函数的值域及零点与最值

函数的值域及零点与最值 『知识与方法梳理』☟
1. 函数的定义域与值域的概念：
函数f(x)的自变量x的取值范围就叫函数f(x)的定义域，
函数值的取值集合叫做函数f(x)的值域.
2. 几个初等函数的定义域与值域：
函数定义域值域
(1)f(x) = ax + b (a≠0)R R
(2)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)R a>0时[f(-
b
2a), +∞) a<0时(-∞, f(-
b
2a)]
(3)f(x) = a
x(a≠0)
(-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
(4)f(x) = a x(a≠1,a>0)R (0,+∞)
(5)f(x)=log a x(a≠1,a>0)(0,+∞) R
(6)y=xαα为正偶数R [0, +∞)
α为负偶数(-∞,0)∪(0,+∞) (0,+∞)
α为正奇数R R
α为负奇数(-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) α为正分数或
正无理数
[0, +∞) [0, +∞)
α为负分数或
负无理数
(0,+∞) (0,+∞)
(1)定义：使得f(x)=0 的实数x 叫做函数f(x)的一个零点.
(2)判定定理：对于在区间[a, b]上连续不断的的函数f(x), 如果
有f(a)·f(b)<0 ，那么f(x)在区间(a, b)内必有零点存在.
4. 常识知识与方法:
（1）求值域常用方法：
①
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
复合函数法（配方法，整体换元，分离常数）函数法函数极值法（利用均值不等式或函数单调性，
求最值及端点值）
②方程法⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
逆求法（反解）
判别式法（考察一元二次方程解）合一法（化一角一函数）
③图形法（数形结合）
（2）求最值的常用方法：①求函数值域；②均值法(利用基本不等式）；③极值法（求导选修内容）.
（3）二次函数零点区间分布讨论所关注的要素：
①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④区间端点值符号；⑤函数所过定点.
（4）函数零点问题常用解题策略
①函数法：考察函数的图像和性质，关注极值点和单调性，利用零点区
间存在性判定定理；
②方程法：考察（判断或解）函数对应方程解；
③分离函数（或变量）：函数与方程途径难以解决时，可以考虑将一式利
用方程分成两可知类型的函数（或常函数），考察两函数的交点即可. 『题型分类例析』☟
（一）求值域（或最值）
1.复合函数的值域
■题型结构特征：形如(或化为)f[g(x)]的函数的值域.
★判断识真☆
已知定义在R上的函数f(x)的值域为[－2，3]，则函数f(x －2)的值域为( )
A．[－4，1] B．[0，5]
C．[－4，0]∪[1，5] D．[－2，3]
【例题1】求函数值域：
(1) y = - x2 - 2x + 4 ;
(2) y = (
1
4)
x–(
1
2)
x +1 (-3≤x≤1);
(3) y = x + 1 - 2x ;
(4) y =
x + 2
x + 1.
【例题2】[2014重庆理12]函数)
2(
log
log
)
(
2
2
x
x
x
f⋅
=
的最小值为_________.
2.合成型函数的值域
■题型结构特征：形如f(x)±g(x)或
f(x)
g(x)等函数的值域.
【例题3】求函数值域：
(1) y =
3x + 1
3x - 1
(2) y =
2x
x2 + 2x + 4
(3) y = x +
1
x + 1
【例题4】设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x) = x + g(x)在区间[0,1]上的值域为[ - 2, 5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为.
3.分段函数的值域
■题型结构特征：函数为分段函数.
【例题5】求函数值域：
(1)y =
⎩⎪
⎨
⎪⎧x1 - x ( x < 0)
1
2x -
1
2 (x ≥ 0)
;
(2) y = |2x + 1| + |3 – x|.
4.含参数函数的最值值域问题
■题型结构特征：需对参数进行讨论的函数的值域或最值.
★判断识真☆
[2017浙江5] 若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
【例题6】
设a 为实数，设函数f(x)= a 1 - x 2 +
1 - x + 1 + x 的最大值为g(a).
