教师业务能力考试初中数学
2024年教师资格(中学)-数学学科知识与教学能力(初中)考试历年真题摘选附带答案
2024年教师资格（中学）-数学学科知识与教学能力（初中）考试历年真题摘选附带答案第1卷一.全考点押密题库(共100题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分)我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理”，这一方法的首创者是()。
A. 贾宪B. 刘徽C. 朱世杰D. 秦九韶2.3.(单项选择题)(每题 1.00 分)关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的()为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。
A. 梅内赫莫斯B. 泰勒斯C. 欧几里得D. 阿基米德4.(单项选择题)(每题5.00 分)下列说法正确的是()。
A. 单调数列必收敛B. 收敛数列必单调C. 有界数列必收敛D. 收敛数列必有界5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 一元三次方程x3 -3x-4 = 0的解的情况是（）。
A. 方程有三个不相等的实根B. 方程有一个实根，一对共轭复根C. 方程有三个实根，其中一个两重根D. 无解6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 我国现行法律认为，教师职业是一种（）。
A. 私人职业B. 从属职业C. 专门职业D. 附加职业7.(单项选择题)(每题 1.00 分)下列关于椭圆的论述，正确的是()。
A. 平面内到两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆B. 平面内到定点和定直线距离之比小于1的动点轨迹是椭圆C. 从椭圆的一个焦点出发的射线，经椭圆反射后通过椭圆另一个焦点D. 平面与圆柱面的截线是椭圆8.(单项选择题)(每题 1.00 分)设4阶矩阵A与B仅有第3行不同，且|A|=1，|B|=3，则|A+B|=()。
A. 3B. 6C. 12D. 329.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设向量a，b满足：|a| = 3，|b| = 4, a.b=0。
以a，b，a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）。
A. 3B. 4C. 5D. 610.(单项选择题)(每题 1.00 分)《义务教育数学课程标准（2011 年版）》从四个方面阐述了课程目标，这四个目标是（）。
中小学教师业务考试初中数学试题含答案
中小学教师业务考试初中数学试题含答案一、选择题1. 判断题：下列哪个数是奇数？A. 36B. 18C. 45D. 68答案：C2. 以下哪个数是整数？A. -1.5B. 1/2C. 0.75D. 3/4答案：A3. 已知a = 3，b = 5，则a² + b²的值为：A. 8B. 11C. 19D. 34答案：C4. 若x = -2，则|x|的值为：A. 0B. 1C. 2D. -2答案：25. 如果一个数的百位是6，个位是4，且十位的数是个位数的两倍，那这个数是多少？答案：648二、填空题1. 60 × 0.15 = _______答案：92. 38 - 24 = _______答案：143. (5 - 2)² = _______答案：94. 张教师昨天给学生发了30本书，今天还需要再发______本书。
答案：55三、解答题1. 已知一次函数y = 2x - 3，求x = 4时的y值。
解答：将x = 4代入函数中，y = 2 × 4 - 3 = 5。
所以x = 4时，y = 5。
2. 请计算下列算式的结果：2/3 + 1/2 - 3/4解答：首先，将分数化为相同分母的形式。
得到2/3 + 2/4 - 3/4 = 2/3 - 1/4。
接着，找到2/3和1/4的最小公倍数为12，得到4/12 - 3/12 = 1/12。
所以2/3 + 1/2 - 3/4的结果为1/12。
四、综合题小华今天早上7点半从家里出发，步行到学校，全程5公里。
他步行的速度是每小时4公里。
请问他几点到达学校？答案：小华步行5公里所需的时间为5/4小时，即1小时15分钟。
所以他将在早上8点45分到达学校。
考试结束后请同学们认真复习，及时总结和弥补知识漏洞，以便在实际教学中能够更好地应用所学知识。
祝各位考生取得优异的成绩！。
初中数学教师业务考试试卷与答案
初中数学教师业务考试试卷与答案第Ⅰ部分数学教育的基础知识与基本技能一、填空题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分）请将答案填在填空题的答题拦内.1、化简：（－）÷ = .2、已知分式，当=1时，分式的值记为（1），当=2时，分式的值记为（2），依此计算: （1）+（）= .3、用边长是1cm的小正方形搭成如下塔形图形，则第n次所搭图形的周长为cm.………第一次第二次第三次4、将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度的范围是.5、某电视台在黄金时段有2min广告时间，计划插播长度为15和30的两种广告，15广告每播一次收费0.6万元，30广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，那么该电视台在这段时间内最多可收广告费万元.6、如图，菱形ABCD的对角线的长度分别为4，5，P是对角线AC上的一点，PE//BC交AB于E，PF//CD交AD于Ｆ，则图中阴影部分的面积是.７、某城市为避免生活污水排入河流，需修建一条2400米长的封闭式污水处理管道，为了尽量减少施工对市民生活的影响，实际施工比原计划每天多修10米，结果提前了20天完成任务，实际每天修多少米？设实际每天修米，则可列方程为.8、从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有4条通路，从甲地到丁地有2条道路，从丁地到丙地有5条道路，那么从甲地（经乙地或丁地）到丙地一共有种不同的走法.9、已知（1-2）8=0+1+22+…+88.