定积分的概念习题
定积分练习题
定积分练习题定积分练习题在微积分学习中，定积分是一个重要的概念和工具。
它不仅可以用来计算曲线下的面积，还可以解决各种实际问题。
为了更好地理解和应用定积分，下面将给出一些练习题，通过解题的过程来加深对定积分的理解。
1. 计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。
解析：根据定积分的定义，我们可以将曲线y = x^2与x轴所围成的面积表示为∫[0, 2] x^2 dx。
为了计算这个积分，我们可以使用定积分的基本性质，即将曲线下的面积分成若干个小矩形，然后将这些矩形的面积相加。
将区间[0, 2]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。
在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = (xi)^2。
然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。
当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[0, 2] x^2 dx。
通过计算这个和式，我们可以得到∫[0, 2] x^2 dx = 8/3。
2. 计算定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。
解析：这个定积分的计算与上一个例子类似。
我们可以将曲线y = 2x+1与x轴所围成的面积表示为∫[1, 3] (2x+1) dx。
同样地，我们可以将区间[1, 3]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (3-1)/n = 2/n。
在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = 2xi+1。
然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。
当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。
通过计算这个和式，我们可以得到∫[1, 3] (2x+1) dx = 12。
3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
解析：这个定积分的计算稍微复杂一些，因为它涉及到三角函数。
我们可以将曲线y = sin(x)与x轴所围成的面积表示为∫[0, π/2] sin(x) dx。
定积分练习题
第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
定积分典型习题
第六章 定积分第一节 定积分的概念思考题：1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A A AA A A x x .( 2)( 1 )( 3 )(4)（4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？（1）x x g x x f ba b a d )(d )(⎰≤⎰, （2）x x g x x f d )(d )(⎰≤⎰.答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(⎰与x x g d )(⎰不能比较大小，故（2）式不成立.3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是∑=ni i a n 11,后者计算公式是⎰-b a x x f a b d )(1.习作题：1. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为∆i=i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.2. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 3. 求函数21)(x x f -=在闭[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ.4. 利用定积分的定义证明⎰-=b aa b x d .证明：令1)(=x f ,则⎰⎰=b ab a x x f x d )(d ，任取分点10x x a <=…b x n =<,把[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，并记小区间长度为),2,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅⋅=-=∆-，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ，作乘积⋅)(i f ξi x ∆的和式a b x x f n i ni i i i -=∆=∆⋅∑∑==11)(ξ,记}{max 1i ni x ∆=≤≤λ, 则 a b a b x f x x ni i i ba -=-=∆⋅=→=→∑⎰)(lim )(lim d 01ξλ.第二节 微积分基本公式思考题：1. ='⎰)d sin (d d 1xt t t ?答：因为⎰x t t 1d sin 是以x 为自变量的函数，故⎰xt t t1d sin d d =0. 2. ?)d )((21='⎰x x f答：因为⎰21d )(x x f 是常数，故0)d )((21='⎰x x f .3.=⎰ba x x f xd )(d d ？ 答：因为⎰b ax x f d )(的结果中不含x ，故=⎰ba x x f xd )(d d 0. 4. =⎰xax t x d cos d d 2？ 答：由变上限定积分求导公式，知=⎰x ax t x d cos d d 22cos x .5.=⎰1d e d d 2xt t x ？ 答：=⎰1d e d d 2x t t x 22e )d e (d d 1x x t t x-=-⎰. 6. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？答：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.7. 当)(x f 为积分区间],[b a 上的分段函数时，问如何计算定积分⎰b ax x f d )(？试举例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将⎰b ax x f d )(分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若⎩⎨⎧<≤-≤≤=,01,,10,)(2x x x x x f 则x x f d )(11⎰-=x x d 01⎰-+x x f d )(11⎰-=1301232x x +-=61-.8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1. 计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-1d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰π0d sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (xx +-=2+2=4.2. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x3. 计算下列各题： （1）⎰10100d x x ， （2）⎰41d x x ， （3）⎰1d e x x , （4）x xd 10010⎰,（5）x x d sin 2π0⎰, （6）x x x d e 210⎰, （7）x x d )π2sin(2π0+⎰,（8）x x d )4π4cos(π+⎰, （9）x x x d 2ln e 1⎰, （10）⎰+102100d x x , （11）⎰4π02d cos tan x xx, （12）⎰10d sh x x , （13）⎰10d ch x x .解：（1）⎰10100d x x =101110110101=x .（2）⎰41d x x =314324123=x. （3）1e ed e 1010-==⎰xx x .（4）x xd 10010⎰=100ln 99100ln 10010=x .（5）1cos d sin 2π02π0=-=⎰x x x .（6）21e 2e )(d e 21d e 121010222-==⎰=⎰x x x x x x . （7）x x d )π2sin(2π0+⎰=)π2(d )π2sin(212π++⎰x x =2π0)π2cos(21+-x =1-. （8）x x d )4π4cos(π+⎰=)4π4d()4π4cos(4π0++⎰x x =π0)4π4sin(4+x =224-.(9)x x x d 2ln e 1⎰=)d(ln ln 21e 1x x ⎰=41ln 41e12=x .(10) ⎰+102100d x x=⎰+102)10(1d 1001x x =1010arctan 101x =101arctan 101.（11）⎰4π02d cos tan x x x =⎰4π0)tan d(tan x x =4π022)(tan x =21. （12）⎰⎰--=1010d 2e e d sh x x x x x =12e e xx -+=11ch 12e e 1-=-+-. （13）⎰10d ch x x =⎰-+10d 2e e x x x =12e e xx --=1sh 2e e 1=--.第三节 定积分的积分方法思考题：1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）x x x d cos cos 2π2π3⎰--=x x x d sin )(cos 2π2π21⎰-=)cos d()(cos 2π2π21x x ⎰--=0cos 322π2π23=--x .（2）⎰⎰---=-111122)sin d()(sin 1d 1t t x x=⎰-⋅11d cos cos t t t=⎰-112d )(cos t t =2⎰12d )(cos t t=22sin 211)2sin 21(d 22cos 11010+=+=+⎰t t t t . 答：（1）不正确，应该为：x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π3⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .（2）不正确，应该为：⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元)(t x ϕ=单调可导，且选择变元)(t x ϕ=的规律相同.3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律. 答：如图, 设)(x f 在[]a ,0上满足)(x f ≥0，则⎰a x x f 0d )(表示由曲线)(x f y =，直线0=x ，a x =及x 轴所围图形的面积，不妨记为A ，则当)(x f 为偶函数时，⎰⎰==-aaa x x f A x x f 0d )(22d )((如下图(1)所示)，当)(x f 为奇函数时，0)(d )(=+-=⎰-A A x x f aa(如下图(2)所示).（1）习作题:1. 计算下列定积分:(1)x x d 16402⎰-, (2)⎰+12d 41x x .解：（1）令x =t sin 4, 则t t x t x d cos 4d ,cos 4162==-,当x = 0 时，t = 0 ; 当x = 4 时，2π=t ， 于是 x x d 16402⎰-=π4)2sin 48(d )2cos 1(8d cos 4cos 42π02π020=+=+=⋅⎰⎰t t t t t t t π.（2）⎰+102d 41x x =⎰+12)2d()2(1121x x =21arctan 212arctan 2110=x . 2. 计算下列定积分： （1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x xd πcos e10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(1033⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5ed )15(540xx ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x=5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ xx x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-= =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ ⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x .第四节 广义积分思考题:1. 下列解法是否正确？为什么？2ln 1ln 2ln ||ln d 12121=-==--⎰x x x .答：不正确.因为x1在[1-，2]上存在无穷间断点0=x ，⎰-21d 1x x 不能直接应用Leibniz Newton -公式计算，事实上，⎰-21d 1x x =⎰-01d 1x x +⎰20d 1x x =⎰--→+1110d 1lim εεx x +⎰+→2022d 1lim εεx x=[]1110)ln(lim εε--→-+x +[]222ln lim εεx +→=10ln lim 1εε+→+-2ln 202lim εε+→不存在,故⎰-21d 1x x 发散.2. 指出下面广义积分的计算错误:101)e 1(lim elim d e lim d e 0=-=-=-==-∞→-∞→-∞→∞⎰⎰b b bx b bxb xx x .答：本题计算错误在于0e lim =-∞→bb ，因为0e lim =-+∞→b b ，而-∞=--∞→b b e lim ，故bb -∞→elim 不存在，从而⎰∞0d e x x 发散.习作题：1. 研究广义积分⎰∞+02d 1x x 的敛散性. 解：⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. 2. 计算广义积分x x d )4(6032⎰--.解：x x d )4(6032⎰-- =x x d )4(6432⎰--+x x d )4(4032⎰--=)42(3430023)4(3)4(3333340316431+=--+-⋅=-+-x x .3. 计算广义积分x x d e 1100⎰∞+-.解：x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .4. 计算广义积分⎰∞++02100d xx. 解： ⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x .。
