经济学中的计算方法 课程论文

二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用
摘要：本文介绍了期权在历史中是怎样形成的，并且在现代金融学快速发展的情况下，如何运用数学工具对其定价。

期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。

在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。

关键词：二叉树期权定价
与其它衍生产品相比, 期权市场的发展有着更为漫长和曲折的
历史。

期权交易的第一项记录是在《圣经·创世纪》中的一个合同制的协议，里面记录了大约在公元前1700年，雅克布为同拉班的小女儿瑞切尔结婚而签订的一个类似期权的契约，即雅克布在同意为拉班工作七年的条件下，得到同瑞切尔结婚的许可。

从期权的定义来看，雅克布以七年劳工为“权利金”，获得了同瑞切尔结婚的“权利而非义务”。

除此之外，在亚里士多德的《政治学》一书中, 也记载了古希腊哲学家数学家泰利斯利用天文知识，预测来年春季的橄榄收成，然后再以极低的价格取得西奥斯和米拉特斯地区橄榄榨汁机的使用
权的情形。

这种“使用权”即已隐含了期权的概念, 可以看作是期权的萌芽阶段。

也许令人印象更加深刻的是17世纪荷兰的郁金香事件，疯狂的投机损害了期权在人们心目中的形象，直至100多年后，伦敦期权交易也依然被认为不合法。

1990年，哈里·马科维茨（Harry Markowitz），威廉·夏普（William Sharp）和默顿·米勒（Merton Miller）获得诺贝尔经济学奖，让金融学进入了一个新领域，从此，人们开始更加科学化的研究股票的价值，使得传统金融发展为现代金融，现代金融理论的核心问题是金融衍生物定价问题。

1994年8月，国际互换和衍生协会(interllatiollalswaPsand derivativesassoeiation，ISDA)在一份报告中对金融衍生品做了如下描述“衍生品是有关互换现金流量和旨在为交易者转移风险的双边合约。

合约到期时，交易者所欠对方的金额由基础商品、证券或指数的价格决定”。

期权和期货是金融市场中
比较重要的两类金融衍生物，期权是持有人在未来确定时间，按约定的价格向出售方购入货出售一定数量和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入或卖出的义务，期权按合约中有关实施的条款可以分为欧式弃权和美式期权，欧式弃权只能在合约规定的到期日实施，美式期权可以在合约规定的到期日之前（包括到期日）任何一个工作日实施，齐全按合约中购入和销售原生资产可以分为看涨期权和看跌期权，看涨期权是一在确定的时间，按照确定的价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约，看跌期权是一在确定时间，按照确定的价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约。

期权定价问题是金融衍生物定价问题中的重要问题之一，二叉树是由考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox, Ross, Rubinstein）首先建立，本文在风险中性的市场中如何利用复制来化解风险，运用二叉树模型对欧式弃权进行定价，并利用Matlab进行了二叉树的多步实现。

与马克维茨的均值-方差分析相比，期权在风险管理、组合投资方面具有着本质的不同和明显的优势。

理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。

这种组合的确定依赖于对衍生证券价值的合理预期。

当然，期权持有者也必须为自己获得的权利付出“代价”，这就产生了期权定价问题。

1.单时段二叉树模型
起点和终点分别记时刻0与时刻１，ｈ和t分别表示一枚硬币的正面和反面，时刻０股票价格为Ｓ０＞０，时刻１股票价格将为Ｓ1（h）或Ｓ1（t），上升因子为ｕ＝Ｓ1（h）/Ｓ0，下降因子为ｄ＝Ｓ1（t）/
Ｓ０，ｒ为利率 假设０＜ｄ＜１＋ｒ＜ｕ，定义如果抛掷硬币结果为
正面 衍生证券在时刻１的支付为V 1（h ）如果抛掷硬币为反面 衍生
证券在时刻１的支付为V 1（t ） 欧式看涨期权和欧式看跌期权是特殊
的衍生证券 欧式看跌期权在时刻１的支付为（Ｋ-Ｓ1 ）+欧式看涨期
权在时刻１的支付为（Ｓ１－Ｋ）+，其中Ｋ是到期日的敲定价格。

