第1讲二次根式运算(二次根式)讲义
湘教版八年级数学 5.1 二次根式(学习、上课课件)
)
A． x ＜ 1
B． x ＞ 1
C． x ≤ 1
D． x ≥ 1
感悟新知
知2－练
1
2-2.要使代数式
有意义，则 x 应满足的条件
x－2 024
x＞2 024 ．
是___________
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质
知3－讲
1. 二次根式的性质
(1)双重非负性：二次根式 a表示非负数 a的算术平方
2 ≤ 0,
∴
－
(x+1)
∵ －x2－2x－3=－ ( x+1) 2－2<0，
∴ － (x+1)2－2＜ 0
∴ 不论 x 为何实数， －x2－2x－3都小于 0，
∴ 不论 x 为何实数， －x 2－2x－3都无意义 .
感悟新知
知2－练
2-1.若式子 x－1在实数范围内有意义，则 x的取值范
围是( D
(3) x － 2 － 5 － x ； (4)
(6) －x 2－2x－3.
1
；
3x+7
x+4
； (5) x 2+2x+2；
x－2
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“求含有字母的式子有意义的字
母取值范围的方法”求解 .
感悟新知
(1) － 2x － 6+( x+5)
解：由题意得 ቊ
(2)
0
知2－练
－ 2x － 6≥ 0，
∴x≥－4且x≠2.
x － 2 ≠ 0，
知2－练
感悟新知
(5) x 2+2x+2
知2－练
解：∵ x 2+2x+2=(x+1) 2+1>0，
(精品)数学讲义8Q-1二次根式(教师)
第1课时二次根式课时目标1. 了解二次根式的概念及二次根式有意义的条件；2. 掌握二次根式的四个基本性质；3. 会根据二次根式的性质化简二次根式；4. 了解什么是同类二次根式，并会合并同类二次根式；5. 掌握二次根式的加法和减法运算法则；6. 掌握二次根式的乘法和除法法则.知识精要1. 定义)0a≥叫做二次根式，其中aa≥.2. 二次根式的性质性质1 ()0a a=≥（双重非负性）性质2 ()20a a=≥()()()00a aa aa a≥⎧⎪===⎨⎪-<⎩性质3 =()0,0a b≥≥性质4 =)0,0(>≥ba3. 化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为化简二次根式.化简关键：将被开方数因式分解或因数分解，使出现完全平方数或偶次方因式，最后结果的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即化成最简二次根式. 化简二次根式同时满足两个条件：（1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母. 4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以进行合并. 5. 二次根式的加法和减法一般过程：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.（化简，合并）)0()(≥+=+c c b a c b c a6. 二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；)0,0(≥≥=⋅b a ab b a（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.)0,0(>≥=b a baba 7. 分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.一般方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. 8. 有理化因式两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的非零代数式叫做互为有理化因式. 注:有理化因式不唯一(1)如单独一项 ；(2)；；热身练习1. 当x 取何值时，下列各式有意义.（确定字母的取值范围）（1 32x ⎛⎫⇒≥⎪⎝⎭（2()0x ⇒≤（3( x 是任意实数) （4）()2x ⇒>（5）3x - ()43x x ⇒≥-≠且 （6()3x ⇒=2. 二次根式的运算（1）（48－814）－（313－5.02） （2）（548＋12－76）÷3； 解：原式 ＝33 解：原式＝（203＋23－76）×31＝20＋2－76×33＝22－221．（3）50＋122+－421＋2(2－1)0；解：原式＝52＋2(2－1)－4×22＋2×1 ＝52＋22－2－22＋2 ＝52．精讲名题例1：)0(323543<a c b a解：易知0c ≤，则原式=()2234a b c =⨯⨯-⨯⨯212ab c =-练习：化简二次根式（1 （20)m ≤ 解：0a <易知， 解：原式=m 7-则原式=3=3=-；（3）已知，02x <<解：原式 =22x x =++-2222x x x x +-==例2：解不等式)1x x ≥+解：3x ≤--练习：解方程和不等式（1）=- （2）54215323->+y yx =61211<y（3）-+5x >例3分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷． 解：设422-++=n n a ，422--+=n n b ，那么 )2(2+=+n b a ，)2(4)4()2(22+=--+=n n n ab ，n abb a ab ab b a ab b a a b b a =-+=-+=+=+=∴2)(2)(2222原式练习： 有这样一道题，计算：x x x x x x x x x x +---+--+-->2222244442()的值，其中x =1005，某同学把“x =1005”错抄成“x =1050”，但他的计算结果是正确的.请回答这是怎么回事？试说明理由.解析：这是一道说理型试题，既然x 的值取错，计算结果仍是正确.那么可以猜测此二次根式化简后与x 的值无关.这时应化简二次根式，揭开它神秘的面纱. 