基于小波变换的信号奇异性检测在层位识别中的应用
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图1 小波变换模极大值与突变点检测 [ 4 ]
4. 1 信号奇异性检测算法 基于前面的理论分析 , 我们设计了如下用小波
532
石油地球物理勘探
2010 年
变换系数提取地震数据奇异性的算法。 ( 1) 对于某一道地震数据 ( 由 n 个采样点组成 ) , 使用式 ( 5 ) 构造的基函数进行小波变换, 令 k 0 表示 某一采样点 ; j 表示小波变换的某一个尺度 ; d j , k 表 示小波变换系数。 ( 2) 对某一个尺度 j 而言 , 找出以采样点 k 0 为 中心的窄区间( 即| k - k 0 | ) 内小波变换系数的模极 大值 m ax { d j , k } | k - k 0 | 。 ( 3) 分别求取不同尺度下的模极大值点, 得到尺 度空间( s, t ) 的模极大值线。 ( 4) 将模极大值线投影到对数坐标系 , 其位置即 可指示地层分界面的位置。 4. 2 Marm ousi )阻抗模型处理结果 图 2 是 M ar mousi ) 阻抗 模型, 地 震道数取 为
3
信号奇异性检测
利用小波变换对信号奇异性进行检测 , 一方面
可以确定奇异点的位置 , 另一方面选用合适的小波 函数与尺度可对奇异点的奇异性进行精确描述。 3. 1 奇异点位置的确定 小波多尺度边缘检测就是利用一个平滑函数, 在不同的尺度下平滑检测所需要的信号 , 再根据平 滑后信号的小波变换系数模的一阶或二阶导数找出
[ 4]
式 ( 5) 称为阻抗基函数。阻抗基函数能很好地反映 阻抗在深度上的不连续性 , 从而极易求出阻抗的薄 层信息。
4
信号奇异性检测及其在层位识别中 的应用
通常地震数 据中携带着大量的奇 异性属性信 息 , 而这些属性信息与阻抗不连续性有关, 因此提取 地震数据奇异性 属性可显示出地下构 造和分层的 情况。
2 s
2
2
( t ) , W f ( s, t ) = f *
1 s
( t) , 则
A 和 h 0 ( A > 0, h 0 > 0) 及 n 次多项式 p n ( h) , 使得对 h< h0 有 | f ( x 0 + h) - p n ( h) | ( A | h | n< ( n+ 1 ( 4)
W 2 f ( s, t ) = f * = s
2
( t) = f *
s
d2 (f * d t2
) ( t)
小波变换 W 1 f ( s, t) 和 W 2 f ( s, t ) 分别与函数 f ( t) 被
s
( t ) 平滑后的一阶 和二阶导数成 正比。而函数 的
一阶导数的极值点对应于二阶导数的零点, 同时也 是函数 f ( t ) 本身的拐点, 且一阶导数的绝对值的极 大值对应于函数的突变点, 而极小值则与缓变信号 相对应。如图 1 所示 , 当尺度 s 较大时, 平滑过程会 消除 f ( t) 的微小突变, 而只剩下大尺度的突变。由 此可见, 当把小波函数看作某一平滑函数的一阶导 数时 , 信号小波变换模的局部极值点对应信号的突 变点 ; 当把小波函数看作某一平滑函数的二阶导数 时, 信号小波变换模的过零点也对应于信号的突变 点。因此, 突变点的位置可以是小波变换的过零点 , 也可以是极值点 。一般说来 , 根据过零点做检测 不如根据极值点做检测准确。
f ( t ) 的连续小波变换为 W f ( s, t ) = f * = s ( t) = f *
s s s d ( t) dt
d (f * dt
2 s
) ( t) s
2
( 2) d2 s ( t) d t2 ( 3)