（1）设t= 1 - x + 1 + x ，求t 的取值范围，并把
f(x)表示为t 的函数m(t)； （2）求g(a);
【例题7】 [2015浙江理18]已知函数f （x ）=2x +ax+b （a ，
b ∈R ）,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值。

（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2;
（2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2，求|a|+|b|的最大值.
※解法辩伪※
已知函数2
221
()log log (1)log (),1
x f x x p x x +=+-+-- (1)()f x 求的定义域; (2)求f(x)的值域.
〖错解〗（1）22221
()log log (1)log ()1 log [(1)()],
x f x x p x x x p x +=+-+--=+-
()f x ∴的定义域为(-1,p)
（2）2
222
221
()log log (1)log ()1
1(1) log [()]
24
x f x x p x x p p x +=+-+---+=--+
2
22(1)log 2log (1) 2.4
p p +≤=+-
]2(),2log f x ∴∞的值域为(-(p+1)-2.
1. 函数164x y =-的值域是( )
A.[0,)+∞
B.[0,4]
C.[0,4)
D.(0,4)
2. 函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
3. 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数)2(+x f 的定义域和值域分别是（ ） A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]
4. 求值域：
（1）y = x 2 + 2
x 2 - 1
;
（2）y = x 2
3x 2 +2x + 1
;
（3） y = 2x
x 2 + 2x + 4
;
5. ,04-⎣⎦
C.9,4
⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
D .9
,0(2,)4⎡⎤
-+∞⎢⎥⎣⎦
U
6. 函数f （x ）= 12
log , 1,2 x<1
x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩的值域为______.
7. 已知函数
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧1， x >0，0， x ＝0，－1，x <0，
则函数
g (x )＝x 2f (x －1)的值域
是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－1，0)∪[1，＋∞)
C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
8. [2014四川文15]以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间
[,]M M -.例如，当3
1()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，
2()x B ϕ∈。

现有如下命题：
①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，x R ∃∈，()f a b =”；
②若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值； ③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；
④若函数2
()ln(2)1
x f x a x x =++
+（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈。

其中的真命题有____________.（写出所有真命题的序号）.
（二）值域最值逆用
■题型结构特征：已知函数的值域考察函数式中的参数.
1. 二次函数
★判断识真☆
[2015陕西理12]对二次函数
2()f x ax bx c =++（a 为非零正
整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有 一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A ．-1是f(x)的零点
B ．x=1时f(x)取最小值
C ．f(x)的最小值为3
D . 点(2,8)在曲线y = f(x)上
2. 根式复合
【例题8】 (1)已知函数y = kx 2 + 4kx + 3 的定义域为R ，
则k 的取值范围是 ;
(2)已知函数y = kx 2 + 4kx + 3 的值域为[0,+
∞)，则k 的取值范围是 .
3. 指数复合
【例题9】 [2015山东理14] 已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠
的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=
※解法辩伪※
设a > 0且a ≠ 1, 如果函数f(x) = a 2x + 2a x – 1 在[ - 1, 1]上的最大值为14，求a 的值.
〖错解〗 当x = 1时，f(x)有最大值，即a 2 + 2a – 1 = 14, ∴a 2 +
2a – 15 = 0, ∴a = 3或（a = - 5舍）
4. 对数复合
【例题10】 已知函数 f(x) = log 3
mx 2 + 8x + n
x 2 + 1
的值域为
[0,2],求m 、n 的值.
※解法辩伪※
若函数y = log 2[ax 2 + (a – 1)x + 1
4
]的值域为R,求实数a 的
取值范围.
〖错解〗∵函数 y = log 2[ax 2 + (a – 1)x + 1
4 ]的值域为R,
∴对任意x ∈R, ax 2 + (a – 1)x + 1
4
> 0，
若a = 0,则 – x + 1
4
> 0不能恒成立，∴a ≠ 0;
若a ≠ 0, 则0,0,a >⎧⎨∆<⎩即2
0,(1)0,
a a a >⎧⎨--<⎩解得 3 - 5
2 < a <
3 + 5
2
.
5. 绝对值复合
【例题11】 [2015重庆理16]若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小
值为5，则实数a=_______.