则：0+2+4+6+8=二、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分）请将答案填在选择题的答题栏内.10、定义图形A※B是由图形A与图形B组成的图形,已知：A※B B※C C※D B※D则A※D是下图中的A B C D11、已知===，则直线=+2一定经过A、第1、2象限B、第2，3象限C、第3、4象限D、第1、4象限12、已知二次函数=2-7-7的图象和轴有交点，则的取值范围是A、>-B、>-且m≠0C、≥-D、≥-且≠013、如图，直线交两坐标轴于A、B，点C在线段AB上，若∠AOC=,OA=OB，那么S⊿OBC:S⊿OAC=A、sinαB、cosαC、tanαD、cotα14、已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是2，方差是,那么另一数据31-2, 32-2, 33-2, 34-2, 35-2的平均数和方差分别是：A、4，3B、2，C、4，D、2，315、如图，在ABCD中，∠DAB=60°AB=5，BC=3，点P从点D出发沿DC，CB向终点B 匀速运动，设点P所走的路程为，点P所经过的线段与AD，AP所围成的图形面积为y，y 随的变化而变化，在下列图象中，能正确反映y与的函数关系的是16、越来越多的商品房空置是目前比较突出的问题，据国家有关部门统计：2006年第一季度全国商品房空置面积为1.23亿m2，比2005年第一季度增长23.8%，下列说法：①2005年第一季度全国商品房空置面积为亿㎡；②2005年第一季度全国商品房空置面积为亿㎡；③若按相同增长率计算，2007年第一季度全国商品房空置面积将达到1.23×(1+23.8%)亿㎡；④如果2007年第一季度全国商品房空置面积比2006年第一季度减少23.8%，那么2007年第一季度全国商品空置面积与2005年第一季度相同，其中正确的是A、①，④B、②，④C、②，③D、①，③17、如图，△ABC是锐角三角形，正方形DEFG的一边在BC上，其余两个定点在AB，AC上，记△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2则A、S1≥2S2B、S1≤2S2C、S1>2S2D、S1<2S218、《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是3+2=19+4=23 ，类似地，图（2）所示的算筹图可表述为D、B、C、A、2+=11 2+=11 3+2=19 2+=64+3=27 4+3=22 +4=23 4+3=27 三、解答题：（本大题共6个小题，共36分）得分19、（本题满分6分）评卷人如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，连接BD，若BC=1，求AD及tanA（请直接写出答案）.得分20、（本题满分6分）评卷人某风景区对5个旅游景点的门票价格进行调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：景点 A B C D E原价（元）10 10 15 20 25现价（元） 5 5 15 25 30平均日人数（千人）1 123 2（1）、有人说：该风景区调价前后，这5个景点门票的平均收费不变，因而平均日总收入持平，问此人是怎样计算的？（2）游客认为：调整收费后，风景区的平均日总收入相对调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？得分21、（本题满分6分）评卷人如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.得分22、（本题满分6分）评卷人某博物馆每周都有大量中外游客前来参观，如果游客过多，则不利于博物馆中的一些珍贵文物的保存，但又需要一定量的门票收入用于解决文物的保存、保护等费用问题，因此博物馆通过浮动门票价格的方法来控制参观人数，调查统计发现，每周参观的人数与票价之间的关系可近似地看成如图所示的一次函数关系.（1）求图中一次函数的解析式；（2）为确保每周4万元的门票收入，则门票价格应定为多少元？得分23、（本题满分6分）评卷人如图，已知，抛物线y=2+b+c(<0)经过A（-1，0），C(0,1)两点，直线与抛物线相交于C，B（，1）两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M（,t）(<0, >0)在抛物线上，MN//轴，且与该抛物线的另一交点N，问：是否存在实数，使得MN=2AO？若存在，求出值，若不存在说明理由.得分24、（本题满分6分）评卷人若、、、都是整数，且>1，>1,求+的值.第Ⅱ部分数学教育的基本理论与实践得分评卷人1、选择题（每小题2分，共4分，每题有一个或多个正确答案，请将正确答案的代号填在题后的括号内）（1）导入新课应遵循（）A、导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用B、要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念C、导入时间应掌握得当，安排紧凑D、要尽快呈现新的教学内容（2）下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）A、把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主B、促进学生的自主学习，激发学生的学习动机C、教学方法的选用改为完全由教学目标来决定D、尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律2、判断题（每小题1分，共2分，对的在题后的括号记√，错的在题后的括号内记×）（1）教育过程既是一种特殊的认识过程，又是一种促进人身心发展的过程（）（2）课的结构是由课的类型决定的，备课就是写教案（）3、简答题（只答要点，不必展开，满分4分）你认为一堂好课的特点应体现在哪些方面？湘潭市2006年中小学教师业务理论考试初中数学答案及评分标准1、2-2、3、4、2≤≤35、4.4万6、57、8、22 9、选择题10、C 11、B 12、D 13、D 14、A 15、A 16、D 17、A 18、A解答题：19、AD=2 tanA=2- (每个3分)20、（1）A、B各降5元，D、E各提价5元…………………………2分（2）原价日收入16000元…………………………3分现价日收入175000元，=0.09375 ………………6分21、当OP//AD或OP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25……………………2分当OP在如图位置时，过O分别作CD、BC的垂线垂足分别为E、F，如图在Rt△OEG与Rt△OFH 中，∠EOG=∠HOF，OE=OF=5，△OEG≌△OFH ∴S0HCG=S0FCE=25，即两个正方形重叠部分的面积为25。
2024年教师资格考试初中学科知识与教学能力数学试题及解答参考
2024年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力模拟试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、李老师在设计《三角形》这一课时，为了让学生进一步理解三角形的稳定性，他组织学生进行小组实验，用硬纸片和胶带制作各种形状的手工制品，引导学生观察并讨论哪种形状最能承受重力。