为
确定衍生证券在时刻０的价格Ｖ0,我们将利用复制期权的方法。

假设
初始财富为Ｘ０，在时刻０买入Δ０份股票，现金头寸为Ｘ０－Δ０，Ｓ０在时刻１股票与货币市场账户的资产组合价值为
1010000010(1)()(1)[(1)]X S r X S r X S r S =∆++-∆=++∆-+，
选择Ｘ０ 和Δ０，使得Ｘ１（Ｈ）＝Ｖ1（Ｈ）和Ｘ1（Ｔ）＝Ｖ1（Ｔ） 为使衍生证券得以复制必须有
001010010111(())(),1111(())(),11X S H S V H r r X S T S V T r r
+∆-=+++∆-=++ 如果选取11,r d u r p q u d u d
+---==--，使得 0110111
10111[()()]11[()()],1()()()()S pS H qS T r
X pV H qV T r
V H V T S H S T =++=++-∆=- 由以上对冲衍生证券的空头，到时刻1支付为V 1的衍生证券在时刻0的定价应为0111[()()],1V pV H qV T r =++ 2.多时段定价模型
我们将上面单时段模型推广到多时段，考虑一个Ｎ时段二叉树资产定价模型 其中0＜d ＜１＋r ＜u 并且p ，q 定义如上。

设V N 为一个随机变量（衍生证券在
时刻Ｎ的支付）。

它取决于前Ｎ次抛掷硬币过程W 1,W 2···W n
121121121()[()()]1n n n n n n V w w w pV w w w H qV w w w T r ++=++， 对于0到N 之间的n ，衍生证券在时刻n 的价格有风险中性定价公式[](1)
N n N n V V E r -=+给出， 进一步在p 之下，衍生证券的贴现价格是一个鞅，即 11
1[](1)1(1)n n n n V V E r r r ++=+++ n=0，1，···n-1 3.隐含波动率在期权定价中的应用
通过大量实证研究表明，应用期权的市场价格和B-S 公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向的变动规律：波动率微笑（volatility smiles ）与波动率期限结构（volatility term structure ）。

首先介绍波动率微笑。

Black-Scholes 模型的假设前提是，标的资产价格服从几何布朗运动且其波动率固定不变。

抛开复杂的数学定义和推导，我们单从形态上观察，分别以执行价格和隐含波动率为横纵坐标轴，隐含波动率常常呈现“微笑”形态，即对于具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，这些期权的执行价格偏离现货价格越远，那么它的隐含波动率越大，看起来像个笑脸，波动率微笑也因此得名。

图1：波动率微笑
为什么会出现这种现象呢？有很多种解释，第一种是资产价格非正态分布说。

这种理论认为，标准Black-Scholes模型假定标定资产价格服从对数正态分布，收益率服从正态分布。

但是大量实证检验发现收益率的分布更加显示出尖峰厚尾的特征。

这种分布下收益率出现极端值的概率高于正态分布，如在上式中采用收益率正态分布假设，则低估了较大和较小到期期权价值出现的概率相应低估了深实值和深虚值期权的价格。

第二种是期权市场溢价说。

从市场上看，平价期权以实值状态结束和以虚值状态结束的概率基本相同，其时间价值最大，供给和需求基本平衡。

深实值期权的Delta值接近1，在投资中的杠杆作用最大，需求量很大。

但是除非投资者预期标定资产的价格会有一个根本性的变动，一般不会出售深实值期权，供给量较小。

因此深实值期权的溢价较高，其隐含波动率也较高。

对相同协定价的看涨期权和看跌期权，当一个处于深实值状态时，另一个必然处于深虚值状态。

根据看涨看跌平价关系，这两个期权的波动率应当大致相同。

可见实值看涨期权的溢价也会造成虚值看跌期权的溢价，从而呈现隐含波动率“微笑”。

当然，除了这两种解释，学者们还提出了其他解释，如资产价格跳跃过程说、资产价格预期说、交易成本不对称说等等。

再来解释另一个概念——波动率期限结构，也被称为波动率偏度，是指对于相同标的物和执行价格而到期日不同的期权，这些期权的隐含波动率同期权有效期限之间的关系，称为波动率期限结构。