解：设42-+=x x a ，42--=x x b ，那么 x b a 2=+，4)4(22=--=x x ab ，22)(2)(22222-=-+=-+=+=+∴x abb a ab ab b a ab b a a b b a 22-=-+=∴x abb a 原式 计算结果不含x ∴即使抄错x 的值，计算结果依然是正确的.备选例题例1. 已知：x +y =－5，xy =4，求xyy x +的值. 分析：因为xy =4，所以x 、y 同号，又因为x +y =－5，所以x 、y 同为负数. 解法一：经分析知，x <0，y <0 原式=xyxy y x x xy y xy x xy y xy xxy yxy )(22+-=-+-=+=+ 当x +y =－5，xy =4时，原式=25解法二：设xy yx +=m 两边平方得：22)(222222+-+=++=++=xyxyy x xy y x x y y x m 当x +y =－5，xy =4时，4252=m ，即原式=25例2. 一类特殊的二次根式求和问题+⋅⋅⋅+解：原式=9900100999910063223222-++-+-=10010099993322221-++-+-=1001001- =910巩固练习1．如图所示，数轴上点A 与点B 分别对应实数a 、b ，下列四个等式中正确的个数有（ B ）（1）a a -=2 （2）a a =2)(（3）b a b a +=+2)(（4）a b a b -=-2)( A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、42. 若0,0x y >>，则化简 C ） A、BCD、3．设24-的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为（ A ） A 、221-B 、2 C、12+ D 、2- 4．把（a －1中根号外的（a －1）移入根号内得（ D ） A、 BCD5．设a =，则 ( A ) A 、01a << B 、1a = C 、12a << D 、2a >6. 当m为何值时，二次根式. 解：由已知得：m m 61232624-=-，32234326-=-m m · 0· 1· A· B32612-=-∴m m815=∴m7. 看下列解题过程是否正确，如果错误请说明理由并改正.（1)1解：原式1=同一级运算中，要按从左到又的顺序进行，正确答案是423-.（2解：原式= 乘法对加法的分配律在除法中不能随便套用，正确答案是3223+.8.已知a =和代数式（1）上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？解：2222)1(214)1(a a a a a a +=++=+-，2222)1(214)1(aa a a a a -=-+=-+.（2）如何确定1a a -和1a a+的值是正值还是负值？解：23231-=+=a ，231+=a∴0321>=+aa ，0221<-=-a a（3解：原式=2232211|1||1|-==-++=--+a aa a a a a a a自我测试1. 下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ D ） A 、31-=x y B 、31-=x yC 、3-=x yD 、3-=x y2. 下列变形中，正确的是………（ D ）A 、(23)2＝2×3＝6B 、2)52(-＝－52C 、169+＝169+D 、)4()9(-⨯-＝49⨯ 3. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ D ） A 、45与20 B 、3x 与2xy C 、x5与2345y x D 、xy 与y x 11+4. 下列根式中，不属于最简二次根式的是（ D ）A 、a 3B 、22y x +C 、x 331D 、9 5. 若0,0x y >>，则化简 C ） A、BCD、6. 如果最简二次根式83-a 和a 217-是同类二次根式，那么求使a x 42-有意义的x 的取值范围.解：由已知得：a a 21783-=- 解得 5=a0202≥-∴a 即 10x ≥7. 分母有理化：10321032-+解：原式(2221122+===+8. 解方程：)35(3)51(5+=+x x解：x =x =25)35(54⨯+=x515210+=x9. 解不等式：x x 181)83(21+<-解： 12>16x >10. 02)+02)+(11|1=++．111=．1=。
二次根式(第1课时)北师大数学八年级上册PPT课件
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14； （2）81； （3） - 0.8；（4） -3x (x 0)
（5） m (m，n异号，n 0）（6） x2 ；4 （7） 3 15
n
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
探究新知 知识点 1
二次根式的概念
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b)(其中b 24, c 25) 121
这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
探究新知
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
提示：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ ”
巩固练习
变式训练
判断下列各式是否为最简二次根式？
（1） 12 （ ×） （3） 3 （ √ ） × （5） ab2 （ ）
（2） 4.5 （ × ） × （4） 1 （ ）
2
× （6） 2x2 8x 8（ ）
连接中考
1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ B ）
A． 1
2
B． 2 C． 4
D． 12
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0， 所以x＞1.