以下对这一设计说法正确的是（）。
A. 教学设计过于复杂，不利于学生理解三角形的稳定性B. 教学设计注重了学生对知识技能的学习，忽视了学生数学思考能力的发展C. 教学设计符合学生认知发展规律，有利于学生理解和运用知识D. 教学设计注重了情感态度价值观的培养，但对于基础知识掌握作用不大2、小王同学说：“老师在讲概率的时候提到抛硬币正反两面朝上概率相同，那么抛3次硬币，正反面朝上次数相同的概率一定为1/8”，以下说法正确的是（）。
A. 小王同学的说法正确，符合等可能性原则B. 小王同学的说法正确，但是给出的概率计算结果错误C. 小王同学的说法错误，出香味的可能性大于1/8D. 小王同学的说法错误，不符合等可能性原则3、在下列函数中，定义域为实数集的是（）A. y = √(x-1)B. y = 1/xC. y = log2(x)D. y = x^24、下列函数中，有最大值的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = x^2 - 4x + 4D. y = x^35、下列选项中，不属于初中数学教学重点的是（）。
A、函数的概念及其基本性质B、数与代数的基本运算C、几何图形的直观感知和基本性质D、概率与统计的思想方法6、在数学教学中，鼓励学生通过探索、实验和交流来理解和解决问题，这体现了（）的教学理念。
A、主动学习B、接受学习C、机械学习D、死记硬背7、在解析几何中，如果点P的坐标为(x0,y0)，那么点P到直线2x−3y+6=0的距离公式为：A.|2x0−3y0+6|/√22+(−3)2B.(2x0−3y0+6)/√5C.√(2x0−3y0+6)2D.√2x02−9y02+368、如果x2−6x+9是完全平方公式，那么它对应的因式分解形式是：A.(x−3)(x−3)B.(x−1)(x−9)C.(x−3)(x+3)D.(x+1)(x+9)二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题请结合初中数学教学实际，阐述如何利用数学建模思想培养学生的数学思维能力。
中小学教师业务考试初中数学试题含答案
中小学教师业务考试初中数学试题含答案一、选择题（每题3分，共60分）1. 若一元二次方程x² - 3x + k = 0 的两个根分别是2和-2，则k的值为（）。
A. 3B. 4C. -2D. -32. 下列函数中，不是一次函数的是（）。
A. y = 2x + 3B. y = -x + 5C. y = 4x² + 1D. y = 3 - 2x3. 若一元二次方程x² - kx + 8 = 0 的解是3和4，则k的值为（）。
A. -1B. -2C. 5D. 74. 若x的实数解为x > 0，则不等式2x - 3 > 5的解是（）。
A. x > 7/2B. x > 4/2C. x > 8/2D. x > 6/25. 下列关于四边形的说法，错误的是（）。
A. 平行四边形的对角线相互平分B. 矩形的对角线相等C. 菱形的对角线相互垂直D. 任意几边相等的四边形是正方形二、填空题（每题5分，共40分）1. 简化下列代数式：(3x² - 4x) + (5x - 2x²) = ______。
2. 若正方形的边长为x，则它的周长是______ ，面积是 ______ 。
3. 已知点A(2, 4)，以A为圆心，半径为5的圆的方程是______。
4. 若正方形的对角线长为10 cm，则它的边长是______ 。
三、解答题（共40分）1. 一辆汽车以每小时80km的速度匀速行驶，从A地行驶到B地耗时5小时。
再以每小时100km的速度行驶，从B地返回A地耗时多少小时？2. 用长方形长为15cm，宽为10cm的铁皮制作一个开口的盒子，假设所有边各处的连接处不占空间。
问：这个盒子的最大体积是多少？四、答案选择题：1 - C，2 - C，3 - C，4 - A，5 - D填空题：1 - - x² + x ，2 - 4x，3 - (x - 2)² + (y - 4)² = 25，4 - 10√2解答题：1 - 4小时，2 - 750cm³以上是中小学教师业务考试初中数学试题，包含选择题、填空题和解答题。
2024年教师资格考试初中学科知识与教学能力数学试卷与参考答案
2024年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力复习试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在下列函数中，属于一次函数的是：A.(f(x)=x2+3x−2)B.(g(x)=2x+4)C.(ℎ(x)=√x+5)+3)D.(j(x)=1x2、下列关于三角形内角和定理的说法正确的是：A. 任何三角形的内角和小于180°B. 等边三角形的内角和等于360°C. 所有三角形的内角和等于180°D. 任何三角形的内角和大于180°3、题干：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（-2，1）。
下列关于点B的坐标的描述正确的是（）A. 点B在第二象限B. 点B在第三象限C. 点B在第四象限D. 点B在x轴上4、题干：若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 25B. 28C. 31D. 345、下列关于函数图像的说法正确的是（）A. 函数y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线B. 函数y=√x的图像是一个开口向下的抛物线C. 函数y=2x+1的图像是一条直线，斜率为2，y轴截距为1D. 函数y=|x|的图像是一个开口向左的绝对值函数6、下列关于一元二次方程的解法，错误的是（）A. 因式分解法可以求解一元二次方程B. 配方法可以求解一元二次方程C. 求根公式法可以求解一元二次方程D. 降次法不能求解一元二次方程7、在下列函数中，属于二次函数的是（）)A.(y=1xB.(y=x2+2x+1)C.(y=√x)D.(y=x3−2x2+x+1)8、已知函数(f(x)=2x2−3x+1)，则函数的对称轴是（）)A.(x=−34)B.(x=34)C.(y=−34)D.(y=34二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题请结合初中数学学科特点，谈谈如何有效运用信息技术进行数学教学？第二题题目：简述在教授初中数学时如何运用直观演示法，并举例说明其在几何教学中的应用。
初中数学教师专业水平考试试题及参考答案