定积分的概念与性质-习题
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴baxdx ⎰（a b <）；【解】第一步：分割在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b aa k a k n n--+-+，（1,2,,k n =L ），每个小区间的长度均为k b an-∆=，取每个小区间的右端点k b ax a k n-=+，（1,2,,k n =L ）， 第二步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==⋅∆∑1n k k k x ==⋅∆∑1()nk b a b aa k n n=--=+⋅∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+⋅ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+⋅-1()()22b a b a b a a n --=-+-⋅ 1()()22b a b a b a n+-=--⋅第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--⋅ ()(0)22b a b a b a +-=--⨯()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ⎰222b a -=。
⑵1xe dx ⎰。
【解】第一步：分割在区间[0,1]中插入1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[0,1]分为n 个等长的小区间1[,]k kn n-，（1,2,,1k n =-L ），每个小区间的长度均为1k n ∆=， 取每个小区间的右端点k kx n=，（1,2,,k n =L ），第二步：求和对于函数()xf x e =，构造和式1()nn k k k S f x ==⋅∆∑1knx k k e ==⋅∆∑11k nnk e n ==⋅∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，其首项为11n x e =，公比为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnn n nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==⋅∆∑11kn n k e n ==∑111(1)1nn e e n e -=⋅-111(1)1n ne ne e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1x xe →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11x e dx e =-⎰。
高等数学习题课(5)定积分
0
则 b a
f
(
x)dx
0
(a b)
推论：（1） 如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x) ，
则 b a
f
(
x
)dx
b
a g( x)dx
(a b)
（2）
b
a
f
(
x)dx
b
a
f
( x)dx
(a b)
性质6 设M 及m 分别是函数 f ( x) 在区间[a,b]
上的最大值及最小值，
则
b
即 F( x) x ( f ( x) f (t) 2)dt 0 a f (t) f (x) F ( x) 单调增加.
又 F (a) 0, F(b) F(a) 0,
即
b
f ( x)dx
b dx
(b a)2.
a
a f (x)
例8
( x et2 dt)2
求 lim x
0
x e2t2 dt
( x)
x
a
f
(t )dt 在[a,b]上具有导数，且它的导数
是
( x)
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
定理 3（微积分基本公式） 如果F ( x) 是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上的一个原函数，则
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
也可写成
b a
b
b
a
f
( x)dx
lim
a
f ( x)dx
b
b
a
f
( x)dx
lim
0 a
定积分典型例题及习题答案
04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径 为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积 分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两 个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示 为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、 近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一 个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每 个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这 些点的近似值，然后将这些近似值进行求和， 最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。
6.1.1定积分概念
练习题答案
一、1、lim f ( i )x i ；
0
i =1 n
2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线 y = f ( x ) , x 轴 ,直线 x = a , x = b 之间 各部分面积的代数和； b 4、 dx .
a
1 3 3 二、 ( b a ) b a . 3 1 2 2 三、 ( b a ) . 2 五、88.2(千牛).
表示成定积分.
思路：
lim f (i )xi = f ( x )dx
b 0 i =1 a
n
1 注：一般 考虑 a, b = 0,1 , n等分,xi = . n n 1 1 lim f (i ) = f ( x )dx 0 n n i =1
1 2 ( n 1) lim sin sin sin n n n n n
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[a , b ]上可积.
