高中数学北师大版选修22第二章11导数与函数的单调性PPT课件

结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 （a,b）内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数. “某个区间”的含 义，它必是定义域内的某个区间。
例2、求f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间
第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性
复习旧知—提问引入
问题1：判断函数的单调性 有哪些方法？
定义法，图象法
问题2：怎样利用函数单调性的定义 来1.讨定义论：其一在般定地义，域对的于单给定调区性间上的函数f(x)，
如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时， (1)若 f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函 数.x1-x2与f(x1)-f(x2)同号，即
探究新知
yx
y
y x2
y
y x3
y
y 1 yx
o
x
ox
ox
o
x
函数在R上 （-∞，0） 函数在R上 （-∞，0）
f '(x)10 f '(x)2x0 f '(x)3x2 0 f '(x)x20
（0，+∞）
f '(x)2x0
（0，+∞）
f '(x)x2 0
增函数时有
f (x1) f (x2) 0也即 y 0
f(x1)f(x2)0
(2)若 f(x1)f(x2，) 那么f(x)在这个区间 上是减函数， 此时x 1 x 2 与 f(x 1 )f(x 2)异号,即
f(x1)f(x2)0
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个 值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
y f (x)
B
o 2 3x
设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x y f (x)
正.而当x=2时其切线
x
斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发
生改变.
由上我们可得以下的结论:
定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内 有导数,如果在 这个区间内 f (x) >0,那么函数y=f (x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 f (x)<0, 那么函数y=f (x) 在为这个区间内的减函数.
解:函数的定义域是(-1,+∞), f(x)1 1 x1. 2 1x 2(1x)
由 f(x)解0得-1<x<1
由 f(x)0即 2(x11x)0,得x>1或x<-1(舍）. 故f(x)的递增区间是(1,+∞);
f(x)的递减区间是(-1,1).
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出 使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交 集.
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
写在最后
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讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x1 x2
x
减函数时有
f (x1)f (x2) 0也即 y 0
x1 x2
x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，
+∞）上单增,切线斜
率大于0,即其导数为
（2函）数求导f(数x)f ’(2 xx)3 ；3x212x1单调递增. 当 f '(x) 0，即 2x1时 ，
（函3）数为解增不f(区x 等)间 式2 ；fx’3 (x )3 >x02，1 解2x集1 在单定调义递域减内.的部分 函（数4）f(x)解2不x3 等3x式21 f2 ’(xx)1<的0，单解调集递在增定区义间域为内(1， 的)部和 (,2) 单分调递减区间为（-2，1） 为减区间． 注：单调区间不以“并集”出现。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f ( x)为常数.
例1.判断函f数(x)2x33x212x1的单调性，
并求出其单调区间.
你因能为小f(结x) 求2解x3 函3x 数2 单12 调x 区1间的步骤吗？
所以 f'(x)6x26x12 （1）当确f '(定x)函0数, 即 yx = f(1 x或 )的x 定义2时 域， ；
知识应用
证明：函数f(x)=1 x
在(0，+∞)上是减函数.
1.本节课我们有什么收获？
2.你是如何利用导数求函数 的单调区间?
知识拓展
应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x3时，f '(x)0; 当x3或x2时，f '(x)0; 当x 3或x 2时，f '(x) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A
(3)判断差的符号(与０比较)，从而 得函数的单调性.
如:函数y=x2－4x＋3的图象： y
02
x
单增区间：（２，+∞）.
单减区间：(－∞，２).
问题3：那么如何求出下列函数的 单调性呢?
(1)yx32x2x;
(2)yxlnx;
(3)yexx1.
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的一些图象来考察单调 性与导数有什么关系：