第二节 n维线性空间

表示为矩阵形式有：
L L L [η1 ,η2 , ,ηn ]=[ε1 , ε 2 , , ε n ](X1 ,X 2 , ,X n )
⎡ a11 ⎢a M=(X1 ,X 2 ,...,X n )= ⎢ 21 其中 ⎢... ⎢ ⎣a n1 a12
... a1n ⎤ a 22 ... a 2n ⎥ ⎥ ⎥ ... ... ... 为 ⎥ a n2 ... a nn ⎦ 过渡矩阵。
2、过渡矩阵（演化矩阵）M （基底之间的转换关系） 问题：如何由旧基底转换为新基底，并找出两者 的变换关系 M ？ 设n维线性空间 V 中不同基底为：
旧基底:[ε1 ,ε 2 ,...,ε n ] ⇔ 新基底:[η1 ,η2 ,...,ηn ]
⎡ a1i ⎤ 新基底中每个元ηi ⎢a ⎥ 也是一个向量（基 ⎢ 2i ⎥ X = 底向量） ，其在旧 i ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ 基底中的坐标为： ⎣ ani ⎦
思考： 因为每个列向量是基底向量，而基底向量是 线性无关的，故这 n 个列向量线性无关。 所以，矩阵的秩为n.
三、坐标变换
考察同一个向量 α 在两个不同基底下的坐标 X,Y 之间的关系。
旧基底:[ε1 ,ε 2 ,...,ε n ] ⇔ 新基底:[η1 ,η2 ,...,ηn ]
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 坐标X = ⎢ 2 ⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦
物理与电子信息学院 计算物理教研室
§4.2.1
1、定义
n 维线性空间的定义
若线性空间V 中存在有 由n个向量构成的极 大线性无关子组，则V 称为n 维线性空间。 V 的极大线性无关子组称为V 的基底。
一、n 维线性空间
1）【基底】n 维线性空间的基底不止一个，但每个基底 所含向量的个数相同，都等于V 的维数 n。 2）【维数】V 的极大线性无关子组中向量的数目，也即 基底的数目。 3）【零空间】 没有基底，其维数规定为零。 4）【无穷维空间】既非零空间，又非n维空间的线性空 间称为无穷维空间。(见书例1)
利用同一向量 α 在基底下的坐标的唯一性有，向量 在两个基底下的坐标之间的关系：
X = MY
⎡ x1 ⎤ ⎡ a11 ⎢ x ⎥ ⎢a 即： ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎢ M ⎥ ⎢... ⎢ ⎥ ⎢ ⎣xn ⎦ ⎣a n1 ... a1n ⎤ ⎡ y1 ⎤ a 22 ... a 2n ⎥ ⎢ y2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ... ... ... ⎢ M ⎥ ⎥⎢ ⎥ a n2 ... a nn ⎦ ⎣ yn ⎦ a12
α = a1α1 + a2α 2 + L + anα n = (a1 , a2 ,L , an )
一一对应
4、定理2
设在基底 [α1, α2,⋅⋅⋅, αn ] 下，n维线性空间V中的向 量α、β 的坐标分别是 X =（a1, a2,⋅⋅⋅, an） Y =（b1, b2,⋅⋅⋅, bn） 则向量α + β 与 λα（ λ 是数）的坐标分别为 X + Y =（a1+b1, a2+b2,⋅⋅⋅, an+bn ）
⎡ a1i ⎤ ⎢a ⎥ X i = ⎢ 2i ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ani ⎦
旧基底:[ε1 ,ε 2 ,...,ε n ] ⇒ 新基底:[η1 ,η2 ,...,ηn ]
注意：M 的第 j 列向量 Xj 是 ηj 在 旧 基 底 [ ε 1 , ε 2 ,..., ε n ] 下的坐标，所以M为满秩矩阵。
解：设向量 α 在基底 [ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ] 下的坐标为： [x1 ,x2 ,...,xn ] ⎧ε1 = e1 + e2 + ... + en , 由于： ⎪ε = 0 + e + ... + e , ⎪ 2 2 n
⎨ ⎪............................., ⎪ε n = 0 + 0 + ... + en ⎩
则坐标为：( f (a), f ′(a),
1 1 f ′′(a ),..., f ( n −1) (a )) 2! (n − 1)!