探究新知
（2） x 3
x 1
解：因为被开方数需大于或等于零， 所以x+3≥0，即x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以x-1≠0，即x≠1. 所以x≥-3 且x≠1.
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
二次根式讲义
二次根式讲义 一、知识点梳理 1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2.定义重点①式子有意义：)0(≥a a 中必须，否则，式子没有意义②隐含条件：)0(≥a a ，则，即也为非负数4. 二次根式的乘除运算b a ab ⋅=（00≥≥b a ，）)0,0(≥≥=b a b ab a根式中分母不能含有根号，且要变为最简。
6.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
三、典型例题讲解 例11、用代数式表示：（1）面积为S 的正方形的边长为______．(2）•面积为10•的直角三角形的两直角边的比为1：•2，•则这两条直角边分别为______．2、在二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）A ．1<aB ．1≤aC ．1≥aD ．1>a 3、下列式子中，是二次根式的有（ ）①22x +，②3x ，③32，④2()x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、（1）若0≥a ，则a _____0．（2）若021=++-x y ，则=x _____，=y ______． 5、求使式子有意义的实数x 的取值范围．（1）2x - （2）11x - 例21、计算：（1）=2)3(______；（2）=-2)52(_____． 2、下列式子正确的个数是（ ）①2)4(4±=；②3)3(2-=--；③1)2()3(22=-；④2)7(7=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在实数范围内分解因式792-a ．解：=-=-222)7()3(79a a （ ）·（ ）4、计算：（1）22＝______．（2）2(5)-＝_____； （3）2211010-=＝______．5、计算： （1）2(2)x -（2≤x ） （2）2(32)- （3）－2(3.14)π-例31、计算：（1）2×7＝______．（2）12×8＝______； （3）0.1×100＝_______．2、下列运算不正确的是（ ）A ．0.40.6⨯＝0.2×0.6＝1.2B ．4×36＝2×6＝12C ．0.4 3.60.4 3.6 1.44⨯=⨯=＝＝1.2D ．a ·3＝3a （0≥a ） 3、计算：（1）3×（－212） （2）2×6×13（3）2ab ·1b （4）－12xy ·（－4y ）4、计算：（1）812＝______；（2）126＝_____．5、计算：（1）318÷2＝_____；（2）293x y xy ÷＝______． 例41、化简：（1）8＝______；（2）1327＝____．2、化简：（1）3a ＝_____；（2）2316x y ＝_____．3、化简：（1）56＝______； （2）－125015⨯＝______； （3）2332ab c＝______；4、下列计算正确的是（ ）A ．－1210×2＝－1220B ．y x xy x xy x 31313313=⋅=⋅C ．112882887272⨯=⨯＝4＝2 D ．534＝5435、把38化为最简二次根式为_______．6、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．aB ．31C ．1x D ．21a +四、举一反三 1．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间2．（2012杭州）已知)212()33(-⨯-=m ，则有（ ）A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－5 3.（2012泰安）下列运算正确的是（ ）A ．2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4．（2012德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ）A ． 0≥xB ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数5.（2011山东菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为（ ）A ． 7B ． －7C ．152-aD ． 无法确定6.（2011山东济宁）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．7D ．－77．（2011山东烟台）如果aa 21)12(2-=-，则（ ）A ．21<a B. 21≤a C. 21>a D. 21≥a8．（2011山东日照）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(＝0，那么20112011y x -＝ ．9. （2011山东枣庄）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a※b ＝b a b a -+，如3※2＝32532+=-．那么8※12＝ ．10.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简22()()a b c b a c +-+--－a b c --．a 105第2题图第4题图 五、过关测试二次根式的定义 1、二次根式11x --有意义，则实数x 的取值范围为_____． 2、矩形面积为12cm 2，矩形的长与宽之比为3：2，则矩形长为_____cm ，宽为____cm ． 3、无论实数x 取何值下列式子总有意义为（ ）A ．2(1)x -- B ．21x -+ C ．21x + D ．1x -4、如图所示，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．65、如图所示，在平面直角坐标系中，A （－2，3），B （－4，0），C （－2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．6、已知1433b a --与114+-b a 互为相反数，试求a ，b 的值．7、已知x ，y 为实数，且y ＝1122x x -+-＋12，求x ，y 的值．二次根式的性质1、计算：（1）=2)75(____________； （2）=-2)2(x ______．2、（1）当0≥x 时，=-2x ______________；（2）当0≤x 时，2x ＝______． 3、下列式子计算不正确的是（ ）A ．3)3(2=B ．a a =-2)(（0≥a ）C ．2(32)-＝3－2D ．15)53(2-=- 4、计算：（1）22)3553()54(- （2）22(6)(8)-+-（3）2)52(494-⋅+ （4）2230.6--5、已知实数x 在数轴上的位置如图所示，化简2222(1)(2)x x x --+-．6、（改错题）计算：（2x -）2＋2(3)x - 解：（2x -）2＋2(3)x -＝2－x ＋x －3 ① ＝－1 ②你认为上述解答过程是错在第_____步，为什么？并求出正确的结果．二次根式的乘法 1、计算：（1）－122×3＝_____； （2）18×（－32）＝_____． 2、计算：（1）110×110＝______； （2）131x·3xy ＝______． 