高三一轮复习_排列组合

(4)组合数的性质：①Cm n＝
C
nm n
m ；②Cn ＋ 1＝
C
m n
＋
C
m 1 n
.
[难点正本
疑点清源]
1． 组合数公式有两种形式， (1) 乘积形式； (2) 阶乘形 式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式 及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由 n！ m 写出 Cn . m！n－m！ 2． 要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关， 排列与顺序有关； 排列可以分成先选取(组合)后排列 两个步骤进行．
(3)(优先法) 方法一 甲为特殊元素．先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 A6 6种 方法，故共有 5×A6 6＝3 600(种)． 方法二 排头与排尾为特殊位置． 排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列， 有 A2 中间 5 个位置由余下 4 人和甲进行全排列 6种方法，
2 5 有 A5 种方法，共有 A × A 5 6 5＝3 600(种)．
(3)排列数公式：Am n ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元 素的一个全排列， An (n－1)· (n－2)· …· 2· 1＝ n！ .排列数公 n＝n· n！ m 式写成阶乘的形式为 An ＝ ，这里规定 0！＝ 1 . n－m！ 2．组合 (1) 组合 的定义：从 n 个不 同元素中 取出 m(m≤n) 个元 素 合成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元 素的一个组合． (2)组合数的定义： 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的
4 2 3 3 2 4 1 C1 C ＋ C C ＋ C C ＋ C 4 6 4 6 4 6 4C6＝246(种)
方法二
“至少有 1 名女运动员”的反面为 “全是男运动
员”可用间接法求解． 从 10 人中任选 5 人有 C5 其中全是男运动员的选法 10种选法， 有 C5 6种．
所以“至少有 1 名女运动员”的选法为
18 辩论赛，则不同的选派方法共有________ 种．
从 3 名男生中选一名有 C1 从 4 名女生中选 2 3种方法，
解析
名，有 C2 4＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知，不同的
2 选派方法共有 C1 C 3 4＝18(种)．
4．(2010· 北京)8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老 师不相邻的排法种数为( A ) 2 8 2 8 2 A．A8 A B ． A C C ． A 8 9 8 9 8A7
2. 从 1,2,3,4,5,6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数， 组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有
54 个． ____
2 解析 选出符合题意的三个数有 C1 C 3 3＝9(种 )方法，
每三个数可排成 A3 3＝6(个)三位数， ∴共有 9×6＝54(个)符合题意的三位数．
3．从 3 名男生、4 名女生中，选派 1 名男生、2 名女生参加
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，
4 有 A4 4种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A4种方法，故共有 4 A4 × A 4 4＝576(种)．
(5)(插空法 )男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A4 再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排 4种方法，
方法四
(间接法)
8 8 A9 － 3· A ＝ 6A 9 8 8＝241 920(种)．
(2)先排甲、乙，再排其余 7 人，
7 共有 A2 · A 2 7＝10 080(种)排法．
(3)(插空法)
5 先排 4 名男生有 A4 种方法， 再将 5 名女生插空， 有 A 4 5种方 5 法，故共有 A4 · A 4 5＝2 880(种)排法．
这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到 思维启迪： 限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对 于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插 空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题， 常常使用“直接法”或“排除法”，(特殊元素先考虑)．
解 (1) 方法一
(元素分析法)
16 种数是________ ．(用数字作答)
解析 从 6 所高校中任选 3 所有 C3 6＝20(种)不同选法，其中
同时报考 2 所考试时间相同的选法数为 C1 4＝4(种)，故不同的
1 报名方法种数为：C3 6－C4＝20－4＝16(种)．
题型三 例3
排列与组合的综合应用
4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内．
5 的选法为 C5 － C 10 8＝196(种)．
(4) 当有女队长时，其他人任意选，共有 C4 9种选法．不选女队 长时，必选男队长，共有 C4 8种选法．其中不含女运动员的选
4 4 法有 C4 种，所以不选女队长时的选法共有 C － C 5 8 5种选法．
所以既有队长又有女运动员的选法共有
4 4 C4 ＋ C － C 9 8 5＝191(种)．
探究提高
本题集排列多种类型于一题，充分体现了
元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先 考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会 法、插空法等常见的解题思路．
变式训练 1 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不 同的排列方法总数． (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻.