则称 f ( x ) 在 x 0 附近有李普希兹指数 , 以下简称李 氏指数。李氏指数是刻画点奇异性大小的量。 如果式( 4) 对一切 x 0 、 x 0 + h ∋ ( a, b) 均成立 , 则 称 f ( x ) 在 ( a, b) 上具有相同的李氏指数 。李氏指 数 越大 , f ( x ) 在 x 0 处越光滑 ; 李氏指数 越小, 奇异性也就越明显。如果函数 f ( x ) 在 x 0 点连续可 微 , 则 f ( x ) 在该点的李氏指数为 1 ; 如果函数 f ( x ) 在 x 0 点可微 , 而导数有界但不连续, f ( x ) 在该点的 李氏指数仍为 1 ; 如果函数 f ( x ) 在 x 0 点不连续但有 界 , f ( x ) 在该点的李氏指数为 0。 3. 3 阻抗基函数 针对阻抗数据的特点以及受 H aar 小波尺度函 2 数的启发, 我们在 L ( R ) 函数空间构造了一组适合 波阻抗分析的基函数, 即 x1 = 1 x 2 = 1/ 2 ! x n = 1/ n 0 ( x < 1 , 其他为 0 0 ( x < 2 , 其他为 0 ! 0 ( x < n, 其他为 0 ( 5)
刘伟 , 曹思远 . 基于小波变换的信号奇异性检测在层位识别中的应用 . 石油地球物理勘探 , 2010, 45( 4) : 530~ 533 摘要 小波变换不仅具有时域和频域局部化特性 , 而且可对信号做 奇异性分析 。 通过奇异性 分析 , 既要确定 奇
异点的位置 , 又要选用合适的小波函数 与尺度 对奇异 点进行 精确的 描述 。 为此 本文针 对阻抗 数据的 特点提 出 了阻抗基函数的概念 , 并求取了更为适 合波阻 抗分析 的阻抗 基函数 。 数 值模拟 结果表 明阻抗 基函数 很好地 反 映了阻抗在深度上的不连续性 , 从而极易 求出阻抗的层位信息 。 关键词 小波变换 信号奇异性 阻抗基函数 模极大值
2010 年 8 月
第 45 卷
第 4期
! 综合研究 !
基于小波变换的信号奇异性检测 在层位识别中的应用
刘 伟*
∀ #
曹思远 ∀ #
( ∀ 中国石油大学 ( 北京 ) 油气资源与探测国家重点实验室 , 北京 102249; # 中国石油大学 ( 北京 ) CN PC 物探重点实验室 , 北京 102249)
1 1 1 s 2 2
3. 2 奇异性大小的确定 若一个函数存在无限次可导就称其为光滑或者 说没有奇异性 , 若一个函数在某处有间断点或存在 某阶导数不连续, 通常叫做函数的奇异性, Baidu Nhomakorabea用李普 希兹指数 来表征。 设 n 是一非负整数 ( n <
[ 5, 6]
( n+ 1 ) , 若存在常数
( t ) = d ( t ) / dt ; 并定
而且可对信号 做奇异性分析
[ 3]
。在做奇异 性检测 t- b dt ( 1) a
1
引言
在地球物理勘探中, 寻找地壳物质物性参数的
时 , 我们选择连续小波变换。连续小波变换定义为 W f ( a, b) = 1 | a|
∃ f ( t)
- %
+ %
*
奇异性非常有意义[ 1] 。地震波的传播在地下介质的 分界面会产生速度和方向的变化 , 这些都是地球物 理信号的奇异性。判断出奇异性的大小和位置 , 就 可以对异常现象做出解释。地震数据携带着大量的 奇异性信息 , 对地震数据而言 , 奇异性分析就显得很 重要。 传统的奇异性检测方法基于傅里叶变换, 它是 研究稳定信号的主要处理方法 , 然而此法只能反映 信号的整体奇异性, 对信号的局部奇异性却无法描 述。小波变换具有傅里叶变换在时域和频域方面所 欠缺的局部化能力, 可以聚焦到信号的任何细节, 因 此它是一种检测奇异性的有力工具。利用小波变换 在时间和频率域的局部化特性 , 对离散或连续信号 做奇异性分析, 可以揭示来自地下的地震数据奇异 性信息。
2
小波分析基础
小波变换不仅具有时间和频率局部化特性
[ 2]
,
信号的突变点。
* 北京市昌平区中国石油大学 ( 北京 ) 油气资源与探测国家重点实验室 , 102249 本文于 2009 年 6 月 24 日收到 , 修改稿于同年 10 月 19 日收到。 本项研究由国家 863 项目 ( 2007A A S06Z229) 和国家重大专项 ( 2008ZX05024 001 01) 资助。
1~ 1701道 , 采样点数为 1401, 采样率为 2ms, 总时 间为 0~ 14010m s 。 图 3 是从 M armo usi ) 阻抗模 型
第 45 卷
第4期
刘伟等 : 基 于小波变换的信号奇异性检测在层位识别中的应用
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( 3) 基于小波变换的信号奇异性检测方法可以
5
结论
信号的奇异性分析是以信号的小波变 换为基
