一元一次方程 与线段和角综合专题训练

一元一次方程与线段和角综合专题训练

一、一元一次方程在线段问题中的应用

应用策略：见比设k，利用线段之间的关系建立一元一次方程求解。

例1：（1）如图，分别在线段AB和BA的延长线上取BD=AE=1.5cm，又EF=5cm，DG=4cm，GF=1cm，若GF的中点为点M，求线段AM和BM的长度。

（2）若线段a、b、c，满足：a:b:c=3:4:5，且a+b+c=60，求线段2c－3a－b的长。

分析：

（1）由图可得：AM=AF－MF，而AF=EF-AE，MF=1

2

GF，同理可得BM；

（2）要求2c－3a－b的长，只需求出a、b、c的长，使用见比设k法，建立一元一次方程求解即可；

答案：

（1）∵AM=AF－MF

而AF=EF-AE=5-1.5=3.5

∵点M是GF的中点

∴MF=GF=0.5

∴AM=EF－AE－MF=5－1.5－0.5=3

同理可得BM=DG－BD－GM=4－1.5－0.5=2

（2）设a =3k，b =4k，c =5k，

依题意有：3k+4k+5k=60

解得：k=5

∴a =15，b =20，c =25

∴2c－3a－b=50－45－4 = 1

例2、C点是长为18cm的线段AB上的一点，根据下列条件，求AC、BC的长。

（1）AC是BC的两倍；

（2）AC：BC＝3：2

（3）AC比BC长4cm.

分析：依据给出的条件，就可以用同一未知数来表示AC和BC，根据AC+BC=18建立方程求解。

解：（1）设BC＝xcm，则AC＝2xcm，由AC+BC=18，得

218

x x

+=

解得：6

x=

∴BC=6cm，AC=12cm。

（2）设BC＝2xcm，则AC＝3xcm，由AC+BC=18，得

3218

x x

+=

解得： 3.6

x=

∴BC=7.2cm，AC=10.8cm。

（3）设BC＝xcm，则AC＝（x+4）cm，由AC+BC=18，得

418

x x

++=

（）

解得：7

x=

∴BC=7cm，AC=11cm。

练习：

1、点O是线段AB=28cm的中点，而点P将线段AB分为两部分AP:PB=24

315

：，求线段OP

的长。

解：设AP=2

3

k，PB=

4

15

k

依题意有：24

315

k k

+=28

解得：30

k=

∴AP==20

∵点O是AB的中点

∵AO=AB

∵AB= 28

∴CB=14

∴OP=AP－AO=20－14=6

2、如图所示，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC 的长。

解：设AB=2x，由AB：BC：CD=2：3：4，得BC=3x，CD=4x，AD=(2+3+4) x=9 x.

∵CD=8，∴4x=8，∴x=2。

∴CD=4x=8，AD=9 x=18。

∵M是AD中点，

∴MC=MD—CD=1

2

AD—CD=

1

2

×18—8=1。

3、如图，C、D、E将线段AB分为四部分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、N、P、Q 分别是AC、CD、DE、EB的中点，若MN=21，求PQ的长度。

解：设AC＝2x，CD＝3x，DE＝4x，EB＝5x，

∵M、N、P、Q分别是AC、CD、DE、EB的中点，

∴MC=1

2

AC=x，PD=

1

2

CD=

3

2

x，DQ=

1

2

DE=2x，EN=

1

2

EB=

5

2

x，

∵MN=21，MN=MC+CD+DE+EN，

∴534212x x x x +++

= 解得：2x =

∴PQ=PD+DQ=

322

x x +=3+4=7 二、一元一次方程在角的问题中的应用

策略：依据互余、互补的关系，用同一未知数来表示余角和补角，根据余角和补角的关系建立方程求解。

例1：一个角的余角比它的补角29

还多1°，求这个角的度数。 分析：两个互余的角的和是90º，两个互补的角的和是180º，可以依据这种关系，利用同一未知数来表示这个角的余角和补角，借助余角和补角的关系建立方程。

解：设这个角的度数是x º，它的余角为（90－x ）º，它的补角为（180－x ）º，根据题意，得

290(180)19

x x -=

-+ 解得：63x =

答：这个角的度数是63º.

例2、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，∠BOC —∠BOD =20°，

求∠BOE 的度数。

分析：观察图形可知，∠BOC 和∠BOD 互补，可以用同一未知数来表示这两个角，再利用∠BOC —∠BOD =20°建立方程求解。