3、化简：（1）3a -＝_____；（2）34m n （0<m ）＝______． 4、若)2)(1(21--=-⋅-x x x x ．则x 的取值范围是（ ）A ．1>xB ．2≥xC ．2>xD ．1≥x 5、定义运算“@”运算法则，x@y@z ＝xyz ，则2@3@6值为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．126、下列各等式成立的是（ ）A ．45×25＝85B ．53×42＝205C ．43×32＝75D ，53×42＝20 7、已知2＝a ，则200的值为（ ）A ．a 2B ．a 3C ．a 10D ．a 8 8、下列计算正确的是（ ）A ．(121)(9)1219-⨯-=-⨯-＝33B ．23x ＝x 3C ．(16)(25)1625-⨯-=⨯＝20D ．249x -＝32-x 9、阅读解答题:因为23＝223⨯＝12 ①－23＝2(2)3-⨯＝12 ②所以23＝－23 ③ 即2＝－2导致以上出现错误的结果错因在第几步（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 10、化简：（1）2000 （2）250a b （0<a ，0>b ）（3）18×3220×（－1315） （4）627×（－23）（5）2xy ×12x （6）115×23×（－1210）11、计算（1）5xy ×（－323x y ）×361y （2）32ab b ·（－323a b ）·3ab（0<a ，0>b ）（3）)))((abx ax x a b x ab --- （0>a ，0>b ，0>x ）12、将aa 1-括号外的因式a 移到括号内部．二次根式的除法及最简二次根式 1、计算：（1）49＝_____________；（2）2764＝______．2、计算：（1）0.680.17＝__________；（2）328＝______． 3、计算：（1）0.48＝______；（2）512＝_____． 4、若2211x xx x--=++，则x 取值范围为_______． 5、下列各式是最简二次根式为（ ） A ．15B ．24C ．28D ．7326、如图所示，小芳想在墙壁上钉一个三角形架，•其中两直角边的长度之比为3：2，斜边长为520，则较短直角边的长度为（ ） A ．40 B ．210 C ．410 D ．426 7、化去下列各式中根号内的分母正确的是（ ） A ．2225555== B ．22151535=⨯ C ．3333n n mn m m m ==（0>m ，0>n ） D ．11aa a a==＝a 8、下列各式计算正确的是（ ）A ．442939---==---＝23B ．238499=＝2132C ．3163727÷= D ．825＝58 9、把下列二次根式化为最简二次根式： （1）338＝_______； （2）712＝_______；（3）2.11.0⋅＝_______；（4）3273x ＝_______； 10、计算：（1）48÷（32·3）（2）43623x x ÷（3）3520÷（－136）（4）8243311、计算：（1）3223×（－1815）÷1225（2）－4318÷（28×1354）。
二次根式课件ppt
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
《二次根式》 讲义
《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}＼）（＼（a\geq 0\））的式子叫做二次根式。
其中，＼（a\）叫做被开方数。
需要注意的是，二次根式具有双重非负性，即被开方数\（a\geq 0\），二次根式的值\（＼sqrt{a}＼geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{4}＼），＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼）等都是二次根式，而\（＼sqrt{－4}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－4\lt 0\）。
二、二次根式有意义的条件要使二次根式\（＼sqrt{a}＼）有意义，被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，对于二次根式\（＼sqrt{x 2}＼），要使其有意义，则\（x2\geq 0\），解得\（x\geq 2\）。
三、二次根式的性质1、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））这一性质表明，一个非负的二次根式的平方等于被开方数。
例如，＼（（＼sqrt{5}）＾2 ＝ 5\），＼（（＼sqrt{10}）＾2 ＝10\）。
2、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a\lt 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））这一性质是二次根式乘法运算的基础。
例如，＼（＼sqrt{2}＼times\sqrt{8} ＝＼sqrt{2\times 8} ＝＼sqrt{16} ＝ 4\）。
4、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\gt 0\））这是二次根式除法运算的依据。
(完整)人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质
第1讲 二次根式认识、性质第一部分 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二部分 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、下列各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121 （219-（321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)))2302,12203,1,2xx y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y ≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子4x -有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2019，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yxC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
16.2二次根式的运算(第1课时)讲解与例题