第 45 卷
第4期
刘伟等 : 基 于小波变换的信号奇异性检测在层位识别中的应用
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设 ( t ) 是一个平滑函数, 则函数 f ( t ) ∋ L 2 ( R ) 在尺度 s 下的边缘定义为 f ( t ) 被 s ( t) 平滑后的局 部突变点。假设小波 及待分析信号 f 都 是实函 数, 尺 度参数 s > 0 , 则 f ( t ) 与 ( t ) 的 卷积衰减 了 f ( t ) 的高频信号 , 但不改变 f ( t ) 的低频信号 , 从而 平滑了 f ( t ) 。 令 1 ( t) = d ( t ) / d t, 义 W f ( s, t) = f *
式中: f ( t) 是一个时间域函数 ; 为小波变换系数。
( t) 为分析小波 ( 或
称母小波) ; b 为位移因子; a 为尺度因子 ; W f ( a, b) 小波变换的时 & 频局部化特性依赖于尺度因子 a 和位移因子 b , a 越大相当于频率越低, a 越小则 频率越高, 即低频时小波变换的时间分辨率较低 , 而 频率分辨率较高; 高频时小波变换的时间分辨率较 高 , 而频率分辨率较低 , 符合信号变化的特点。
提高识别地层分界面的能力。
参 考 文 献 [ 1] [ 2] [ 3] 周 静毅 , 印兴耀 , 吴国忱 . 小波变换与地震奇异 性属性 . 物 探化探计算技术 , 2006, 28( 2) : 117~ 120 刘 传虎 , 刘福贵 , 李卫 中 . 时频分析 方法 及在储 层预 测 中 的应用 . 石油地球物理勘探 , 1996, 31( 增刊 ) : 11~ 17 Stephane M a llat , Hw ang Wen Liang . Singularit y de tectio n and pro cessing w ith w avelets. I EE E T r ansac tion on I nf o rmation T heor y , 1992 , 38: 617~ 622 陈 中 , 赵联文 . 信号奇 异性检 测中小 波分析 的应 用 . 重 庆 师范大学学报 ( 自然科学版 ) , 2004, 21( 2) : 15~ 27 Dav ies R, G or do n F R. Gr aph do minat ion, tabu search and the football poo l problem. D iscr ete A p p lied M athematics , 1997 , 74 ( 3 ) : 217~ 228 张 旭东 , 詹毅 , 马永琴 . 不同信号的小波变换去 噪方法 . 石 油地球物理勘探 , 2007, 42( 增刊 ) : 118~ 123
中抽取的第 100 道阻抗数据 ( 图 3a) 和对其进行奇 异性检测后的结果 ( 图 3b) 。由图可以看出, 奇异性 检测出的阻抗界面与原阻抗数据的分界面 ( 图 3a) 吻合程度很高。 图 4 是 M ar mousi ) 阻 抗模 型经 奇异 性检 测 后识别出来 的阻抗界 面, 由图可 以看出界 面位置 清晰可见。为了 说明图 4 结果 与原始 模型 ( 图 2) 的吻合程度, 现将图 4 投影到图 2 上得到图 5。由 图 5 可以看 出, 这 种 基 于 小 波 的 奇 异 性 检 测 方 法可以将阻抗差 异较小的 阻抗界面 检测 出来, 而 且检测出的界面位置与 原始模型界面 位置吻合得 很好。 4. 3 实际阻抗资料处理结果 图 6 是实际地震波 阻抗剖面及其 奇异性检测 结果, 同样可以看出界面位置清晰可见。图 7 是原 始叠加剖面与实 际阻抗剖面奇异性检 测结果的对 比 , 这种基于小波变换的信号奇异性检测方法可以 为传统的直接在 叠加剖面上追踪层位 的方法提供 一种参考方案 , 而且更有利于层位及薄层的识别与 解释。
4. 1 信号奇异性检测算法 基于前面的理论分析 , 我们设计了如下用小波
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石油地球物理勘探