§10.2 基础知识
要点梳理 1．排列
排列与组合 自主学习
(1)排列的定义： 从 n 个 不同 元素中取出 m (m≤n)个元素， 按照一定的 顺序 排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的排列数，用 Am n 表示．
先排甲有 6 种，其余有 A8 8种， 故共有 6· A8 8＝241 920(种)排法． 方法二 (位置分析法) 6 中间和两端有 A3 8种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A6种排 法，故共有 A3 A6 8· 6＝336×720＝241 920(种)排法． 方法三 (等机会法) 9 个人的全排列数有 A9 甲排在每一个位置的机会都是均 9种， 6 9 等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是 A9× ＝ 9 241920(种)．
思维启迪： (1)分步．(2)可分类也可用间接法．(3)可分类
也可用间接法． (4)分类．
Байду номын сангаас 解
(1)第一步：选 3 名男运动员，有 C3 6种选法．
第二步：选 2 名女运动员，有 C2 4种选法．
2 共有 C3 · C 6 4＝120(种)选法．
(2)方法一 至少有 1 名女运动员包括以下几种情况： 1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男． 由分类加法计数原理可得总选法数为
探究提高
排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素
取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排 列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的 差异及分类的标准．
变式训练 3
(2010· 湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同
学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导 游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参 加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、 戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( B ) A．152 B．126 C．90 D．54
2 1 2 C1 4C4C3×A2＝144(种 )．
(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球， 每个盒子至多放 1 个球， 也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒， 因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球” 是同一件事，所以共有 144 种放法． (3) 确定 2 个空盒有 C2 4种方法． 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不 2 2 C 4C2 2 3 1 2 均匀分组有 C4C1A2种方法；第二类有序均匀分组有 2 · A A2 2 2 2 C 4C2 2 3 1 2 种方法．故共有 C4(C4C1A2＋ 2 · A2 )＝84(种)． A2 2
2 D．A8 C 8 7
解析 不相邻问题用插空法，先排学生有 A8 8种排法，老
8 2 师插空有 A2 9种方法，所以共有 A8A9种排法．
5．某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传 广告，且 2 个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方 式有( C ) A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种
(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ 把不放球的盒子先拿走，再放球到 思维启迪： 余下的盒子中并且不空
解
(1)为保证“恰有 1 个盒不放球”， 先从 4 个盒子中任
意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒 子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个 球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有
探究提高
解组合题时， 常遇到“至多”、 “至少”问题，
可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算 量．当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足．
变式训练 2 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学 校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因 此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法
基础自测 1． 某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服 务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案有 ________ 14 种．
解析
3 2 2 ①有 1 名女生：C1 C ＝ 8. ② 有 2 名女生： C 2 4 2C4＝6.
∴不同的选派方案有 8＋6＝14(种)．
解 (1)从 7 个人中选 5 个人来排列， 有 A5 7＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A3 7种方法，余下 4 人 3 排在后排，有 A4 A4 4种方法，故共有 A7· 4＝5 040(种)．事实上， 本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任何限制条件．
解析 先安排后 2 个，再安排前 3 个，由分步乘法计数原理 1 3 知，共有 C1 C 2 3A3＝36(种 )不同的播放方式．
题型分类
题型一 排列问题
深度剖析
例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各 有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．
4 3 男生，有 A3 种方法，故共有 A × A 5 4 5＝1 440(种)．
题型二
组合问题
例 2 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人．选 派 5 人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员 3 名，女运动员 2 名； (2)至少有 1 名女运动员； (3)队长中至少有 1 人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员．
5 C5 10－C6＝246(种).
(3)
方法一
可分类求解：
“只有男队长”的选法为 C4 8； “只有女队长”的选法为 C4 8； “男、女队长都入选”的选法为 C3 8；
3 所以共有 2C4 8＋C8＝196(种)选法．
方法二
间接法：
从 10 人中任选 5 人有 C5 10种选法． 其中不选队长的方法有 C5 所以“至少有 1 名队长” 8种．
所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m m(m≤n)个元素的组合数，用 Cn 表示．
m A n (3)组合数的计算公式：Cm n ＝ m＝ Am
n! m!( nm)!
n(n 1)(n 2) (n m 1) ＝ ，由于 0！＝ 1 ，所以 C0 m(m 1) 2 1 n＝ 1 .