二次根式的运算第1课时1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4× 3.6；(2)545×3223. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简： (1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简． 解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .3．二次根式的除法法则 对于两个二次根式a ，b ，如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b .②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a ≥0，b ＞0与二次根式乘法的条件a ≥0，b ≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝m na b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b ； (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)535； (2)－2a 12a； (3)－a －1a ； (4)x y x(x ＜0，y ＜0)． 分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15. (2)∵12a＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a＝－(2a )2·12a＝－2a . (3)∵－1a＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a)＝－a . (4)∵x ＜0，y ＜0，∴x y x ＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b b 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算(1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．(3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件；②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a)． 分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除． 解：(1)9145÷(3235)×12223 ＝(9÷32×12)145÷35×83＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12ab a 2b ·a b·a ＝－12ab a 4 ＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式． a 与a ；a ＋b 与a －b ；a ＋b 与a －b ；a b ＋c d 与a b －c d .③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab ＜0时，化简ab 2，得__________．(2)把代数式x －1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________． (3)把－x 3(x －1)2化成最简二次根式是__________． (4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是( )． A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙的解法都正确D ．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab 2中，因为ab 2≥0，所以ab ·b ≥0.因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0.原式＝b 2·a ＝－b a .(2)因为－1x ≥0，又由分式的定义x ≠0，得x ＜0.所以原式＝－(－x )－1x＝－(－x )2(－1x)＝－－x . (3)化简时，需知道x ，x －1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出． ∵(x －1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x 3≥0，即x ≤0,1－x ＞0. 故原式＝(－x )2·(－x )(1－x )2＝－x 1－x－x . (4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a (2)－－x(3)－x 1－x－x (4)C 8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得42＋32＝__________，442＋332＝__________，4442＋3332＝__________，4 4442＋3 3332＝__________，……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55，4442＋3332＝308 025＝555，4 4442＋3 3332＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－x x －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值． 分析：式子a b ＝a b，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x －6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6. ∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8.∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝(1＋x )x －4x ＋1 ＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6.【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38. 验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23； 338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用． 解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415. (2)猜想：n n n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ≥2，n 为正整数)． 证明：因为n n n 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n ＋n n 2－1，所以nn n 2－1＝n ＋n n 2－1.。
《二次根式》PPT课件(第一课时)
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再 见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西 北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
八年级暑假同步讲义：第1讲 二次根式的概念与性质