二、基底变换
1、同一向量在不同基底下坐标之间的变换关系 利用矩阵乘法的规则 [向量] α [基底] [α1 , α 2 ,L, α n ] [坐标] (a1 , a2 ,L an )
由此得：
⎧η1 = [ε1 , ε 2 ,..., ε n ] X 1 ⎪η = [ε , ε ,..., ε ] X ⎪ 2 1 2 n 2 ⎨ ⎪ ................................. ⎪ηn = [ε1 , ε 2 ,..., ε n ] X n ⎩
= [ε1 ,ε 2 , ,ε n ]M L
⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ 坐标Y = ⎢ 2 ⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ yn ⎦
பைடு நூலகம்
推导过程：∵ α =[ε1 ,ε 2 ,...,ε n ]X 又∵ α =[η1 ,η2 ,...,ηn ]Y [ 利用基底的变换关系：η1 ,η2 ,...,ηn ]=[ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ]M 得到： α =[ε1 ,ε 2 ,...,ε n ]X=[η1 ,η2 ,...,ηn ]Y =([ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ]M)Y=[ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ](MY)
(1, 2,1) = x1e1 + x2 e2 + x3e 3 = x1 (1, 0, 0) + x2 (0,1, 0) + x3 (0, 0,1) = ( x1 , x2 , x3 )
解得：x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1 所以
α
在基底下的坐标为 (1, 2,1)
例2、求R3中向量 α = (1, 2,1) 在基底[α1 , α 2 , α 3 ] 下的坐 标，其中 α1 = (1,1,1), α 2 = (1,1, −1), α 3 = (1, −1, −1)
2、定理1
设 α1, α2, ⋅⋅⋅, αn, 是n 维线性空间V 的一个有序基底, 则V中任何向量均可由基底的向量线性表出, 且表出的 形式是唯一的。
例如：设三维线性空间一个基底为: α1, α2, α3 则该三维线性空间任意向量可表示为：
α =a1⋅α1 + a2⋅α2 + a3⋅α3
这种表示对应于上述基底是唯一的。 推广：n 维线性空间：某一基底为：α1, α2,⋅⋅⋅, αn α =a1⋅α1 + a2⋅α2 +⋅⋅⋅ +an⋅αn 表示唯一 对应于一个取定基底，向量α与上述表示中的系数, n元有序数组（a1, a2,⋅⋅⋅, an）,一一对应。 n元有序数组（a1, a2,⋅⋅⋅, an）称为向量α 在基底 [α1, α2,⋅⋅⋅, αn ] 下的坐标。
⎧ x1 + x2 + x3 = 1 ⎪ ∴ 得到等价的方程组： x1 + x2 − x3 = 2 ⎨ ⎪ x − x − x =1 2 3 ⎩ 1 1 1 解得：x1 = 1, x2 = , x3 = −
2 2
∴ α
1 1 在基底 [α1 , α 2 , α 3 ] 下的坐标为 (1, , − ) 2 2
[η1 ,η2 ,...,ηn ]=[ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ]M 其中M 是新基底: [η1 ,η2 ,...,ηn ] 在原基底:
[ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ] 下坐标列向量构成的矩阵。
[坐标变换]：
X = MY
Y = M −1 X
五、实例分析
在Rn 中，有一个基底：1) 证明向量组:
⎧ e1 = (1, 0, 0,..., 0); ⎧ ε1 = (1,1,1,...,1); ⎪e = (0,1, 0,..., 0); ⎪ ε = (0,1,1,...,1); 也是它的一个 ⎪ 2 ⎪ 2 基底。 ⎨ ⎨ ⎪ ......................... ⎪ ......................... ⎪ε n = (0, 0, 0,...,1); ⎪en = (0, 0, 0,...,1); ⎩ ⎩ 2) 已知向量α 在基底 [e1 ,e2 ,...,en ]下的坐标为 [a1 ,a2 ,...,an ] 求: 在基底 [ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ] 下的坐标
(a0 , a1 ,..., an −1 )
由于f(x)可以改写为：
f ( x) = f (a) + f ′(a )( x − a) + 1 1 f ′′(a)( x − a) 2 + ... + f ( n −1) (a)( x − 1)( n −1) 2! (n − 1)!