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变换系数提取地震数据奇异性的算法。 ( 1) 对于某一道地震数据 ( 由 n 个采样点组成 ) , 使用式 ( 5 ) 构造的基函数进行小波变换, 令 k 0 表示 某一采样点 ; j 表示小波变换的某一个尺度 ; d j , k 表 示小波变换系数。 ( 2) 对某一个尺度 j 而言 , 找出以采样点 k 0 为 中心的窄区间( 即| k - k 0 | ) 内小波变换系数的模极 大值 m ax { d j , k } | k - k 0 | 。 ( 3) 分别求取不同尺度下的模极大值点, 得到尺 度空间( s, t ) 的模极大值线。 ( 4) 将模极大值线投影到对数坐标系 , 其位置即 可指示地层分界面的位置。 4. 2 Marm ousi )阻抗模型处理结果 图 2 是 M ar mousi ) 阻抗 模型, 地 震道数取 为
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信号奇异性检测
利用小波变换对信号奇异性进行检测 , 一方面
可以确定奇异点的位置 , 另一方面选用合适的小波 函数与尺度可对奇异点的奇异性进行精确描述。 3. 1 奇异点位置的确定 小波多尺度边缘检测就是利用一个平滑函数, 在不同的尺度下平滑检测所需要的信号 , 再根据平 滑后信号的小波变换系数模的一阶或二阶导数找出
[ 4]
式 ( 5) 称为阻抗基函数。阻抗基函数能很好地反映 阻抗在深度上的不连续性 , 从而极易求出阻抗的薄 层信息。
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信号奇异性检测及其在层位识别中 的应用
通常地震数 据中携带着大量的奇 异性属性信 息 , 而这些属性信息与阻抗不连续性有关, 因此提取 地震数据奇异性 属性可显示出地下构 造和分层的 情况。
2 s
2
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( t ) , W f ( s, t ) = f *
1 s
( t) , 则
A 和 h 0 ( A > 0, h 0 > 0) 及 n 次多项式 p n ( h) , 使得对 h< h0 有 | f ( x 0 + h) - p n ( h) | ( A | h | n< ( n+ 1 ( 4)
W 2 f ( s, t ) = f * = s
2
( t) = f *
s
d2 (f * d t2
) ( t)
小波变换 W 1 f ( s, t) 和 W 2 f ( s, t ) 分别与函数 f ( t) 被
s
( t ) 平滑后的一阶 和二阶导数成 正比。而函数 的
一阶导数的极值点对应于二阶导数的零点, 同时也 是函数 f ( t ) 本身的拐点, 且一阶导数的绝对值的极 大值对应于函数的突变点, 而极小值则与缓变信号 相对应。如图 1 所示 , 当尺度 s 较大时, 平滑过程会 消除 f ( t) 的微小突变, 而只剩下大尺度的突变。由 此可见, 当把小波函数看作某一平滑函数的一阶导 数时 , 信号小波变换模的局部极值点对应信号的突 变点 ; 当把小波函数看作某一平滑函数的二阶导数 时, 信号小波变换模的过零点也对应于信号的突变 点。因此, 突变点的位置可以是小波变换的过零点 , 也可以是极值点 。一般说来 , 根据过零点做检测 不如根据极值点做检测准确。
f ( t ) 的连续小波变换为 W f ( s, t ) = f * = s ( t) = f *
s s s d ( t) dt
d (f * dt
2 s
) ( t) s
2
( 2) d2 s ( t) d t2 ( 3)