二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，主要对二次根式的性质及运算进行讲解，重点是二次根式的性质，难点是分母有理化的应用．学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础．本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用．1、二次根式的概念（1）代数式a（0a≥）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即a有意义的条件是0a≥．二次根式的概念及性质知识结构模块一：二次根式的概念知识精讲内容分析【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2，33，1x ，x 0x >（），0，42，2-，1x y +，x y +（0,0x y ≥≥）． 【难度】★【例2】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）21x -；（2）2x - ．【难度】★【例3】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）1x ； （2）12x --．【难度】★【例4】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）21x +； （2）2(1)x -+．【难度】★【例5】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）23xx -- ； （2）23x x++-．【难度】★★例题解析【例6】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1； （2 （3．【难度】★★【例7】若,x y 是实数，且2y <，化简22y y --．【难度】★★【例8】已知实数a ，b (0b -=，求20032003a b +的值． 【难度】★★【例92344b c c +++=-，求()c ab 的值．【难度】★★★1、二次根式的性质（1）2a 与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩．（2）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥； 性质2：2()(0)a a a =≥； 性质3：ab a b =⨯（0a ≥，0b ≥）；性质4：a ab b=（0a ≥，0b >）． （3）化简二次根式： ○118与32相等吗？利用二次根式的性质3和性质1，可得：221829232332=⨯=⨯=⨯=； 一般地，设0a ≥，0b ≥，那么22ab a b b a ==g ；○238与64相等吗？ 利用分数的性质以及二次根式的性质4和性质1，可得：23326688244⨯===⨯； 一般地，设0a ≥，0b >，那么2b a b ab aba b b b b ===g g ；化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” ．通常把形如m a （0a ≥）的式子也叫做二次根式，如32，3-，221a b +等也是二次根式．知识精讲模块二：二次根式的性质【例10】 求下列二次根式的值：（1）2(4)-；（2）25；（3）221612-；（4）2(3)π-．【难度】★【例11】 求二次根式221x x -+的值，其中3x =-． 【难度】★【例12】 计算下列各式的值：（1）2(18)； （2）22()3；（3）29() ； （4）2(0)；（5）27(4)8；（6）22(35)(53)-； （7）2(1)(0)x x +≥；（8）22()a ；（9）22(21)a a ++．【难度】★【例13】 化简以下二次根式：（1）72； （2）212a （0a ≥）； （3）327x ．【难度】★例题解析【例14】化简以下二次根式：（1；（2（30b>）．【难度】★【例15】化简：（10)m≥；（2（3）【难度】★★【例16】化简：2【难度】★★【例17】如=成立，求x的取值范围．【难度】★★【例18】 已知21<【难度】★★【例19】 已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，a b +．【难度】★★【例20】 在ABC ∆中，a b c、、2||c a b －－． 【难度】★★【例21】 已知10a -<<．【难度】★★★【习题1】 判断下列各题的正误．（1）2(2)2ab ab -=-．…………………………………………………（ ） （2）22(1)(1)x x -=-．…………………………………………………（ ）【难度】★【习题2】 求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）34x -； （2）183a -； （3）24m +； （4）1x-；（5）x x +-；（6）321xx -+． 【难度】★【习题3】 计算：（1）49；（2）2(1.5)-； （3）2(3)a -a <（３）（4）2(23)x -32x <（）．【难度】★随堂检测【习题4】 计算：求下列二次根式的值：（1（2(a =；（3（4（53253-；（6）1x -()12x <<．【难度】★【习题5】 解下列各式：（1）已知0a a +=（2）a b c 、、【难度】★★【习题6】 把中，根号外的a 移入根号内的结果是________ 【难度】★★【习题7】 已知3y =，求22x xy y -+的值． 【难度】★★★=，求xy的值．【习题8】0【难度】★★★【习题9】已知2440++=，则xy的值等于__________．y y【难度】★★★【习题10】x y z、、满足关系式：、、的值．+=x y z【难度】★★★八年级暑假班 11 / 12 a c b 0 【作业1】 要使式子2131a a a -++有意义，则a 应满足（ ） A 、1a ≤且13a ≠- B 、1a ≤ C 、13a ≠- D 、1a ≤且13a ≠ 【难度】★【作业2】 已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图所示： 则化简222()()()b a a c b c --+-+的结果是__________．【难度】★【作业3】 化简二次根式：（1）18； （2）32； （3）38； （4）3a ； （5）292a b ． 【难度】★★【作业4】 把根号外的因式移到根号内．（1）a a ； （2）1a a； （3）a a -； （4）a a --； （5）1a a --． 【难度】★★【作业5】 若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是__________．【难度】★★课后作业八年级暑假班【作业6】把(m -根号外的因式移到根号内，得__________． 【难度】★★【作业7】296x x =-，求x 的值．【难度】★★★【作业8】 若a 、b是实数，且13b <31b - 【难度】★★★【作业9】已知1y +【难度】★★★【作业10】 已知x y 、是实数，且y． 【难度】★★★。
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第5章 二次根式 第1课时 二次根式的加减运算
第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加减运算
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地 对二次根式进行加减运算；（重点、难点）
2. 通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运 算的基本步骤．
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根 式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不 同的栅栏里吗？
能力提升： 6. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b，求 (2*3) - (27*32) 的值． 解：∵a*b = a 3 b ， ∴ (2*3) - (27*32)
= 2 3 3 27 3 32
= 2 3 3 3 3 12 2
= 11 2.
