定积分的概念习题

[学业水平训练]

1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )

A ．y ＝x 2

B ．y ＝|x |

C ．y ＝x

D ．y ＝1

x

解析：选D ．由于函数y ＝1

x

的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断

的曲线．

2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．可以是左端点的函数值f (x i ) B ．可以是右端点的函数值f (x i ＋1)

C ．可以是该区间内的任一函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])

D ．以上答案均正确

解析：选D ．由于当n 很大，即Δx 很小时，在区间[x i ，x i ＋1]上，可以认为函数f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值(含端点函数值)．

3．直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解析：选B.由题意，直线围成梯形的面积为S ＝1

2

(1＋2m ＋1)m ＝6，解得m ＝2，m ＝－

3(舍去)．

4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3

所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )

C ．127

D ．130

解析：选A.将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦

⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03

·13＋(13)3·13＋(23)3·13＝19

.

5．在求由曲线y ＝1

x

与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，

并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( )

C ．2n ?n ＋2i ?

D ．1

n ＋2i

解析：选A.每个小区间长度为2n

，第i 个小区间为⎣

⎢⎡⎦

⎥

⎤n ＋2?i －1?n

，n ＋2i n ，因此第i 个

小曲边梯形的面积ΔS i ≈

1n ＋2i n

·2n ＝2

n ＋2i

. 6．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2

＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是________．

解析：围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2

＋2.

答案：t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2

＋2

7．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间

是________．

解析：在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为

8

10

＝45，第5个小区间为

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤165，4. 答案：45 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤165，4

8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则这段时间运动的路程的近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为________km.

解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得所求近似值为s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．

答案：66

9．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．

解：f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n

，在[x i －1，x i ]＝⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤1＋i －1n

，1＋i n 上取ξi ＝x i －1

＝1＋i －1n

(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n

，从而S n ＝

∑i ＝1

n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1

n

(2＋i －1

n

)·1

n

＝

∑i ＝1

n

(2n ＋i －1

n 2

)

＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n ?n －1?2 ＝2＋?n －1?2n ＝52－12n

.

则S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ (52－12n )＝5

2. 如下进行验证：

如图所示，由梯形的面积公式得：

S ＝12×(2＋3)×1＝52

.

10．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．

解：将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1

n

，v (ξi )＝

v ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋

i －1n ＝3⎝

⎛⎭⎪⎫1＋

i －1n ＋2＝3

n

(i －1)＋5.