初中数学教师专业水平考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列选项中，哪一个既是二次函数又是整式方程？（）A. \(x^2 - 2x + 1 = 0\)B. \(2x^2 - 3x + 1 = 0\)C. \(x^3 - 2x^2 + x = 0\)D. \(2x^3 - 3x^2 + x = 0\)2. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，那么第10项为（）A. 20B. 22C. 24D. 263. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，那么BD的长度为（）A. 5B. 10C. 12D. 164. 下列函数中，哪一个函数在定义域内是单调递增的？（）A. \(y = -x^2\)B. \(y = x^3\)C. \(y = -x^3\)D. \(y = |x|\)5. 已知函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)，那么\(f(2 - x)\)的表达式为（）A. \(x^2 - 2x + 1\)B. \(x^2 - 6x + 7\)C. \(x^2 - 2x + 5\)D. \(x^2 - 6x + 9\)二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知等差数列的第一项为3，公差为2，那么第5项为_______。
7. 若两个角的和为90度，那么这两个角互为_______。
8. 在直角坐标系中，点(2, -3)关于y轴的对称点坐标为_______。
9. 已知函数\(f(x) = 2x + 3\)，那么\(f(2)\)的值为_______。
10. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，那么AE和DE的长度分别为_______和_______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程\(3x^2 - 7x + 2 = 0\)。
12. 已知等差数列的第一项为2，公差为3，求该数列的前10项和。
13. 在三角形ABC中，已知∠A=60°，AB=3，AC=4，求BC 的长度。
教师专业能力考试试题 初中数学试卷 (2)
第1页（共6页）秘密★启用前2022年毕节市初中毕业生升学考试数 学考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置．2．答题时，选择题使用2B 铅笔在答题卡上填涂，非选择题使用黑色字迹的笔在答题卡规定区域内作答，在试卷上作答无效．3．本试题共6页，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本题15小题，每小题3分，共45分） 1．2的相反数是A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277 000 000千米；277 000 000用科学记数法表示为A ．277×106B ．2.77×107C ．2.8×108D ．2.77×1084．计算()322x 的结果，正确的是A ．58xB ．56xC ．66xD ．68x5．如图，m ∥n ，其中∠1=40°，则∠2的度数为 A ．130° B ．140° C ．150° D ．160° 62cos 45-⨯︒的结果，正确的是AB．C． D．7．如果一个三角形的两边长分别为3，7，则第三边的长可以是A ．3B ．4C ．7D ．10第2页（共6页）8．在△ABC 中，用尺规作图，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ．作直线MN 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．则下列结论不一定正确的是 A ．AB =AE B ．AD =CD C ．AE =CE D ．∠ADE =∠CDE9．小明解分式方程121133xx x =-++的过程如下．解：去分母，得 32(33)x x =-+． ① 去括号，得 3233x x =-+． ② 移项、合并同类项，得 6x -=． ③ 化系数为1，得 6x =-．④ 以上步骤中，开始出错的一步是 A ．① B ．② C ．③D ．④10．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5 m ，坡面AB 的坡度为1AB 的长度为A ．10 mB ． mC ．5 mD ．m 11．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为A ．6448,5338x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．6438,5348x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．4648,3538x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．4638,3548x y x y +=⎧⎨+=⎩12．如图，一件扇形艺术品完全打开后， AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为45 cm ，扇面BD 的长为30 cm ，则扇面的面积是 A ．2375cm π B ．2450cm πC ．2600cm πD ．2750cm π13．现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶30 km 后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1 h 到达目的地．汽车行驶的时间x （单位：h ）与行驶的路程y （单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是A ．汽车在高速路上行驶了2.5 hB ．汽车在高速路上行驶的路程是180 kmC ．汽车在高速路上行驶的平均速度是72 km/h D ．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40 km/hy第3页（共6页）14．在平面直角坐标系中，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列5个结论： ①0abc >； ②20a b -=； ③930a b c ++>；④24b ac >； ⑤a c b +<．其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．矩形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠得到△AFE ，连接CF ．若AB ＝4，BC ＝6，则CF 的长是 A ．3 B ．175C ．72D ．185二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分） 16．分解因式：228=m -______．17．