建筑力学第四章-杆件的强度、刚度和稳定性计算

dA C
y yC
y
例1 求图示图形的形心。
10
解：将此图形分别为I、II、III三 部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， I 300 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取 II 为x轴，则
III
yC
Ai yCi Ai
(20010)(515)02(1030)00 200102(1030)0
38.8mm
Ⅳ
2、轴向拉伸（压缩）变形
刚度：构件抵抗变形的能力。 杆件受轴向力作用时，沿杆轴方向会伸长（或缩
短），称为纵向变形；同时杆的横向尺寸将减少（或 增大），称为横向变形。
1）纵向变形与胡克定律
长为 l的等直杆，在轴向力作用下，伸长了 l l1l
纵向线应变为：
l l
试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一 极限值，则正应力和正应变成线性正比关系
材料名称
E值（单位GPa)
μ值
低碳钢（Q235） 16锰钢 铸铁 铝合金 混凝土
木材（顺纹） 砖石料 花岗石
200~210 200~220 115~160
70~72 15~36 9~12 2.7~3.5
49
0.24~0.28 0.25~0.33 0.23~0.27 0.26~0.33 0.16~0.18
F1
F2
应力就是单
位面积上的力
F3
Fn
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布， 集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏” 或“失效”往往从内力集度最大处开始。
正应力：杆件内部应力p的截面法线分量称为正
应力σ。
剪应力：杆件内部应力p的截面切线分量称为剪
应力τ。
I τ
p
Aσ I
应力的单位是帕斯卡，简称帕（Pa） 1MPa(兆帕)=106 Pa， 1GPa(吉帕)=109 P
1、形心的概念
z
截面的形心就是截面图形的 几何中心
z
通过形心的坐标轴称为形心轴 zC
r
O
C
dA C
y yC
y
一、形心
1、形心的概念
z
z
截面的形心就是截面图形的 几何中心
zC
ydA
zdA
yC AA ,
zC
A
A
O
通过形心的坐标轴称为形心轴
形心坐标公式
y C
Ai y Ci Ai
z
C
AizCi Ai
扭矩FT表示截面上所有点剪应力τ对截
O
面中心点O点的力偶作用。
Ⅳ
П
FQ 剪力FQ表示截面上所有点剪应力τ在
П
切线方向上作用的总和。
Ш x M
xШ
当同一横截面上正应力有正有负时， 弯矩M表示截面上所有点正应力σ对正 负应力分界轴x-x的力偶作用。
Ⅳ 扭矩FT表示截面上所有点剪应力τ对截
τ
O
面中心点O点的力偶作用。
EA称为杆的拉压刚度
2）横向变形、泊松比
横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
Baidu Nhomakorabea
法国科学家泊松（1781~1840）
于1829年从理论上推演得出的结果。
表41给出了常用材料的E、值。
三、 变形计算
常用材料的E 、μ值
E 称为胡克定律
英国科学家胡克（Robet Hooke，1635~1703）
于1678年首次用试验方法论证了这种线性关系
后提出的。
胡克定律：
l FNl
EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A 均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均
匀的情况。比例常数E 称为弹性模量，它表示材
料在拉伸（压缩）时抵抗变形的能力，量纲与应 力相同，常用单位为MPa.
2
例2、圆形。
d
y
Iy
Iz
1 2
I p
1 d 4
64
3、平行移轴公式
z1
z
y1
a
y dA
已知: I z , I y (y、z轴过形心C)
AC
z
求 I z1 , I y1
由于对称知： xC=0
y y1 200
C O
10 150yC x1
x
二、静矩和惯性矩
1、静矩
y
z dA
A
y
o
平面图形对z轴的静矩
Sz ydA A
平面图形对y轴的静矩
S y zdA A
单位：m3或mm3
z
（1）静矩可0；0；0。
（2）若图形形心C已知，则：
yc
ydA A
Sz
AA
zc
内力：横截面上所有点应力的总和。
I FN
I П
FQ
П
Ш x M
轴力FN表示截面上所有点正应力σ在轴 线（或法线）方向上作用的总和。
剪力FQ表示截面上所有点剪应力τ在 切线方向上作用的总和。
当同一横截面上正应力有正有负时， 弯矩M表示截面上所有点正应力σ对正
x Ш 负应力分界轴x-x的力偶作用。
Ⅳ
τ
第四章 杆件的强度、刚度和稳定性计算
第一节 应力、应变、胡克定律
1、应力 平衡力系作用下的杆件虽然不会产生运
动，但一定会产生变形。
的概念：考虑受力杆件I-I截面上任意一点A
pm
Δp ΔΑ
p
称为面积△A上的平均应力。
而
p
lim
A0
Δp ΔΑ
称为A点出的应力
I
A I
I △p
△A I
应力表示了受力杆件某截面上一点的内力分 布疏密程度，内力集度.
zdA A
Sy
AA
z
yc
A
C
zc
（3）求静矩的另一公式：
o
y
Sz ycA
Sy zc A
（4） yc0或 zc0
z
C
y
A
Sz0或Sy0
如果平面图形具有 对称轴，则平面图形的 形心必然在对称轴上。 平面图形对其对称轴的 静矩必为零。
若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则 该坐标轴必通过图形的形心。
轴过形心 <==> S该轴=0
求所示图形对y轴的静矩
解：
R
SyA zdA0z
R 2z2dz
z
1 R R2z2dz2
20
z2
z+dz z
1 R2 R2d 20
R
O
y
1R2
R2dR (2)
20
12(R2)23
R2
1R3
23
3
0
组合图形的静 矩计算公式
Sz Szi AiyCi
Sy Syi AizCi
2、惯性矩
z y
A
o
图形对z轴的惯性矩
I z
y²dA
A
dA
图形对y轴的惯性矩
z
I y
z²dA
A
单位：m 4
y 惯性矩恒0；
z
例1、矩形。求
Sz,Sy, Iz, Iy
dz
z hc
解：（1） Sz 0,Sy 0.
y
h
（2）
Iy
z2dA
A
h
2 h
z
2bdz
2
b
同理
Iz
y2dA
A
z
1 12
hb 3
b z 3 2 1 bh 3 3 h 12
0.12~0.20 0.16~0.34
第二节 截面的几何性质
选择材料——与材料的机械性质有关 确定尺寸——与截面大小、形状有关 在面积A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。
平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究 对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算 中不可缺少的几何参数。
一、形心