[1, x − a, ( x − a ) 2 ,..., ( x − a ) n −1 ] 若将基底换为:
−1
因为 M 是满秩矩阵，故M可逆，则又有：
Y =M X
注: 可见, 只要知道 基底之间的转换矩阵 M 由旧基底上的坐标X便求出在新基底上的 坐标Y。
四、变换定理
设基底 [ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ]和[η1 ,η2 ,...,ηn ] 是 n 维线性空间 V 的两个基底。向量在两个基底下的 坐标分别为X，Y。则： [基底变换]：
5） 【例题】
① Rn (或者Fn）是n维线性空间，它的任何n个 线性无关的向量都是它的一个基底； ② n 元齐次线性方程组的解空间是n-r 维线性 空间。当秩r < n时,它的每个基础解系都是解 空间的基底。 ③ 线性空间Pn(x)是n+1维的线性空间. 例如: 1, x, x2,…, xn 是它的一个基底。 ④ 线性空间Mm×n(R)是m×n 维的线性空间。
故基底之间的关系为:
[ε 1 ,ε 2 ,...,ε n ]= ⎡1 ⎢1 ⎢ (e1 ,e2 ,...,en )⎢ 1 ⎢ ⎢... ⎢1 ⎣ 0 1 1 ... 1 0 0 1 ... 1 ... ... ... ... 1 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ...⎥ 1⎥ ⎦
⎡ a1 ⎤ ⎢a ⎥ α = a1α1 + a2α 2 + ... + anα n = [α1 , α 2 ,..., α n ] ⎢ 2 ⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ = [α1 ,α 2 , Lα n ]X ⎣ an ⎦ = [α1 , α 2 ,..., α n ] X
向量α 在给定基底下的坐标列向量。
16:32 10
§4.2.2
基底变换与坐标变换
一、向量 + 基底 = 坐标
1、n 维线性空间中向量的坐标与基底有关。 1）同一向量在同一基底下坐标相同，在不同基底 下一般是不同的； 2）不同向量 在同一基底下，坐标是不同的。
2、例题分析 n 维线性空间Pn-1(x) 中 [多项式]： f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an −1 x n −1 [基底]： [1, x, x 2 ,..., x n −1 ] [坐标]：
解： 设 α 在基底下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 ), 则有： (1, 2,1) = x1α1 + x2α 2 + x3α 3
= x1 (1,1,1) + x2 (1,1, −1) + x3 (1, −1, −1) = ( x1 + x2 + x3 , x1 + x2 − x3 , x1 − x2 − x3 )
3、有序数组、向量基底下的坐标
在一个取定的基底下[α1 , α 2 ,L , α n ]，线性空间V中 的任何一个向量 α 可用 n元有序数组（a1, a2,…, an） 表示出来，且这种表示是一一对应的。则系数的有 序数组（a1, a2,…,an ）称为向量 α 在基底 [α1 , α 2 ,L , α n ] 下的坐标。
例3、见课本 P118 在 n 维线性空间V 中，n个向量构成 V 的基底的充 要条件是：用它们在同一（任一相同）基底下的坐标 作为行（列）向量的 n 阶行列式不等于零。 例4、见课本P119
线性空间（向量空间） 非零空间 零空间
向量个数？向量维数？空间维数？ 基底 向量 = 【基底】×【坐标】
λX =（λa1, λa2,⋅⋅⋅, λan ）
抽象n维线性空间的向量 向量线性运算
16:32
给定基底下的坐标 坐标的相应运算
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二、实例分析 例1、求在基底 [ e1 , e 2 , e 3 ] 下，向量 α = (1, 2,1) 的坐 标，其中：e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1) 解：设 α 在基底下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 ) ，则有：