甲乙两人参加社会实践活动，随机选择“做环保志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，那么两人同时选择“做环保志愿者”的概率是______．18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为______． 19．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数ky x=（x ＞0，k ＞0）的图象经过点C ，E ．若点A （3，0），则k 的值是______．18题图 19题图 20题图20．如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A 1（1，1）；把点A 1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A 2（1-，3）；把点A 2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A 3（4-，0）；把点A 3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A 4（0，4-）；…；按此做法进行下去，则点A 10的坐标为______．第4页（共6页）分数三、解答题（本题7小题，共80分） 21．（8分）先化简，再求值：2241442a a a a -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中2a ．22．（8分）解不等式组()328131322x x x x --⎧⎪⎨-<-⎪⎩≤，，并把解集在数轴上表示出来．4321-3-2-123．（10分）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x 表示： 90100x ≤≤为网络安全意识非常强，8090x <≤为网络安全意识强，80x <为网络安全意识一般）． 收集整理的数据制成如下两幅统计图：甲组学生竞赛成绩统计图 乙组学生竞赛成绩统计图23题图123题图2分析数据：根据以上信息回答下列问题：（1）填空：a =______，b =______,c =______；（2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ （3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．25．（12分）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价 进货价）（1钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2 200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？26．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO=CO，∠BCA=∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求△EFG的周长．26题图1 26题图2第5页（共6页）第6页（共6页）27．（16分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2+y x bx c =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D （2，1），抛物线的对称轴交直线BC 于点E ． （1）求抛物线2+y x bx c =-+的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h （h >0），在平移过程中，该抛物线与直线BC 始终有交点，求h 的最大值；（3）M 是（1）中抛物线上一点，N 是直线BC 上一点．是否存在以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中小学教师业务考试初中数学试题含答案
中小学教师业务考试初中数学试题含答案一、选择题1. 已知直角三角形ABC，∠A=90°，BC=12 cm，AC=9 cm，求AB 的长度。
A. 3 cmB. 6 cmC. 15 cmD. 18 cm答案：B2. 甲、乙两个数相加等于30，甲数减去乙数等于10，求甲、乙两个数分别是多少。
A. 10，20B. 15，15C. 20，10D. 25，5答案：C3. 若正方形的边长为x cm，则它的面积是多少平方厘米？A. xB. x²C. 2xD. 2x²答案：D4. 下列四个数中，最大的是：A. 3/5B. 2/3C. 4/7D. 5/8答案：B5. 在算式5 + 3 × 4 - 2的运算中，应先进行哪个运算？A. 加法运算B. 乘法运算C. 减法运算D. 可以按任意顺序进行运算答案：B二、填空题1. 7 × 8 - 5 × 4 = _______答案：362. 半径为4 cm的圆的面积是 _______ 平方厘米。
答案：16π3. 一个角的补角是45°，那么该角的度数是 _______ 。
答案：45°4. 若a = 2，b = 3，则 a² + b² = _______ 。
答案：135. 两个数相乘的结果是12，其中一个数是3，那么另一个数是_______ 。
答案：4三、解答题1. 某车企今年一季度销售了360辆轿车，二季度销售了480辆轿车，三季度销售了600辆轿车，四季度销售了720辆轿车。
求该车企全年销售轿车的总数。
解法：全年总销售量 = 360 + 480 + 600 + 720 = 2160辆答案：2160辆2. 有一根长为12 cm的导线，将其弯成正方形，求这个正方形的面积。
解法：正方形的边长 = 12 cm ÷ 4 = 3 cm正方形的面积 = 边长 ×边长 = 3 cm × 3 cm = 9平方厘米答案：9平方厘米3. 小明参加了一个数学竞赛，他答对了65道题目，答错了15道题目。
教师资格考试初中数学学科知识与教学能力试卷及解答参考(2024年)
