工程数学A卷-答案

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A. 线性无关

B. 线性相关

C. 其中的*ξ可用12-,,,n r ξξξ线性表示

D. 无法判断

4.对于任意两个随机变量X 与Y ，若满足()()()E XY E X E Y =，则必有（ B ）. A ．()()()D XY D X D Y = B ．()()()D X Y D X D Y +=+ C ．,X Y 相互独立 D ．,X Y 不相互独立.

5. 设123,,X X X 为来自正态总体2(,)N u σ的一个简单随机样本，则下面关于u 的无偏估计量中最有效的是（ B ） A ．12X X - B ．X C ．123121

236

X X X +- D ．231122X X X +-.

二、题型（每题3分，共27分）

1.设123

3

21213

D -=--，D 的(,)(,1,2,3)i j i j =元的代数余子式记作ij A ，则 31323332A A A +-=__ 20 __.

2. 已知23001

10000300

00

1⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭

A ，则1

-=A 1300120010003000

1-⎛⎫ ⎪-

⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭

3.设14=0,=223-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

a b ,c 与a 正交，且λ=+b a c ，则λ=2-

4.甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的20%、35%、45%，次品率分别为0.01、

0.03、0.02。现从所有的产品中抽取一个产品，则该产品是次品的概率__ 0.0215 __. 5.设,A B 是两个事件, 且()0.2,()0.6,()0.5P A P B P B A ===,则()

P AB =__0.3 .

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6. 已知连续型随机变量X 的概率密度为：,0

()1/4,

020,2

x Ae x f x x x ì<ïï

=?íï³ïî，则{11}P X

-?=131

42

e --. 7. 设随机变量X 的概率密度为：()⎩

⎨⎧<<-=其他,01

0),1(6x x x x f ，则变量12+=X Y 的概率密度为

3

(1)(3),13

()40,Y y y y f y 其他ì--<<ï=íï

î

.

8.随机变量123,,X X X 相互独立，其中()10,4X U ，()20,4X N ，()33X P .记

12332Y X X X =-+，则()D Y =_

148

3

___. 9. 设123,,X X X 为来自正态总体(0,1)N 的一个简单随机样本，()2

21231X X X a

+-服从()22χ，则a =_2___ .

三、计算题（共9分）

利用初等行变换求矩阵

123451

12210

2151(,,,,)203131

1

041⎛⎫

⎪

-

⎪

== ⎪- ⎪

-⎝⎭

A a a a a a 的秩与列向量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用最大线性无关组表示。

解：1

122111221110

410215102151010

312031302151001111

1

0410022200000-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪---

⎪ ⎪ ⎪

→→ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪

⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（4分） 1001001031001110

000⎛⎫

⎪

- ⎪

→ ⎪- ⎪

⎝⎭

，可见 ()3R =A ， …….（6分） 一个最大无关组是123,,a a a ，41235233,=+-=-a a a a a a +a . …….（9分） 四、计算题（共12分）

已知矩阵01

11

01110-⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝

⎭

A ，（1）求A 的特征值及特征向量；（2）求一个可逆矩阵P ,使得1

P AP -=Λ

解：32201

1

1

0132(1)(2)(1)(2)1

1

λλλλλλλλ--=-=-+-=-+-=--+A E

求得A 的特征值为1231,2λλλ===- .……..（3分）

对应121λλ==，由11111111

1000111000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ，故方程()-=0A E x 的通解为12121110,01k k k k R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，相应的特征向量为：112212111001k -⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

k p p k k （7分）

对应32λ=-，由21110121

21011112000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

+=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ，故方程(2)+=0A E x 的通解为33111k k R -⎛⎫ ⎪=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭x ，相应的特征向量为333111k k -⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

p .……..（10分）