四、定积分的几何意义
f ( x ) > 0, f ( x ) < 0,
i =1 n
•如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b] 的分法和i的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分, 记为 f ( x)dx , a
b
b
即
n i=1
lim a f (x)dx = 0 f (i )xi
积分上限
定积分习题
6.证明： ∫ sin n x d x = 2 ∫ 2 sin n x d x
0 0
π
π
7.填空：
（ 1 ） 设 f ( x ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 f (0) = 2, f (2) = 3, f ′(2) = 5 ， 计 算 I = ∫ xf ′′(2 x) d x =
π 2 π − 2
4 cos 4 x d x
（2） ∫
a +T a b
x 3 sin 2 x dx −5 x 4 + 2 x 2 + 1
5
4.设 f ( x ) 是以 T 为周期的连续函数，证明 ∫
b a
f ( x ) d x 的值于无关.
5.设 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，证明 ∫ f ( x) d x = ∫ f (a + b − x) d x .
0
x
5.设 f ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，且 f ( x ) > 0 ，F ( x ) = ∫ f (t ) d t + ∫
a
x
x b
dt ，x ∈ [ a, b] ， f (t )
证明： （1） F ′( x) ≥ 2; （2）方程 F ( x) = 0 在区间（a，b）内有且仅有一根. 6. 设 f ( x ) 在（ - (−∞,+∞)上连续、可导，不恒为零，f 2 ( x ) = ∫ f (t )
0 4
（4） ∫ 4 3 (1 + cos 2 x ) d x ；
− π 4
x t f (t ) d t ∫0 , 当x ≠ 0 8.设 F ( x ) = x2 c, 当x = 0 续. 9.设 f ( x ) = ∫ e − t d t , 求 ∫
6-1定积分概念(1)
n
1 1 1 n( n + 1)( 2n + 1) 1 = 1 + 2 + ,λ → 0 ⇒ n → ∞ = 3⋅ 6 n n n 6 n 1 2 1 1 1 2 x dx =பைடு நூலகம்lim ∑ ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = 1 . ∫0 λ → 0 i =1 n→ ∞ 6 n n 3
第一节
定积分概念(1) 定积分概念
一、 问题的提出 二、 定积分定义 三、 定积分存在定理 四、 定积分的几何意义 五、 小结
一、问题的提出
实例1 求曲边梯形的面积) 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、 x 轴与两条直线 x = a 、 x = b 所围成. 所围成. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定理6.1.1 设 f ( x )在区间 [a , b] 上有定义 若积分 定理 上有定义, b f ( x )dx存在 则 f ( x )在区间 [a , b] 上有界 上有界. 存在, ∫a 证明 若 f ( x )在区间 [a , b] 上无界 则对每种分割 上无界, 至少存在一个子区间[ xi −1 , xi ], 使得 f ( x )在区间
1、 函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积分是积 分和的极限，即∫ f ( x )dx = _________ . 2、 定积分的值只与______及_______ 有关，而与_________的记法无关 . 3、 定积分的几何意义是__________. 4、区间[ a , b ]长度的定积分表示是____ . 二、 利用定积分的定义计算由抛物 线 y = x + 1 , 两直线 x = a , x = b ( b > a ) 及 横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 ∫ xdx ， (a<b) .