2024年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力复习试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在下列数学概念中，不属于实数范畴的是（）A、有理数B、无理数C、整数D、分数2、在下列教学方法中，适用于培养学生创新精神和实践能力的是（）A、讲授法B、演示法C、讨论法D、练习法3、题干：在数学教学中，教师为了帮助学生理解“因式分解”的概念，采用了以下哪种教学方法？A. 演示法B. 案例分析法C. 小组合作探究法D. 讲授法4、题干：以下哪项不属于数学教学目标中的“知识与技能”领域？A. 理解数学概念B. 掌握数学运算C. 培养数学思维D. 传承数学文化5、在下列函数中，属于反比例函数的是（）A.(y=x2+1)B.(y=2x−3))C.(y=1xD.(y=√x)6、在等差数列({a n})中，已知(a1=3)，公差(d=2)，则第10项(a10)的值是（）A. 15B. 20C. 25D. 307、在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点是（）A. A’（-2，3）B. A’（2，-3）C. A’（-2，-3）D. A’（2，3）8、下列函数中，在其定义域内为增函数的是（）A.(f(x)=−x2+4x−3)B.(f(x)=2x−5))C.(f(x)=1xD.(f(x)=√x)二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题请简述数学课程标准中对于“数学思考”这一核心素养的要求，并结合初中数学教学实际，举例说明如何在教学中培养学生的数学思考能力。
1.能够从数学的视角观察、分析现实世界中的现象，提出数学问题，并用数学语言进行表述。
2.能够运用数学的基本思想和方法，对问题进行抽象和建模，形成数学表达式或图形。
3.能够运用逻辑推理、归纳总结、类比等数学思维方法，对问题进行探究和解决。
4.能够理解和欣赏数学的简洁美和逻辑美，体验数学思考的乐趣。
5.能够在解决问题过程中，培养创新精神和实践能力。
2025年教师资格考试初中学科知识与教学能力数学试题与参考答案
2025年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力自测试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、新课标强调的“四基”是指：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
这四个“基”构成了学生的数学核心素养。
请问，以下哪一项不属于“四基”的范畴？A. 基础知识B. 基本技能C. 基本思想D. 基本方法2、初中数学课程目标中，以下哪一项不是其基本目标之一？A. 知识与技能B. 过程与方法C. 科学与人文D. 情感态度与价值观3、题干：在解决实际问题时，一般将问题中的数量关系表示出来，并用字母表示未知数，建立数学模型。
以下不属于数学模型的是（）A. 一辆汽车每小时行驶60千米，5小时能行驶多少千米B. 设x为某个未知数，当x=2时，方程2x+3=3x-1成立C. 某班学生人数为n，平均身高为h，则全班学生身高总和为nhD. 在三角形ABC中，∠A+B=∠C4、题干：在初中数学教学中，教师将数学概念教学和数学方法教学相结合，引导学生理解和掌握数学知识。
以下不属于这种教学方式的是（）A. 运用类比的方法，让学生通过比较熟悉的几何图形来推导出新的几何性质B. 通过让学生解决实际问题，让学生体会数学的思想方法C. 对数学概念进行深入剖析，让学生理解和掌握其内涵和外延D. 使用直观教具，让学生观察和感受数学概念的直观形象5、在下列选项中，不属于初中数学教学原则的是（）A、直观性原则B、启发性原则C、系统性原则D、趣味性原则6、在“勾股定理”的教学过程中，教师引导学生通过实际操作、观察、分析等活动，得出勾股定理的结论。
这种教学方式属于（）A、讲授法B、讨论法C、实验法D、探究法7、下列关于初中数学中的函数概念的理解，哪一项是不正确的？A、函数是一种特殊的对应关系，其中每一个输入恰好对应一个输出。
B、函数可以在直角坐标系中通过绘制图像来直观表示。
C、函数的概念仅限于线性函数。
D、函数可以通过解析式、表格等多种方式来表达。
2025年上半年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力试卷及答案解析
2025年上半年教师资格考试初中数学学科知识与教学能力试卷及答案解析一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在平面直角坐标系中，点A(m，3)与点B(4，n)关于原点对称，则m＋n的值为( )A. 1B. -1C. 7D. -7答案：D解析：由于点A(m，3)与点B(4，n)关于原点对称，根据对称性质，我们有：m=−4n=−3从上述两个等式，我们可以得到：m+n=−4+(−3)=−7故答案为：D. -72、下列方程中，是二元一次方程的是 ( )A. 2x + 1 = 0B. 3x - y^2 = 1C. x/2 + y/3 = 1D. 2x - y = 3z答案：C解析：A.2x+1=0只含有一个未知数x，所以不是二元一次方程。
B.3x−y2=1中，未知数y的最高次数是2，所以不是二元一次方程。
C.x2+y3=1含有两个未知数x和y，且它们的次数都是1，满足二元一次方程的定义。
D.2x−y=3z含有三个未知数x、y和z，所以不是二元一次方程。
故答案为：C3、在平面直角坐标系中，点 A(3, 1) 关于 x 轴对称的点的坐标是 ( )A. (3, -1)B. (-3, 1)C. (-3, -1)D. (1, 3)答案：A解析：设点A(3, 1)关于x轴对称的点为B(x, y)。
由于点A和点B关于x轴对称，根据对称性质，它们的横坐标必须相等，即x=3。
同时，它们的纵坐标互为相反数，即y=−1。
所以，点B的坐标为(3, -1)。
故答案为：A. (3, -1)。
4、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），则点A关于原点对称的点B的坐标为 _______．答案：(−3,−4)解析：根据关于原点对称的点的坐标性质，如果点A的坐标为(x,y)，则其关于原点对称的点B的坐标为(−x,−y)。
将点A的坐标(3,4)代入，得到点B的坐标为(−3,−4)。
5、若x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤1答案：B解析：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其判别式为Δ=b2−4ac。
中学数学教师业务考试试题
苇莲苏学区中心校教师业务考试试题（初中数学）（试卷总分100分，考试时间100分钟）姓名：课标部分（30分）一、判断题。
（对的打“√”，错的打“×”）（每小题2分，共20分）1、数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
（ ）2、有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
（ ）3、运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。
（ ）4、学生是知识的接受者，不需要转变为数学学习的主人。
（ ）5、新课标只提倡关注知识获得的过程，不提倡关注获得知识结果。
（ ）6、新课程从第二学段（4—6年级）开始使学生接触丰富的几何世界。
（ ）7、合理应用数学的思维方式解决实际问题，是培养学生的创新精神与实践能力的最佳途径。
