对角占优矩阵的判定条件

对角占优矩阵的判定条件
作者：田素霞
来源：《科技视界》2014年第26期
【摘要】本文介绍了α-对角占优矩阵的概念，给出了广义严格对角占优矩阵新的判定条件，改进和推广了先前有关文献的相应的结果.
【关键词】广义对角占优矩阵;α-对角占优矩阵;判定条件
对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。

本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件，改进和推广了文1-3的结果。

设A=（a■）∈C■，N={1，2，…n}=N■∪N■，N■∩N■=Φ，记∧■（A）=■a■，Si（A）=■aji
定义1 设A=（a■）∈C■，若aii>∧■（A）（？坌■∈N），则称A为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵.
定义2 设A=（a■）∈C■，若存在α∈（0，1]使aii>α∧■（A）+（1-α）S■（A）（？坌■∈N），则称A为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵.
定义3 设A=（a■）∈Z■=（a■）│a■≤0，i≠j;i，j∈N，若A=sI-B，s>ρ（B），其中：B为非负矩阵，ρ（B）为B的谱半径，则称A为非奇异M-矩阵;若A的比较矩阵M（A）=（mij）为非奇异M-矩阵，则称A为非奇异H-矩阵，其中：
设A=（a■）∈C■，把A分块为：
这里A■（1≤i≤k）为ni阶方阵，■n■=n
定义4 设A=（a■）∈C■，分块如（1），若A■（1≤i≤k）均非奇异，且：
则称A为块对角占优矩阵;如果（2）的所有不等号为严格不等式，则称A为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为块严格对角占优矩阵，则称A为广义块对角占优矩阵.
设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如下：
引理1[1] 设A=（a■）∈C■，若A为严格α-对角占优矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵.
引理2[1] 设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如（3），则A为广义块对角占优矩阵当且仅当B是非奇异M-矩阵.
定理1 设A=（a■）∈C■，若N■∪N■=N，N■∩N■=？覫及α∈（0，1]存在使得满足：
则A为广义严格对角占优矩阵.
证明：令：
若■a■=0时，记M■=+∞.由题设知0≤m■
适当选取d使之满足0≤■m■
设正对角矩阵X=diag（xi│xi=d■，i∈N■;xi=■，i∈N■），
再设B=AX=（bij），则：
当i ∈N■时，
当j ∈N■时，
所以B为严格α-对角占优矩阵，由引理1知B为广义严格对角占优矩阵，又因为X为正对角矩阵，所以A也是广义严格对角占优矩阵。

（下转第200页）
（上接第152页）定理2 设A=（a■）∈C■，分块如式（1），且A■（1≤i≤k均非奇异，构造B如式（3），若若存在M■∪M■={1，2，…∈，k}，M■∩M■=？覫及α∈（0，1]使得满足：
则A为块广义对角占优矩阵.
证明：由定理1知，如果满足定理2的条件，则B是非奇异M-矩阵，由引理2知，A为块广义对角占优矩阵.
【参考文献】
[1]孙玉祥.广义对角占优矩阵的充分条件[J].高等学校计算数学学报，1997（3）：216-223.
[2]高益明.矩阵广义对角占优和非奇的判定（Ⅱ）[J].工程数学学报，1998（1）：12-17.
[3]陈神灿.奇异M矩阵和广义对角占优矩阵的实用判定准则[J].高等学校计算数学学报，2000（1）：36-40.
[4]蒋正新，施国梁.矩阵理论及其应用[M].北京：北京航空学院出版社，1998. [责任编辑：薛俊歌]。