第五章定积分习题参考解答
习题5-1 定积分的概念1、利用定积分的几何意义，求下列积分： (1)dx x ⎰-21（2）dx x ⎰--3329解2、估计下列各积分的值：(1)()⎰+ππ4542sin 1dx x （2）⎰-022dx exx3、根据定积分的性质及教材中习题5-1第12题的结论，说明下列各对积分哪一个的值较大： (1)⎰21ln xdx 还是()⎰212ln dx x ？解（1）在区间{1，2}上,由于0ln 1x ≤≤,得()2ln ln x x ≥,因此21ln xdx ⎰比()221ln x dx ⎰大.(2)⎰1dx e x 还是()⎰+11dx x ？解 由于当0x >时()ln 1x x +<，故此时有1xx e +<，因此10x e dx ⎰比()11+x dx ⎰大。
习题5-2 微积分基本公式1、求由参数表达式⎰=t udu x 0sin ，⎰=tudu y 0cos 所确定的函数对x 的导数dxdy.2、求由+⎰y t dt e 00cos 0=⎰x tdt 所确定的隐函数对x 的导数dxdy.3、计算下列各导数:(1) ⎰+2021x dt t dx d ; (2) ()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π. 解 （1）原式=2； （2）原式=()()()()cos sin 222200cos cos sin cos cos cos cos sin x x d t dt t dt x x x x dx ππππ⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()222sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x x x x ππππ=---=-4、 计算下列定积分: (1)⎰-1024x dx; (2)⎰-+++012241133dx x x x ; 解 （1）110arcsin 26x π⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰（2）42000232211133113arctan 1114x x dx x dx x x x x π---++⎛⎫⎡⎤=+=+=+ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎰⎰ (3)⎰42tan πθθd ; (4)⎰π20sin dx x ;解 (3) ()[]2244400tan sec 1tan 14d d ππππθθθθθθ=-=-=-⎰⎰(4)()[][]22200sin sin sin cos cos 4x dx xdx x dx x x πππππππ=+-=-+=⎰⎰⎰(5)⎰20)(dx x f ,其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=.1,21,1,1)(2x x x x x f 解()11232122010018()12263x x f x dx x dx x dx x ⎡⎤⎛⎫=++=++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰5、求下列极限: ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xt xt x dt te dt e 0220022lim .解()222222220020020222limlimlimlim21x x xt x t t x xxx x x x t e dtee dte dtexxe te dt→→→→====⎰⎰⎰⎰6、设⎩⎨⎧∈∈=].2,1[,),1,0[,)(2x x x x x f 求=Φ)(x ⎰x dt t f 0)(在]2,0[上的表达式,并讨论)(x Φ在)2,0(内的连续性.习题5-3 定积分的换元法和分部积分法 1、计算下列各定积分:(1)⎰262ππdu u ； (2))0(0222>-⎰a dx x a x a； 解 （1）()2222666111cos 1cos2sin 222268udu u du u u πππππππ⎡⎤=+=+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰（2）()()4sin 2422220sin cos sin 228x a ua a xa u udu u d u ππ===⎰⎰⎰44422242001sin sin 8442216t ua a a tdt tdt a ππππ====⋅⋅=⎰⎰ 另解()sin 422422220sin cos sin 1sin x a ua xa u udu au u du ===-⎰⎰⎰ππ441312242216a a ⎛⎫=⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭πππ。
定积分的概念
部分的面积S吗?
y
B
y=f1(x)
SABCD=SAMNB-SDMNC
A
S
b a
f1xdx
b a
f2 xdx
D
M
Oa
y=f2(x)
C
N bx
例1 利用定积的定义，计算 1 x3dx的值 0 解 令f (x)=x3
(1)分割
在区间0,1上等间隔地插入n 1个分点,把0,1等分成n个小区间
i
-1 n
Sn
lim
n
1 4
1
1 n
2
1 4
定积分的性质
1ab
kf
xdx
k
b
a
f
xdxk为常数；
2ab f1x
f2 xdx＝ab
f1xdx
b
a
f2 xdx；
3ab
f
xdx＝ac
f
x
dx＋ b c
f
xdx1ab
kf
xdx
k
b
a
f
xdxk为常数；
2ab f1x
f2 xdx＝ab
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
将区间[a, b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上
任取一点i(i=1,2,,n),作和式
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
用定积分定义求下列题目
用定积分定义求下列题目
当给定一个函数时，定积分可以用来计算函数在特定区间上的
面积。
定积分的定义如下：
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
在第i个小区间上任取一点ξi，构造和式Σf(ξi)Δx，其中i的范围是从1到n。
当n趋向于无穷
大时，如果这个和的极限存在，且与区间的分法和点的取法无关，
那么这个极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx。
现在让我们用定积分的定义来解决一个具体的问题。
假设我们
要求函数f(x) = x^2 在区间[0, 2]上的定积分。
首先，我们将区
间[0, 2]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=(2-0)/n=2/n。
然
后在每个小区间上任取一点ξi，构造和式Σf(ξi)Δx，其中i的
范围是从1到n。
接下来，当n趋向于无穷大时，计算这个和的极
限即可得到函数f(x) = x^2 在区间[0, 2]上的定积分。
通过这种方法，我们可以用定积分的定义来求解各种函数在给
定区间上的定积分。
这种方法虽然有些繁琐，但可以帮助我们更好地理解定积分的概念和原理。
定积分的概念
在每个小区间[ xi 1 , xi o a 上任取一点i，
Ai f ( i )xi
x1
x i 1 i x i
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
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小曲边梯形的底：
y
y f (x)
f (i )
[ xi 1 , xi ]
Байду номын сангаас
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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曲边梯形如图所示，
在区间[a, b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a, b] 分成 n
个小区间[ xi 1 , xi ]，
y
长度为xi xi xi 1;
c
1dx dx b a.