（ ）8、 《标准》提倡让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，形成自己对数学概念的理解。
（ ）9、课程标准在数学学习内容的结构上，将“应用题”拆分到加、减、乘、除等基本的运算中，结合“数的运算”抽象和理解数量关系。
（ ）10、推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
( ) 二、填空题。
（每空1分，共10分）1、数学是研究 和 的科学。
2、义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有 性、 性和发展性。
3、义务教育阶段数学课程目标分为总体目标和学段目标，从 、 、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。
4、在义务教育各学段中，安排了四个部分的课程内容：“ ”，“图形与几何”，“统计与概率”，“ ”。
5、现代教育理念倡导的四种学习方式包括自主学、 、 和接受学习。
教材部分（70分）三、填空题。
（每空3分，共30分）1.红、黄、蓝三面旗排成一列，红旗恰好排在中间的概率是____________.2.已知矩形ABCD 的一边AB=10cm,另一边AD=3cm,若以直线AB 为轴旋转一周,则所得到的圆柱的侧面积是____________cm 2.3.研究下列算式,你会发现什么规律:1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 ……请你把找出的规律用公式写出来____________________________.4.梯形ABCD 中,AD//BC,AB=DC,∠ABC=600,且BD 平分∠ABC,若中位线长是15cm,则这个梯形的周长为________________.5.关于x 的一元二次方程22310()24021m m x k k m -++-=+有两个实数根,则K 的取值范围是_______________.6.两圆的半径分别是4和2,如果它们有两条公切线相互垂直,则这两圆的圆心距为__________________.7.在锐角三角形ABC 中,BC 边上的高为AD,CA 边上的高为BE.如果AD=4,BD=3,CD=2,那么DE 等于____________.8.如图,四边形ABCD 中,∠B=900,AC ⊥AD,且平分∠BCD,若AB=4,AC=5,S ΔABC :S ΔDAC 等于_____________.9.已知O 为平行四边形ABCD 对角线的交点,E 为AB 的中点,DE 交AC 于F,若平行四边形ABCD 的面积为12,则四边形EBOF 的面积为_______________.10.在锐角三角形ABC 中,∠A=500,AB>BC,则∠B 的取值范围是___________________。
2024年教师资格考试初级中学学科知识与教学能力数学试题及解答参考
2024年教师资格考试初级中学数学学科知识与教学能力复习试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知函数(f(x)=x2−4x+5)，则该函数的最小值是多少？•A) 1•B) 2•C) 3•D) 42、在直角坐标系中，点P(3, -4) 关于原点对称的点Q 的坐标是？•A) (-3, 4)•B) (3, 4)•C) (-3, -4)•D) (3, -4)3、在平面直角坐标系中，点A（2，-3）关于直线y=-x的对称点B的坐标是（）A.（3，2）B.（-3，-2）C.（-2，-3）D.（-3，3）4、下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（）A. y=2x+3B. y=-x+5C. y=x^2+1D. y=-3x^25、下列关于三角形的内角和的说法，正确的是（）A、三角形的内角和一定等于180度B、三角形的内角和可能大于180度C、三角形的内角和可能小于180度D、三角形的内角和可以根据三角形形状变化6、对于函数 y = 2^x，当 x > 0 时，关于该函数的性质描述正确的是（）A、y 的值小于 2B、y 的值大于 2C、y 的值随 x 的增大而减小D、y 的值随 x 的增大而增大7、在数学教学中，为了更好地帮助学生理解抽象的数学概念，教师采用的具体教学策略是（）。
A. 多次重复讲解法B. 利用多媒体辅助教学C. 实例教学与比较教学相结合D. 直接抽象教学8、在组织学生进行探究活动时，教师应关注的重点不包括以下几点中的（）。
A. 确保学生安全B. 学生是否遵循了探究步骤C. 探究活动对学生兴趣的激发D. 探究活动是否达到了教学目标二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题请简述数学学科核心素养的主要内容及其在初中数学教学中的体现。
第二题题目：简述基于问题解决的教学模式及其在初中数学教学中的应用，并举例说明。
第三题请简述课堂提问的艺术，并举例说明教师在设计提问时应该注意的几点。
教师资格考试初中学科知识与教学能力数学试题及解答参考
教师资格考试初中数学学科知识与教学能力复习试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在下列数学概念中，属于概念外延的是（）。
A. 线段B. 直线C. 平行线D. 相交线2、下列函数中，是偶函数的是（）。
A.(y=x2)B.(y=2x+1)C.(y=x3)D.(y=x2+2x)3、下列关于二次函数图像的说法中，正确的是（）A、二次函数的图像开口向上时，对称轴一定是x=0B、二次函数的图像开口向下时，顶点一定在x轴上C、二次函数的图像的顶点坐标一定是对称轴的坐标D、二次函数的图像的对称轴一定是x轴4、在下列函数中，函数值域为R的是（）B、y=|x|C、y=2x+1D、y=x²5、在下列函数中，属于一次函数的是：A、y = 2x² + 3B、y = 3x - 5C、y = √x + 2D、y = 5/x + 36、若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，第n项为an，那么数列{an + d}的公差是：A、a1 + dB、a1C、a1 + 2dD、d7、在下列函数中，属于反比例函数的是（）A.(y=x2))B.(y=1xC.(y=2x+3)D.(y=3x2−4)8、下列关于一元一次方程的解法中，不属于基本解法的是（）A. 代入法C. 乘除法D. 分式方程的解法二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题简述初中数学教学中培养学生逻辑思维能力的方法。
第二题题目：请结合教学实践，谈谈如何在初中数学教学中培养学生的逻辑思维能力。
第三题请结合教学实际，阐述如何运用启发式教学策略，激发初中数学课堂中学生学习的积极性。
第四题请结合实际教学案例，阐述如何利用信息技术手段提升初中数学课堂的教学效果。