一般来说，当短期的隐含波动率较低时，波动率往往是期限的递增函数，因为这时波动率预期会升高。

类似地，当短期的隐含波动率较高时，波动率往往是期限的递减函数，因为这时波动率预期会减小。

国外的交易员常常结合波动率微笑和波动率期限结构来为期权定价，方法是建立一个波动率矩阵（表格形式），一边填上期权的执行价格，一边填上期权的剩余期限，表中其它空位对应的是由定价模型推倒出的期权的隐含波动率。

在任意给定时间，交易员往往选定一些市场价格比较可靠的期权价格数据（这些期权大多平值期权，非深度实值，非深度虚值期权，且交易活跃），对应于这些点的隐含波动率可以直接由市场价格来求得，并输入到波动率矩阵中，波动率矩阵上其它点的数据常常是通过线性插值计算得出的。

当要对一个新的期权定价时，我们可以在波动率矩阵中选取适当的数据。

举个例子，如表1所示，对一个9个月到期，执行价格为100美元/桶的原油期权定价，我们可以从矩阵中选取执行价格为100美元/桶的那一列期权隐含波动率来对
此9个月到期的原油期权进行插值，作为该期权隐含波动率的估计，
此估计可以用于Black-Scholes公式以求出期权价格，该价格将投资者对市场价格预期考虑进去，因此具有较高的参考价值。

表一
四：美式期权定价模型
在欧式二叉树的基础上，接下来考虑美式二叉树。

与欧式二叉数不同的是，美式期权中的二叉树的最后一个节点的价格为欧式期权的价格，而之前任一节点期权的价格等于以下数量的极大值：
●由欧式期权所计算的值；
●提前行使期权的收益。

由此可见，美式期权中使用二叉树进行期权定价的原理与欧式中的大致一样，故计算多步二叉树时，仍然可以使用前面的思想，将多步二叉树分解成多个单步二叉树。

为此，在下面的过程中先考虑没事中的单步二叉树的计算，在考虑多步二叉树的计算。

1、单步二叉树
由于单步二叉树中的期权定价还与期权的类型有关，下面将分看涨与看跌期权分类讨论。

（1）看涨期权
股票价格
期权价格f
股票价格dSo 期权价格0
票价格uSo 权价格fu
股价上涨时，期权的价格为u f ，若股票下跌时，则期权的价格为0=d f ，由欧式期权价格模型可知，])1([1d u rt f p pf e f -+=-,此时（初始时刻），将股票抛出，则收益为12H H -，（2,1H H 为股票在初始时刻价格以及期权的执行价格）：
情形1、若112f H H >-，则这份期权的最佳收益f 为12H H -； 情形2、若112f H H <-，则这份期权的最佳收益f 仍为1f ； 所以，
)12],)1([max (H H f p pf e f d u rt --+=-
（2）看跌期权
股票价
格期权价格f
股票价格dSo 期权价格fd
票价格uSo 权价格0
股价上涨时，期权的价格为0=u f ，若股票下跌时，则期权的价格为0f ，由式（5）可知，])1([1d u rt f p pf e f -+=-,此时（初始时刻），将股票抛出，则收益为21H H -，（2,1H H 为股票在初始时刻价格以及期权的执行价格）：
情形1、若121f H H >-，则这份期权的最佳收益f 为21H H -； 情形2、若121f H H <-，则这份期权的最佳收益f 仍为1f ； )21],)1([max (H H f p pf e f d u rt --+=-
2、多步二叉树
上面我们讨论了单步二叉树模型给美式股票期权定价。