则称 f ( x ) 在 x 0 附近有李普希兹指数 , 以下简称李 氏指数。李氏指数是刻画点奇异性大小的量。 如果式( 4) 对一切 x 0 、 x 0 + h ∋ ( a, b) 均成立 , 则 称 f ( x ) 在 ( a, b) 上具有相同的李氏指数 。李氏指 数 越大 , f ( x ) 在 x 0 处越光滑 ; 李氏指数 越小, 奇异性也就越明显。如果函数 f ( x ) 在 x 0 点连续可 微 , 则 f ( x ) 在该点的李氏指数为 1 ; 如果函数 f ( x ) 在 x 0 点可微 , 而导数有界但不连续, f ( x ) 在该点的 李氏指数仍为 1 ; 如果函数 f ( x ) 在 x 0 点不连续但有 界 , f ( x ) 在该点的李氏指数为 0。 3. 3 阻抗基函数 针对阻抗数据的特点以及受 H aar 小波尺度函 2 数的启发, 我们在 L ( R ) 函数空间构造了一组适合 波阻抗分析的基函数, 即 x1 = 1 x 2 = 1/ 2 ! x n = 1/ n 0 ( x < 1 , 其他为 0 0 ( x < 2 , 其他为 0 ! 0 ( x < n, 其他为 0 ( 5)
刘伟 , 曹思远 . 基于小波变换的信号奇异性检测在层位识别中的应用 . 石油地球物理勘探 , 2010, 45( 4) : 530~ 533 摘要 小波变换不仅具有时域和频域局部化特性 , 而且可对信号做 奇异性分析 。 通过奇异性 分析 , 既要确定 奇
异点的位置 , 又要选用合适的小波函数 与尺度 对奇异 点进行 精确的 描述 。 为此 本文针 对阻抗 数据的 特点提 出 了阻抗基函数的概念 , 并求取了更为适 合波阻 抗分析 的阻抗 基函数 。 数 值模拟 结果表 明阻抗 基函数 很好地 反 映了阻抗在深度上的不连续性 , 从而极易 求出阻抗的层位信息 。 关键词 小波变换 信号奇异性 阻抗基函数 模极大值
2010 年 8 月
第 45 卷
第 4期
! 综合研究 !
基于小波变换的信号奇异性检测 在层位识别中的应用
刘 伟*
∀ #
曹思远 ∀ #
( ∀ 中国石油大学 ( 北京 ) 油气资源与探测国家重点实验室 , 北京 102249; # 中国石油大学 ( 北京 ) CN PC 物探重点实验室 , 北京 102249)
1 1 1 s 2 2
3. 2 奇异性大小的确定 若一个函数存在无限次可导就称其为光滑或者 说没有奇异性 , 若一个函数在某处有间断点或存在 某阶导数不连续, 通常叫做函数的奇异性, Baidu Nhomakorabea用李普 希兹指数 来表征。 设 n 是一非负整数 ( n <
[ 5, 6]
( n+ 1 ) , 若存在常数
( t ) = d ( t ) / dt ; 并定
而且可对信号 做奇异性分析
[ 3]
。在做奇异 性检测 t- b dt ( 1) a
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引言
在地球物理勘探中, 寻找地壳物质物性参数的
时 , 我们选择连续小波变换。连续小波变换定义为 W f ( a, b) = 1 | a|
∃ f ( t)
- %
+ %
*
奇异性非常有意义[ 1] 。地震波的传播在地下介质的 分界面会产生速度和方向的变化 , 这些都是地球物 理信号的奇异性。判断出奇异性的大小和位置 , 就 可以对异常现象做出解释。地震数据携带着大量的 奇异性信息 , 对地震数据而言 , 奇异性分析就显得很 重要。 传统的奇异性检测方法基于傅里叶变换, 它是 研究稳定信号的主要处理方法 , 然而此法只能反映 信号的整体奇异性, 对信号的局部奇异性却无法描 述。小波变换具有傅里叶变换在时域和频域方面所 欠缺的局部化能力, 可以聚焦到信号的任何细节, 因 此它是一种检测奇异性的有力工具。利用小波变换 在时间和频率域的局部化特性 , 对离散或连续信号 做奇异性分析, 可以揭示来自地下的地震数据奇异 性信息。
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小波分析基础
小波变换不仅具有时间和频率局部化特性
[ 2]
,
信号的突变点。
* 北京市昌平区中国石油大学 ( 北京 ) 油气资源与探测国家重点实验室 , 102249 本文于 2009 年 6 月 24 日收到 , 修改稿于同年 10 月 19 日收到。 本项研究由国家 863 项目 ( 2007A A S06Z229) 和国家重大专项 ( 2008ZX05024 001 01) 资助。
1~ 1701道 , 采样点数为 1401, 采样率为 2ms, 总时 间为 0~ 14010m s 。 图 3 是从 M armo usi ) 阻抗模 型
第 45 卷
第4期