a
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五、小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取极限
积零为整
取极限
精确值——定积分 上页 下页 返回
练习题
一、 填空题： 1、 函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， 即 f ( x )dx lim f ( i )x i .
f ( i )xi
i 1
n
i 3xi
i 1
n
xi3xi ,
i 1
n
上页
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i 1 n i 1 n
n
3
1 4 n
习题课九 定积分的概念、基本公式和基本定理(解答)
x
f (t )dt
x 3t 2 f (t )dt ，
0
0
F ( x) 2x x f (t)dt x2 f ( x) 3x2 f (x) 0
2x xf ( ) 2x2 f (x) （积分中值定理）
2x2[ f ( ) f (x)]. （其中0 x ）
21
∵ f ( x) 在[0, ) 上的单调减少，
x f (t)dt f ( x) f (a) f ( x) a
x
x
x
f ( x) a f (t)dt a f (t) dt a Mdt M( x a)
b
b
b
a f ( x)dx a f ( x) dx a M(x a)dx
M 1 ( x a)2 b M (b a)2
0
法二 可视为求 f ( x) 的满足 F(0) 0 的原函数 F ( x)
F
(
x)
x 2dx
1 3
x3
C1 ,
(2
x)dx
2x
1 2
x2
C2,
0 x1 1 x2
因为
F
(
x)在
x
1处连续，故
1 3
C1
2
1 3
C2
，又因为
F (0)
0 ，故 C1
0 ，所以 C2
7 6
。
∴
F
(
x ) 137 x32,x
习题课
一、选择题
1．设 f ( x) 在 (,) 上连续，则 d[ f ( x)dx] 等于（ B ）
（A） f ( x) ；
（B） f ( x)dx ；
（C） f ( x)C ； （D） f ( x)dx 。
六1定积分概念
b
a
f
(
x)dx
M
(b
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
n
S
lim 0
i 1
f ( i )xi
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
有相当多的实际问题的解决也是归结于这类极限。
§6.2 定积分的定义
一、定义: 设函数 f ( x) 在区间[ a, b ]上有定义，用点
a x x x x x b
0
时间内所移动的距离。
思路：把整段时间分割成若干小段，小段上速度看作不变的， 求出各小段上移动的距离相加，便得到距离的近似值， 然后通过对时间的无限细分求得距离的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1 i 是时间 ]ti1 , ti ] 上某时刻，以 v( i ) 作为时间小段 ]ti1 , ti ]
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
播放
曲边梯形如图，在区间[a, b]内插入n 1个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把 [a, b] 分成 n 个小区间
此性质可以推广到有限项代数和的情况
定积分习题及答案
定积分习题及答案定积分习题及答案定积分是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握定积分的计算方法和应用是学习微积分的关键。
在本文中，我们将介绍一些常见的定积分习题，并给出详细的解答。
1. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
解答：根据定积分的定义，我们可以先求出x^2的不定积分，然后再进行定积分的计算。
x^2的不定积分为(1/3)x^3，所以∫(0 to 1) x^2 dx = (1/3)x^3 |(0 to1) = (1/3)(1^3 - 0^3) = 1/3。
2. 计算定积分∫(1 to 2) (2x + 1) dx。
解答：根据定积分的性质，我们可以将定积分拆分为两个部分：∫(1 to 2) 2x dx + ∫(1 to 2) 1 dx。
第一个部分的不定积分为x^2，第二个部分的不定积分为x。
所以∫(1 to 2) (2x + 1) dx = (x^2) |(1 to 2) + (x) |(1 to 2) = (2^2 - 1^2) + (2 - 1)= 4 - 1 + 1 = 4。
3. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
解答：sin(x)的不定积分为-cos(x)，所以∫(0 to π) sin(x) dx = (-cos(x)) |(0 to π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2。
4. 计算定积分∫(0 to 1) e^x dx。
解答：e^x的不定积分为e^x，所以∫(0 to 1) e^x dx = (e^x) |(0 to 1) = e^1 -e^0 = e - 1。
5. 计算定积分∫(0 to 2π) cos(x) dx。
解答：cos(x)的不定积分为sin(x)，所以∫(0 to 2π) cos(x) dx = (sin(x)) |(0 to 2π)= sin(2π) - sin(0) = 0。
习题5-1 定积分的概念与性质
习题5-1定积分的概念与性质1．用定积分的几何意义画图说明下列等式：（1）12014x dx π-=⎰；如左图，21y x =-表示的图形是上半圆，定积分的几何意义是上半单位圆与x 轴及0x =，1x =围成的图形的面积，即14圆的面积。
所以，12014x dx π-=⎰（2）20sin 2sin xdx xdx ππ=⎰⎰.如左图，左边的定积分的几何意义是sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形的面积，由于sin (0)y x x π=≤≤的图形关于2x π=对称，所以，面积等于对称轴左边部分图形面积的两倍。
所以20sin 2sin xdx xdx ππ=⎰⎰，（3）cos 0xdx π=⎰如左图，左边的定积分的几何意义是cos (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形，一部分位于x轴的上方（这部分加上正号），另一部分位于x 轴的下方（这部分加上负号）。
由于两部分面积正好相等，所以，代数和为0。
即cos 0xdx π=⎰2．不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由.（1）⎰=121dx x I ，；在[0,1]上，232(1)0x x x x -=-≥23x x ∴≥1210I x dx ∴=≥⎰⎰=132dxx I （2）⎰=11dx e I x ，⎰+=12)1(dx x I .设()1(01)xf x e x x =--≤≤，则()1xf x e '=-在(0,1)内，()0f x '>，()f x ∴在[0,1]上单调递增。
()(0)0f x f ∴≥=，即1x e x ≥+110x I e dx ∴=≥⎰⎰+=12)1(dxx I 3．证明不等式（1）⎰---≤≤-02412222e dx ee xx 设2211()()(02)24f x x x x x =-=--≤≤，易知，11()24f =-是()f x 的最小值，(2)2f =是()f x 的最大值。
第5章 定积分 习题 5- (1)
第一节
定积分
定积分的概念及性质
习题 5-1
1.
利用定积分的定义计算由曲线 y = x 2 + 1 和直线 x = 1 、 x = 3 及 x 轴所围成
的图形的面积. 解 所求的面积为
S = ∫ ( x 2 + 1)dx = lim ∑ f (ξi )Δxi
1
3
n
λ →0
i =1
= lim ∑ (ξi2 + 1)
∫0
1 x
e dx = lim ∑ f (ξi )Δxi = lim ∑ eξi Δxi
λ →0
i =1
n
n
λ →0
i =1
= lim ∑ e n ⋅
n →∞ i =1
n
i
1 n
1 2
i 1 （其中 ξi = , Δxi = ） n n
n
n 1 = lim ∑ (e n + e n + L + e n ) n →∞ i =1 n
c2 c1
a
c2
矛盾, 于是 f (ξ ) > 0 不成立, 得证. (2)
b
因为在 [ a, b] 上, f ( x) ≥ 0 , 所以 ∫ f ( x)dx ≥ 0 , 亦即或者 ∫ f ( x)dx > 0, 或
b b a a b a
者 ∫ f ( x)dx = 0 . 若 ∫ f ( x)dx = 0 , 则由(1) 的证明知 f ( x) ≡ 0, 但这与条件 f ( x) ≠ 0
5
反证法. 设 ∃ξ ∈ [a, b] 使 f (ξ ) > 0 , 因为 f ( x) 在 [ a, b] 连续, 所以由极限的局部保号性定 理 , 必有含有 ξ 的区间 [c1 , c2 ] 存在 , 使得 [c1 , c2 ] 上 f ( x) > 0 , 从而 ∫ f ( x)dx > 0 .
