an
a0
jbn ) jbn )
n 1,2,3
则
x (t) C 0 C n e j n 0 t C n ej n 0 t n 1 ,2 ,3
n 1
n 1
或Leabharlann x(t) Cnejn0t n0,1,2,一-一
n
五
这就是傅里叶级数的复指数展开形式
n0td e tj n0t
• 小结: – 从式一-二九可知一个非(ZHOU)期函数可分解成 频率f连续变化的谐波的叠加式中Xfdf的是谐波ej二πf 的系数决定着信号的振幅和相位 – Xf或Xω为xt的连续频谱 – 由于Xf一般为实变量f的复函数故可将其写为
X(f)X(f)ej(f)
将上式中的称X非((f )ZHOU)期信号xt的连续幅值谱 称(xft)的连续相位谱 例题一-三求矩形窗函数的频谱
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
由欧拉公式可知:
ejt cotsjsin t(j1) cso i n tts 1 2j((e e jj tt e ejj tt))
2
代入式一-七有:
x ( 令t) a 0 n 1 1 2 (a n jn b ) e j n 0 t 1 2 (a n jn b ) e j n 0 t
第三章3典型信号傅里叶变换 性质1

f (t) 1 F ()e jtd
2
1 F () e d j[t ()]
2
1
F () cos[ t ()]d
2
j
F () sin[ t ()]d
2
f (t) 1
F () cos[ t ()]d
2
1
F() cos[ t ()]d
0
F () d
0 cos[ t ()]
2 , f 1 , B f 1
2
(4)符号函数
sgn(t)
1 (t 0) f (t) sgn(t) 0 (t 0)
实奇函数 1 (t 0)
1
0
t
1
符号函数信号不满足绝对可积条件,但它却存在 傅里叶变换。可以利用它和奇双边指数的关系:
f
(t
)
sgn(t
)
lim
a0
eat ea
1.信号在时间轴上的平移对应频域中的相移 (相位谱产生附加相移)
2.信号在时间轴上的平移不会影响信号的幅频 特性
例题:写出下列信号的傅里叶变换
f1(t)
2
0
4 6t
f3 (t )
2 1
0 1 2 3t
f 2 (t )
24
0
t
2
课本例题131页: 例题3-2 3-3
主要内容
典型信号的傅里叶变换 信号频谱的概念:幅度谱和相位谱 信号频谱带宽的概念:信号幅度谱的带宽,
0
t
F()
2a
a2
2,
F ()
2a
a2 2
() 0
正实偶函数
1
e f (t) a t
(a 0)
第六章 信号的频谱分析

解:假设 f (2t 1) F1()
F1 ( )
1 2
F
(
)e
j
2
2
df (2t 1) dt
jF1()
j
1
例如例
7.1
中信号 us (t) 的
An
~
图: F0
A0 , Fn
1 2
An
,n
n
5
周期信号频谱的特点: 离散性:谱线是离散的,两根谱线间的间隔为基波角频率1 ; 这种频谱常称为离散频谱。 谐波性:谱线在频率轴上的位置是基波角频率1 的整数倍。 收敛性:各谐波谱线的高度随着 n 的增大而减小; 虽然可能不是单调减小,但总趋势是随着 n 的增大而减小。
2
a 0
1 T
T
2 f (t) d t = 0
T 2
an
2 T
T
2 T
f (t) cos n1t d t 0
2
2
bn T
T 0
f
(t)
sin
n1t
d
t
4 T
T
0 2 f (t) sin n1t d t 0
傅利叶级数中无余弦分量。
3. 半周横轴对称(奇谐函数) 波形沿时间轴移半个周期后反转,波形不变: f (t) f (t T )
7.2.3 典 型 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 的 频 谱
1. 以周期矩形脉冲信号为例进行分析
脉宽:
脉冲幅度: E
周期: T
( 1
2 T
)
信号在一个周期内的表达式:
f
(t
)
信号分析基础(非周期信号频域分析)

频谱函数(相当于原来的Cn)为:
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt
x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt
R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数,则X(jƒ)是复函数; b.若x(t)为实偶函数,则ImX(jƒ)=0,而X(jƒ)是实偶函数,即 X(jƒ)= ReX(jƒ); c.若x(t)为实奇函数,则ReX(jƒ)=0,而X(jƒ)是虚奇函数,即 X(jƒ)=-j ImX(jƒ); d.若x(t)为虚偶函数,则ImX(jƒ)=0,而X(jƒ)是虚偶函数; e.若x(t)为虚奇函数,则ReX(jƒ)=0,而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图: Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 = 1
lim S t) ( t) (
CH+3-3+典型信号的频谱

几种典型信号的频谱 4. 符号(sign)函数和单位阶跃(unit step)函数的频谱 • 符号函数的频谱 符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a → 0时的极限 形式,即:
1 lim e at a0 x (t ) 1 lim e at a0
X(f)
e at e j2πft 0 e at e j2πft (a j2πf ) (a j2πf ) 0 1 1 (a j2πf ) (a j2πf ) j4πf 2 a (2πf ) 2
几种典型信号的频谱
单边指数衰减函数及其频谱
s
Ts为周期;n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数
comb(t , Ts )
1 Ck Ts
k
j2πkf s t C e k
j2πkf s t
(fs = 1 / Ts)
Ts 2
Ts 2
comb(t , Ts )e
dt
因为在(-Ts /2,Ts /2)区间内只有一个函数(t),故
( a 0, ( a 0,
j2 π ft
t 0) t ≥ 0)
lim e at e j2 π ft dt
a0
0
a 0
lim e e
at
dt
0
1 1 lim lim a 0 ( a j2 π f ) a 0 ( a j2 π f ) j πf
k
δ( f kf )
s
即梳状函数的频谱也为梳状函数,且其周期为原时域周期的倒数 (1/Ts),脉冲强度为1/Ts。 comb(t,Ts) 1
信号分析基础2频谱课件

若x(t)是实函数,则幅频 X ( f ) 和 实频Re 为偶函数, 相频 ( f ) 和 虚频Im 为奇函数,
2.4 傅立叶变换的性质 b.线性叠加性
若 x1(t) ←→ X1(f),x2(t) ←→ X2(f) 则:c1x1(t)+c2x2(t) ←→ c1X1(f)+c2X2(f)
例子:求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化
+
X1(f) X2(f)
2.4 傅立叶变换的性质
c.对称性
若 x(t) ←→ X(f),则 X(t) ←→ x(-f)
证明: 以-t替换t: 以f换t:
所以:
x(t) X( f )ej2ftdf
x(t) X( f )ej2ftdf
x(f ) X(t)ej2ftdt
T0
2 T0
f (t)cosn0t.dt
2
bn
2 T0
T0
2 T0
f (t)sinn0t.dt
2
f
(t)
a0 2
(an
n1
cosnw0t
bn
sinnw0t)
A0 2
An
n1
cos(nw0t
n)
(1)
A0 a0
An an2 bn2
n
arctg
bn an
周期信号的频谱分析
复指数形式:将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
1 |C n||C n|2
an2bn2A 2n
C ntg 1( a b n n) n n
n0 n0
周期信号的频谱分析
周期信号的频谱:
两者都是频率函数
幅频特性 相频特性
三角级数表达: An