刘伟等 : 基 于小波变换的信号奇异性检测在层位识别中的应用
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( 3) 基于小波变换的信号奇异性检测方法可以
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信号的奇异性分析是以信号的小波变 换为基
第 45 卷
第4期
刘伟等 : 基 于小波变换的信号奇异性检测在层位识别中的应用
531
设 ( t ) 是一个平滑函数, 则函数 f ( t ) ∋ L 2 ( R ) 在尺度 s 下的边缘定义为 f ( t ) 被 s ( t) 平滑后的局 部突变点。假设小波 及待分析信号 f 都 是实函 数, 尺 度参数 s > 0 , 则 f ( t ) 与 ( t ) 的 卷积衰减 了 f ( t ) 的高频信号 , 但不改变 f ( t ) 的低频信号 , 从而 平滑了 f ( t ) 。 令 1 ( t) = d ( t ) / d t, 义 W f ( s, t) = f *
式中: f ( t) 是一个时间域函数 ; 为小波变换系数。
( t) 为分析小波 ( 或
称母小波) ; b 为位移因子; a 为尺度因子 ; W f ( a, b) 小波变换的时 & 频局部化特性依赖于尺度因子 a 和位移因子 b , a 越大相当于频率越低, a 越小则 频率越高, 即低频时小波变换的时间分辨率较低 , 而 频率分辨率较高; 高频时小波变换的时间分辨率较 高 , 而频率分辨率较低 , 符合信号变化的特点。
提高识别地层分界面的能力。
参 考 文 献 [ 1] [ 2] [ 3] 周 静毅 , 印兴耀 , 吴国忱 . 小波变换与地震奇异 性属性 . 物 探化探计算技术 , 2006, 28( 2) : 117~ 120 刘 传虎 , 刘福贵 , 李卫 中 . 时频分析 方法 及在储 层预 测 中 的应用 . 石油地球物理勘探 , 1996, 31( 增刊 ) : 11~ 17 Stephane M a llat , Hw ang Wen Liang . Singularit y de tectio n and pro cessing w ith w avelets. I EE E T r ansac tion on I nf o rmation T heor y , 1992 , 38: 617~ 622 陈 中 , 赵联文 . 信号奇 异性检 测中小 波分析 的应 用 . 重 庆 师范大学学报 ( 自然科学版 ) , 2004, 21( 2) : 15~ 27 Dav ies R, G or do n F R. Gr aph do minat ion, tabu search and the football poo l problem. D iscr ete A p p lied M athematics , 1997 , 74 ( 3 ) : 217~ 228 张 旭东 , 詹毅 , 马永琴 . 不同信号的小波变换去 噪方法 . 石 油地球物理勘探 , 2007, 42( 增刊 ) : 118~ 123
中抽取的第 100 道阻抗数据 ( 图 3a) 和对其进行奇 异性检测后的结果 ( 图 3b) 。由图可以看出, 奇异性 检测出的阻抗界面与原阻抗数据的分界面 ( 图 3a) 吻合程度很高。 图 4 是 M ar mousi ) 阻 抗模 型经 奇异 性检 测 后识别出来 的阻抗界 面, 由图可 以看出界 面位置 清晰可见。为了 说明图 4 结果 与原始 模型 ( 图 2) 的吻合程度, 现将图 4 投影到图 2 上得到图 5。由 图 5 可以看 出, 这 种 基 于 小 波 的 奇 异 性 检 测 方 法可以将阻抗差 异较小的 阻抗界面 检测 出来, 而 且检测出的界面位置与 原始模型界面 位置吻合得 很好。 4. 3 实际阻抗资料处理结果 图 6 是实际地震波 阻抗剖面及其 奇异性检测 结果, 同样可以看出界面位置清晰可见。图 7 是原 始叠加剖面与实 际阻抗剖面奇异性检 测结果的对 比 , 这种基于小波变换的信号奇异性检测方法可以 为传统的直接在 叠加剖面上追踪层位 的方法提供 一种参考方案 , 而且更有利于层位及薄层的识别与 解释。