接下来讨论多步二叉树模型对美式股票期权定价。

假设股票价格经历了n 个时间步的演化到达期权到期日，且每一个时间步长为t ，这可用一个n 步二叉树描述（图形省略）。

若股票的初始价格为0S ，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的u )1(>u 倍，或向下下降到当前价格的 u d /1=倍，无风险利率为的r ，则在第k )1(n k ≤≤ 个时间步后，二叉树上产生1+k 个节点，自上而下分别用k k k k k A A A A ,,,210 表示，则节点i k A 对应的股票价格为
0S d u i i k -k i ,,2,1,0 =期权价值用k i i k f ,-表示。

如果在节点i k A 处期权没有被
提早执行，则期权价值 tk i i k f ,-可通过式(8.2)和(8.3)来计算，即
])1([11),1(11,1,+++-++-+---+=k i i k k i i k rt tk i i k f p pf e f
如果在节点i k A 处期权被提早执行是最优的，则期权价值k i i k f ,-就是
提早执行的收益（payoff ），令X 为期权的敲定价，
对股票看涨权，有
X S d u f i i k ttk i i k -=--0,
对股票看跌权，有
0,S d u X f i i k ttk i i k ---=显然，美式股票期权在节点i k A 处的价值应该取tk i i k f ,-和ttk i i k f ,-中的较大者，即
),max(,,,ttk i i k tk i i k k i i k f f f ---= 由于美式股票期权在期权到
期日的价值是已知的，因此美式股票期权的定价应该由前向后逐步计算，这也称作向后推演（backwards induction ）。

先由第n 步（期权到期日）的1+n 个节点上的期权价值推出第1+n 步对应的 个节点上的期权价值，依此下去，我们可以得到初始时间上的期权价值。

4.应用及matlab 程序
function amoption(s0,E,rf,sigma,T,dt,ds,smax)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 隐式法求解美式看跌期权
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 输入参数说明：
% s0 0时刻股价
% E 执行价
% rf 无风险利率
% T 到期日（单位：年）
% sigma 股票波动的标准差
% smax 股票最大值
% ds 股票价格离散步长
% dt 时间离散步长%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 初始化 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
M=round(smax/ds);
N= round(T/dt);
ds=smax/M; % 重新确定股票价格步长
dt=T/N; % 确定时间的步长%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for j=1:M
a(j)=0.5*rf*j*dt-0.5*sigma^2*j^2*dt
b(j)=1+sigma^2*j^2*dt+rf*dt
c(j)=-0.5*rf*j*dt-0.5*sigma^2*j^2*dt
end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
L=zeros(M-1,M-1);
L(1,1)=b(1);L(1,2)=c(1); % 边界条件L(M-1,M-2)=a(M-1); L(M-1,M-1)=b(M-1); % 边界条件 for j=2:M-2
L(j,j-1)=a(j);L(j,j)=b(j);L(j,j+1)=c(j)
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for j=1:M-1
f(j,N+1)=max(E-j*ds,0)
end
for i=N:-1:1
F(1)=f(1,i+1)-a(1)*E;F(2:M-1)=f(2:M-1,i+1) % 终值条件
f(1:M-1,i)=L^(-1)*F'
for j=1:M-1 % 判断是否行权
if f(j,i)<E-j*ds
f(j,i)=E-j*ds
end
end
end;
调用函数计算
amoption(50,50,0.1,0.4 ,5/12,5/2400,0.5,100)
参考文献
1.期权、期货和其它衍生产品，John Hull，华夏
2.期权定价的数学模型和方法，礼尚著，高等教育
3.金融衍生产品定价的数学模型与案例分析，礼尚等著，高等教育
4.金融衍生产品定价—数理金融引论，建著，中国经济
5.金融衍生工具中的数学，朱波译，西南财经大学
6.期权定价的数学模型和方法礼尚第２版教育。