中考数学专题8 最值与定值问题(01)

专题8最值与定值问题

一、选择题

1．(2019·泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD ＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( )

A．2 B．4 C． 2 D．2 2

2．(2019·玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( )

A．5 B．6 C．7 D．8

3．(2019·长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动

点，则CD＋

5

5BD的最小值是( )

A．2 5 B．4 5 C．5 3 D．10

二、填空题

4．(2019·潍坊)如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，

当△P AB的周长最小时，S△P AB＝____．

5．(2019·陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6.P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为____．

6．(2019·无锡)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4 5 ，D为边AB上一动点(B点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最

大值为____．

三、解答题

7．若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x20－16)，求符合条件的点P.

8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E，F移动过程中：

(1)∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；

(2)△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

9．将6张小长方形纸片(如图1所示)按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.当AB长度不变而BC变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，S1与S2的差总保持不变，求a，b满足的关系式．

(1)为解决上述问题，如图3，小明设EF＝x，则可以表示出S1＝________，S2＝________；

(2)求a，b满足的关系式，写出推导过程．

10．(2019·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一

次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝m x

(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，－3)两点，与x轴交于点C.

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)在y轴上找一点P使PB－PC最大，求PB－PC的最大值及点P的坐标；

(3)直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．

专题8最值与定值问题

一、选择题

1．(2019·泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD ＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( D )

A．2 B．4 C． 2 D．2 2

解析：如图：由题意可知点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2 2 ，∴PB的最小值是2 2 .

2．(2019·玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是(B )

A．5 B．6 C．7 D．8

解析：如图，MN最小值为OP－OF＝8

3－1＝

5

3；

当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，

经过圆心的弦最长，MN最大值＝10

3＋1＝

13

3，

∴MN长的最大值与最小值的和是6.

3．(2019·长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动

点，则CD＋

5

5BD的最小值是( B )

A．2 5 B．4 5 C．5 3 D．10

解析：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M. 由题意可求得CM＝BE＝4，∵∠DBH＝∠ABE，

∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝DH

BD＝

AE

AB＝

5

5，

∴DH＝

5

5BD，∴CD＋

5

5BD＝CD＋DH，

又∵CD＋DH≥CM，∴CD＋

5

5BD≥4 5 ，

∴CD＋

5

5BD的最小值为4 5 .

二、填空题

4．(2019·潍坊)如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，

当△P AB的周长最小时，S△P AB＝__12

5__．

解析：作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△PAB 的周长最小，可求点P

的坐标为(0，135 )，点P 到直线AB 的距离是：(135

－1)×sin 45°＝85 ×22 ＝425

，由题意可求得AB ＝3 2 ， ∴△PAB 的面积是：32×4252 ＝125

. 5．(2019·陕西)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6.P 为对角线BD 上一点，则PM －PN 的最大值为__2__．