高数第十二章作业

x 展开成 的幂级数，并求其收
敛域，并利用此展开式求级数
(1)n 2n 1 ( )2n
n1
(2n)! 2
的和。
七、设 f (x) x x2, 0 x ，
又设 s(x) 是 f (x) 在 (0, ) 内以
2 为周期的正弦级数展开式的和
函数，求当 x ( , 2 ) 时，s(x) 的
表达式
一、填空题
1. 级数 1 1 1 23
1 n
________，而级数
1
1 22
1 32
1 n2
_______；
2．由级数 1 发散可知级数 n1 n
1 1 1 a b 2a b 3a b
________。
二、用比较审敛法或极限审敛法判定下 列级数的敛散性：
1.
1
n1 2n 1
三、将函数 f (x) cos x
展开成 (x ) 的幂级数 3
四、将函数
f
(x)
x2
1 3x
2
展开成 (x 4) 的幂级数。
五、将函数 y 1 展开成 (x 3)
x
的幂级数。
六、将函数 f (x) ex sin x 展开成
x 的幂级数，并求其收敛区
间。（选作）
第37次作业
一、填空题
四、（选做），求：
1 1
lim 23 49
2n
1 3n
x
第36次作业
x 一、将下列函数展开成 的幂级数，
并求其展开式成立的区间：
a 1. shx ex ex 2.
x
2
x 3. ln(a x)(a 0) 4. 1 x2
二、将函数 y lg x 展开成 (x 1)
的幂级数，并求展开式成立的区间：
n1
n
；
6.
[3 (1)n ]n xn
n 1
n
；
7.
1
32 2
x2
1334 24
x4
135 36 246
x6
三、求下列密级数的和函数：
1.
nxn1 2.
n1
x 4n1
n1 4n 1
3.
x 1 x3 1 x5 35
1 x2n1 2n 1
4.
xn
n1 n(n 1)
；
5. (2n 1)(x 1)2n1 。 n1
条件收敛，则该级数的收敛半径为
____________；
3.已知级数 (1)n1un 2, u2n1 5
n1
n1
则级数 un ________
；
n1
4.将一个已知函数 f (x) 展成正弦
级数需作_______延拓，展成余弦 级数需作_______延拓。
二、选择题
1．设 是常数，则级数
；
2.
1
1 2 1 22
1 3 1 32
；
3.
1
n1 n n n
；
4. 1 1
1
25 36
(n 1)(n 4)
三、用比较审敛法判定下列级数的 收敛性：
1.
3 1 2
3 2 22
32 3 23
3n n 2n
2.
2n n!
nn
n 1
四、用根值法判定下列级数的收敛性：
1.
(
n
)n
n1 2n 1
二、选择题
1．级数
un
n 1
收敛是
lim
n
un
0
的；
（
）
A．充分条件 ； B ．必要条件
C．充分必要条件 ； D．无法确定 。
三、利用级数收敛与发散的定义， 判定下列级数的收敛性：
1．
n 1 n ；
n1
1
2．
n1 (5n 4)(5n 1)
；
3．
1
；
n1 n(n 1)(n 2)
1
4. n1 (2n 1)(2n 1) 。
第32次作业
一、填空题
1 n
1．级数 n1 1 n2
的前五项是
______________，第五项是
______________；
2．级数 1 1 1 1 的一般项 357
是_________________； 3．级数 1 1 1 1 的
5 25 125 625 一般项是_________________。
的付里叶系数
a2k1 0,b2k1 0 k 1, 2 ;
第39次作业
一、将下列各周期函数展开成傅立 叶级数（下面给出函数在一个周期 内的表达式）。
1. f (x) 1 x2 ( 1 x 1)
2
2
x 1 x 0
2.
f (x) 1
0
x
1 2
1
1 2
x 1
2x 1 3 x 0
3. f (x) 1
x 四、从点
抛物线 y
P1(1x, 02于) 作点
轴的垂线，交
Q1(1,1) ，再从 Q1
x 作这条抛物线的切线与 轴交于 P2， x 然后又从 P2 作 轴的垂线，交抛物
线为 Q2, 依次重复上述过程，得到一
系列的点； P1, Q1; P2 , Q2; Pn , Qn ;
求：1. OPn
2.求级数：
四、判定下列级数的敛散性，如果收敛 并求其值：
1.（1 2
1）（ 1 3 22
1 ） 32
11 ( )
2n 3n
2. 1 1 1 1
369
3n
3.
