【5-图论】4.树【学生版】

课程类型数学

“树”

讲义编号：

树是一种重要的图，概念与圈相对，应用极为广泛。

定义没有圈的连通图称为树，n阶的树记为。一个没有圈的图称为森林，叶（或悬挂点）是指树中度为1的顶点。

图G的一个生成子图是顶点集为V(G)的一个子图。一棵生成树是一个生成子图并且它是一棵树。

定理

1.n（≥2）阶的树至少有两个悬挂点，从中去掉一个悬挂点得到。

证明

2.对于n阶图G，下面的命题等价：

A.G是连通的并且无圈。

B.G是连通的并且有n-1条边。

C.G有n-1条边并且无圈。

D.G无圈，并且对于任意、，G恰有一条u、v路径。

证明

例1 n个镇，每个镇都可以通过一些中转镇与另一个镇通话。证明至少有n-1条直通的电话线路，每条连接两个镇。

例2 如果T，T’是连通图G的生成树并且，则存在一条边使得是G的一个生成树。

例3 如果T是一棵具有k条边的树，G是一个简单图且最小的顶点度是，则T是G的一个子图。