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[学业水平训练]1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |C ．y ＝xD ．y ＝1x解析：选D ．由于函数y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．可以是左端点的函数值f (x i ) B ．可以是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内的任一函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确解析：选D ．由于当n 很大，即Δx 很小时，在区间[x i ，x i ＋1]上，可以认为函数f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值(含端点函数值)．3．直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.由题意，直线围成梯形的面积为S ＝12(1＋2m ＋1)m ＝6，解得m ＝2，m ＝－3(舍去)．4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )C ．127D ．130解析：选A.将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋(13)3·13＋(23)3·13＝19.5．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( )C ．2n ?n ＋2i ?D ．1n ＋2i解析：选A.每个小区间长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋2?i －1?n，n ＋2i n ，因此第i 个小曲边梯形的面积ΔS i ≈1n ＋2i n·2n ＝2n ＋2i. 6．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是________．解析：围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋2.答案：t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋27．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．解析：在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4. 答案：45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，48．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则这段时间运动的路程的近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为________km.解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得所求近似值为s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．答案：669．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．解：f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n，在[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，从而S n ＝∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n(2＋i －1n)·1n＝∑i ＝1n(2n ＋i －1n 2)＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n ?n －1?2 ＝2＋?n －1?2n ＝52－12n.则S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ (52－12n )＝52. 如下进行验证：如图所示，由梯形的面积公式得：S ＝12×(2＋3)×1＝52.10．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．解：将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n，v (ξi )＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n(i －1)＋5.∴s n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ?i －1?＋5·1n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n[0＋1＋2＋…＋?n －1?]＋5n ·1n＝3n 2·n ?n －1?2＋5＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋5.∴s ＝lim n →∞s n ＝32＋5＝. [高考水平训练]1．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( )∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋?i n ?2·2n ∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋?2i n ?2·2n C ．lim n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋i 2·1n D ．lim n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋?i n ?2·n 解析：选 B.将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2?i －1?n ，2i n (i ＝1,2,3，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为lim n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋?2i n ?2·2n . 2．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为________．解析：由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23.而y ＝sin 3x 周期为2π3，所以y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43.答案：433．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积．解：∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求图形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x2，y＝4，x≥0，得交点为(2,4)．如图，先求由直线x＝0，x＝2，y＝4和曲线y＝x2围成的图形的面积．(1)分割将区间[0,2]n等分，则Δx＝2n，则ξi＝2?i－1?n.(2)近似代替、求和S n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤2?i－1?n2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝83(1－1n)(1－12n)．(3)取极限S＝limn→∞S n＝limn→∞83(1－1n)(1－12n)＝83.∴S阴影＝2×4－83＝163.∴2S阴影＝323，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形的面积为323.4．一辆汽车做变速直线运动，汽车在时刻t的速度v(t)＝6t2，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程．解：(1)分割：将区间[1,2]n等分，则第i个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2,3，…，n)，每个小区间的长度为Δt＝1n.(2)近似代替：每个小曲边梯形的面积近似为S i＝v(n＋i－1n)Δt＝6(nn＋i－1)2·1n＝6n?n＋i－1?2≈6n?n＋i－1??n＋i?(i＝1,2,3，…，n)．(3)求和：∑i＝1n6n?n＋i－1??n＋i?＝6n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1－1n＋2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＝6n⎝⎛⎭⎪⎫1n－12n＝3.(4)取极限：S＝limn→∞3＝3.所以汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程为3.。