8 9
82 92
83 93
(1)n
8n 9n
4 234 345
5. ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 +
23
n
第33次作业
sin n 1
[
n 1
n2
n ]（
）；
A．绝对收敛； B．条件收敛；
C．发散； D．收敛性与 无关。
2. 设常数 0 且级数 an2 收 n 1
敛，则
(1)n
an
（
）
n1
n2
A．发散；
B．条件收敛；
C．绝对收敛； D．收敛性与 无关。
3.级数
n1
xn
tan
x 2n
的收敛域为
4.
f
(x)
2
2
x x
x 0 0 x
5. f (x) arcsin(sin x) 。
第38次作业
一、将 f (x) x (0 x )
2
展开成正弦级数。
二、将 f (x) 2x2 (0 x )
展开成正弦级数和余弦级数。
三、把函数 f (x) x 在 [0, ]
（
）；
A． [1,1] ； B． (1,1) ；
C．(2, 2) ； D． [2, 2] 。
三、判断下列级数的敛散性：
1. 1 1 1 a 0,b 0
a b 2a b 3a b
2.
n1
1 1 an
(a
0)
四、已知: f x 1 x2 , 用余
弦级数展开，并求 1 n1 。 n2 n1
, 0 x3
二、将下列函数分别展开成正弦级 数和余弦级数：
1.
f
(
x)
x l
x
,
0
l 2
x x
l 2
l
2. f (x) x2 (0 x 2)
第40次作业（单元测试题） 一、填空题
1．幂级数
n1
2n
n (3)n
x 2 n 1
的收敛
半径为 ____________；
2.设幂级数 an (1 x)n 在 x 3 n1
1.
(1)n1 2n2
n1
n!
2.
2n sin
n 1
3n
3.
(1)n
1
n2
ln n
。
4. (1)n ln n 1
n1
n
；
5.
(1)n
n 1
1 np
。
四、判定
n
1
1
n1
n ln n
的绝对收敛、条件收敛或发散性。
五、判定
n 1
sin
n
1 n
的绝对收敛、条件收敛或发散性。
第35次作业
二、下列函数 f (x) 为周期函数，
周期为 2 ，试将 f (x) 展开成傅
立叶级数，如果 f (x) 在 [ , ] 上
的表达式为：。
1. f (x) 3x2 1( x )
2. f (x) e2x ( x )
3.
f
(x)
bx ax
x 0 0 x
a,b 为
常数，且 a b 0 ；
Q1P1 Q2P2 QnPn
的和。其中 n(n 1) 为自然数，而
Q1P1 QnPn 表示点 Qi 与 Pi 之间
的距离， (i 1, 2, , n )
五、求级数
n1
2n 1 2n
x 2 ( n 1)
的和函
数，并求级数 2n 1 的和。
2n
n1
六、将函数 f (x) d (cos x 1) dx x
42
上展开成正弦级数。
四、将函数
f
(x)
1 0
0 h
x x
h
分别展开成正弦级数和余弦级数。
五、设周期函数 f x 的周期为2 ，证明
(1)如果 f x f x, 则 f x
的付里叶系数
a0 0, a2k 0,b2k 0k 1, 2 ;
(2)如果 f x f x, 则 f x
k 1
1 3k
(1
1 )k2 k
；
1
1
2. lim[2 3 4 9
1
(2n )3n ]
。
n
第34次作业
一、填空题
1．如果级数 un 绝对收敛，则级 n1
数 un ______；反之，如果级数 n 1
un
n 1
收敛，则
un
n1
________。
二、选择题
1．级数 1 1 1 1 234
二、求下列级数的收敛半径及收敛域：
1.
1
x
1 22
x2
(1)n
1 n2
xn
2.
x 1 x2 1 x3
1
xn
2 24 246
2 46 2n
3.
x 22 x2 23 x3 5 10
2n n2
1
xn
4.
n1
sin
1 3n
Leabharlann Baidu
3 x 3 2x
n
5. (1 1 )n2 enx
1. 设
1 x 0
f
(
x)
1
x2
0 x
，则
其以 2 为周期的傅立叶级数在点
x
处收敛于 __________；
2. 设 f (x) x x2 ( x )
的傅立叶级数的展开式为
a0
2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx)
，其中系
数 b3 的值为 _______________。
是（
）；
A．收敛；
B ．条件收敛；
C．绝对收敛； D ．发散。
2. 级数
n1
(1)n1
n 3n1
是（
）的；
A．收敛；
B．条件收敛；
C．绝对收敛； D．发散。
3. 1 1 1 1
ln2 ln3 ln4 ln5
一定（
）
A．收敛； C．绝对收敛；
B．条件收敛； D．发散。
三、判断下列级数的敛散性：
；
1
2. n1 [ln(n 1)]n
。
五、判定下列级数的收敛性：
1. 3 2( 3)2 3( 3)3 n( 3)n
44
4
4
2. 14 24 n4
；
1! 2!
n!
3.
n 1
2n
sin
3n
。
1
六、判定级数
n2 n ln n
的敛散性。
七、求下列级数的极限：
1.
lim
n
1 n
一、填空题
1.
幂级数
x
2x2
3x3
nxn
的收敛域为______________；
2. 1 x x2 xn (1 x 1)
的和函数为__________________；
3.
x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 ( x )
3! 5!
(2n 1)!
的和函数为_________________。