课堂小结
例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆 心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14). 解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，
面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，
S2 = πr2，可得 R
S1，r π
二次根 式的加
减
法则 注意
一般地，二次根式的加减 时，可以先将二次根式化成最 简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并.
运算原理 运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运 算顺序一样
S2 . π
d
则 d R r S1 S2
ππ
763.02 150.72
3.14
3.14
243 48
9 34 3
《二次根式》实数PPT课件(第1课时)
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
下载
/shiti
/
教案
下载
/jiao
an/
PPT
论坛
二次： 根式的定义
www
二次.1p根pt 式的性质
《二次根式》PPT(第1课时)
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
人教版八年级下册数学精品教学课件 第十六章 二次根式 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
5
2
=20,
3
3
2 =32
3 2 =27，
又∵20＜27，
∴ 2 5 2 ＜ 3 3 2，即 2 5＜3 3 .
(2) 2 13与-3 6.
解：∵ 2 13= 22 13= 52，
3 6= 32 6= 54， 又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
两个负数比较 大小，绝对值 大的反而小
讲授新课
一 二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9 = __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36= __5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___30__.
( 2 ) 6 12 = __6__2___ ;
( 3 ) 32 2 __2_6__.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜” 或“=”）：
（1）5 4 ＞ 4 5；（2） 4 2 ＜ 2 7.
5.计算： ( 1 ) 2 3 5 21 ；
解: (1) 2 35 21
25 321 10 327 30 7；
3
解: (1) 3 5 15;
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
可先用乘法结合 律，再运用二次 根式的乘法法则
(3) 2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30.
归纳 (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算， 说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二
次根式相乘，即 a b k a b k（a 0,b 0,k 0) .
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a2 = a 把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 .
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第六讲计算大练兵之实数运算
讲义4：
下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②a a =33；③64的立方根是2；④4)8(32±=±，其中正确的个数有(
)A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个讲义7：
下列说法错误的是(
)A ．1
)1(2=-B ．()1133-=-C ．2的平方根是2±
D ．()232)3(-⨯-=-⨯-讲义10：-27的立方根与81的平方根之和是(
)A ．0
B ．6
C ．0或-6
D ．-12或6讲义11：若11(53),(53)22
=+=-a b ，则22b ab a +-=()A ．7
2B ．92C ．11
2D ．1512
-讲义8：2，33，521的大小关系是(
)A ．2<33<521B ．521<2<33C ．2<521<33D ．33<5
21<2讲义18：
若一正数的平方根是2a -1与a +2，则a =
讲义19：满足25x -<<的整数x 是
讲义20：
若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为
作业3：设10=a ,b 是a 的小数部分,则a -b =_______.
作业12：
等腰三角形的两条边长分别为23和5
2，那么这个三角形的周长等于______.讲义21：
(3)(2+3)(23-）+212(4)25(42034525)
-+(5)作业21：
③④练习题
1.请你观察思考下列计算过程： 112=121，∴121=11；同样： 1112=12321，∴12321=111；…由此猜想76543211234567898=_________________．
02
1
223(5)()0.2331--+-+-+()1
0332121142231-⎛⎫++---- ⎪+⎝⎭211222423223⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
2.下列判断正确的是()
A.若｜x ｜=｜y ｜,则x =y
B.若x<y ,则x <y
C.若｜x ｜=(y )2,则x=y
D.若x=y ,则3x =3y
3.m 是一个整数的平方数，那么和m 相邻且比它大的那个平方数是（
）A ．m+2m +1
B.m +1
C.21m +
D.以上都不对4.已知2)3(-a +4-b =0，则b
a 的平方根是（）A ．23
B ．±23
C ．43
D ．±4
3
5.化简求解：1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--312218218122()()
235235-++-；
！。