第五题请结合具体案例，分析初中数学课堂教学中如何有效地运用多媒体技术，提高学生的学习兴趣和教学效果。
三、解答题（10分）题目：请结合实际教学情境，分析初中数学“一次函数”的教学设计，并阐述教学过程中如何帮助学生理解和掌握一次函数的概念、性质以及应用。
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教师业务能力考试
初中数学试题
（满分100分）
一、填空题：（本题满分30分，1—5题每空1分，6题3分，
7—11题每题2分）
1、数学是人们对客观世界 、
、 ，并进行广泛应用的过程。
2、义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，
使数学教育面向全体学生，实现： ；
； 。
3、在教学活动中，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的 、
和 。
4、在各个学段中，《课程标准》安排了 、 、
、 四个领域的学习内容。
5、义务教育阶段，数学课程目标具体可分为 ，
， ， 。
6、简答：你在数学课堂教学中，是从 方面，落实新课程理念，培养学生的综合能力的。
7、一个健康的成年人体内每毫升血液中，红细胞的数量约为420万个，
用科学记数法表示为 个. 8、请你写出一个经过点（1,2）的二次函数的解析式 。
9、分解因式：a 2- 6ab + 9b 2- 2a + 6b -
3= 。
10、如图，在公路一侧的A 、B 两处各有一盏 高度相同的路灯，相距8米,某人从A 走向B ， 当他到达距B 处2米D 点的时候，发现自己前
面的影子，刚好落到路灯B 的底部，那么他身
后的影子长DE 是 米。
11、如图，有一只绵羊，用一根6米长的绳子系在边长为2米
的正方形房子与围墙的墙角A 点处，房子四周都是草地，羊 能够吃到绳长所及范围内的草，这只羊最多能吃到 平方米范围内的草。
二、单项选择题：（本题满分30分，每小题3分） 12、25的平方根是 （ ） A 、5 B 、5 C 、±5 D 、±5
题号 一 二
三
四
五 六
总分 得分
6m
绵羊
A 2m 房子 D A E C B
M
N
13、函数y =
x
x ---31(2
）
的自变量的取值范围是 （ ）
A 、x ＜3
B 、x ≤3 且x ≠1
C 、x ＜3且x ≠1
D 、1＜x ＜3 14、在下列命题中，真命题是 （ ） A 、三角形三条高交于一点 B 、两个等边三角形一定相似 C 、平行四边形是轴对称图形 D 、正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 15、六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2、3、3、5、10、13，这6个数的众数和中位数分别是
（ ）
A 、5，5
B 、3，5
C 、3，4
D 、4，5 16、如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
AC = 3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕 与AB 、AC 分别交于点D 和点E ，折痕DE 的长为 （ ）
A 、1
B 、21
C 、23
D 、3
17、水果店用1000元购进一批西瓜，当天售出，获利10％，过几天后，又以售出价的90％购进同样一批西瓜，由于天气变化卖不出去，于是将这批西瓜按第二次购进价的九折（即90％）降价售出，问此水果店在这两次交易中
（ ）
A 、赢亏平衡
B 、 赢利1元
C 、赢利9元
D 、 亏本1.1元 18、下列一组按规律排列的数1、2、4、8、16、……它的第2005个数是 （ ） A 、22003 B 、22004 C 、22005 D 、22006
19、已知直线y = kx + b 经过点(-1,2)且与直线y = 3x 平行，
则解析式为 A 、y = - 3x – 1 B 、y = - 3x + 5
( )
C 、y = 3x – 5
D 、y = 3x + 5
20、如图，AB 是圆O 的直径，C 是AB 延长 线上一点，CD 切圆O 于D ，过点B 作AC 的 垂线交CD 于E ，若AB = CD = 2， 则CE 的长为 （ ）
A 、1
B 、
215- C 、255- D 、25
5+ 21、如图，点P 是x 正半轴上的一个动点，过点作x 轴的垂线PQ 交反比例函数y = x
k 于Q OQ ，当点P 沿x 轴正方向运动时（P 与O 不重合）Rt △QOP 的面积 ( )
A 、逐渐增大
B 、逐渐减小
C 、保持不变
D 、无法确定
三、解答题：（本题满分15分，每小题5分） 22、计算：1
32+ + 01
)14.3(|30cot 1|)21(45sin 2π-+︒---︒-
A C D E
B
23、解方程：
4
8
2222
-=-+++x x x x x
24、一艘轮船在A 处时，它的北偏东45°方向上有一灯塔P ， 轮船沿北偏西30°方向航行4小时到达B 处，这时灯塔P 正好在轮船的正东方向上。
已知轮船的航速为25海里/时，求轮船在B 处时与灯塔P 的距离。
（结果保留根号） 四、（本题满分7分）
25、我市为美化环境，需要更换一批街道两旁的地砖，现需要A 、B 两种花
砖共50万块，全部由建兴砖瓦厂承担此项任务，该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克。
已知生产1万块A 种花砖需甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产一万块B 种花砖需甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元。
该厂要利用现有原料按要求完成任务。
（1）若设生产A 种花砖x 万块，有几种生产方案？请你设计出来。
（以万块为单位，且取整数）
（2）请列出总造价y 万元与x 万块之间的函数关系式，哪种生产
方案造价
最低？最低造价是多少？ 五、（本题满分8分）
26、已知：如图(1)△ABC 内接于⊙O,AB=AC,AD 交BC 于点D ，交⊙O 于点E.
（1）求证：AB 2= AD · AE
（2）若将条件AD 交BC 于点D ，改为AD 交BC 的延长线于点D.请问（1）
中的结论是否依然成立？画出图形，并说明理由.
六、（本题满分10分）
27、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,EF 分别是AB 、CD 的中点，线段EF 交AC 、BD 于M 、N 两点，MN = 1， AD ﹤BC,且AD 、BC 的长是抛物线y =x 2-2kx+k 2-k+2 与x 轴两个交点的横坐标. (1)求此二次函数的解析式. (2)求AD 、BC 的长.
B
(1) (2) E D
C
F
N
A M。