【例题12】
[2017浙江
17]已知
a ∈R ，函数
4
()||f x x a a x
=+
-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________．
1. 设函数f (x )＝x α＋1(α∈Q)的定义域为[－b ，－a ]∪[a ，b ]，其中0<a <b ，且f (x )在[a ，b ]上的最大值为6，最小值为3，则f (x )在[－b ，－a ]上的最大值与最小值的和是( ) A ．－5 B ．9 C ．－5或9 D ．以上不对
2. 函数y = x 2 – 3x – 4的定义域是[0, m]，值域为[- 25
4
, - 4]，则
m 的取值范围是 .
3. 若函数()1f x x m =-+在区间[],a b 上的值域为
(),122a b b a ⎡⎤>≥⎢⎥⎣⎦
，则实数m 的取值范围为（ ）
]2,0]2
,0
4.)
12,12]5.log 12
(x
6. 已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体：○
1f(x)在其定义域上是单调函数；○2在f(x)的定义域内存在闭区间[a, b]，使得()f x 在 [a, b]上的最小值是2
a
，最大值是
2
b
.请解答以下问题：（1）判断函数()3g x x =-是否属于集合M ？并说明理由，若是，请找出满足○2的闭区间[],a b ；（2）若函数()1h x x t M =-+∈，求实数t 的取值范
围.
7. 已知函数2()12(1)x x f x a a a =--> （1）求函数()f x 的值域；
（2）若[]2,1x ∈-时，函数()f x 的最小值为7-，求a 的值和函数()f x 的最大值.
8. 已知函数f (x )＝(1
3
)x ，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )
＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；
(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件： ①m ＞n ＞3；
②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]． 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．
（三）值域及最值应用
1.值域与函数方程解
■题型结构特征：函数方程解的存在性确定参数范围.
【例题13】 若关于x 的方程x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21=
a a
lg 1lg 1-+有正根，则实数a 的取值范围为（ ）.
A.()1,0
B.⎪⎭
⎫
⎝⎛10,101 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,101 D.()+∞,10
2.值域与双变量函数方程解
■题型结构特征：双变量两函数方程形如f(a) = g(b).
【例题14】 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若
有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2)
C ．[1，3]
D ．(1，3)
3.值域与双变量函数不等式解
■题型结构特征：双变量两函数不等式形如f(a) > g(b).
【例题15】 已知21()lg(31),()()2
x f x x x g x m =++=-，若对任
意x 1∈[0, 3]，存在x 2∈[1,2]，使得1()f x ＞g(2x )，则实数m
的取值范围是 .
4.不等式恒成立问题
■题型结构特征：含参不等式恒成立确定参数范围.
【例题16】 设函数f(x) = x - 1
x ．对任意x ∈[1, +∞)，f(mx)
+ mf(x) < 0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
【例题17】 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a
x
，x ∈[1，＋∞)．
(1)当a ＝1
2
时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
【例题18】
[2016上海]已知a ∈R ，函数
21
()log ()f x a x
=+.
（1）当5a
=时，解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围； （3）设0a >，若对任意1[,1]2
t ∈，函数()f x 在区间[,1]
t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.
5.值域与定义域的综合问题
■题型结构特征：函数的定义域与值域相关问题.
【例题19】 设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为
D ，
若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为( )
A ．2-
B ．4-
C ．8-
D ．不能确定
【例题20】 若函数f (x )为定义域D 上的单调函数，且存在
区间[a ，b ]⊆D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值范围恰为[a ，b ]，则称函数f (x )是D 上的正函数，区间[a ，b ]叫做等域区间．
(1)已知f (x )＝x 是[0,＋∞)上的正函数，求f (x )的等域区间；
(2)试探究是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 2
＋m 是(－∞，0)上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
1. 若1 < x < 3时不等式(1 – a)x 2 – 4x + 6 > 0恒成立，则a 的取值范围是 .
2. 若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 ．
3. 设y = (log 2x)2 + (t – 2)log 2x – t + 1，若t 在[-2, 2]上变化时y 恒取正值，则x 的取值范围是 .
4. 已知()2
2f x x px q =++，()4
g x x x =+是定义在集合
512M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬
⎩
⎭上的两个函数．对任意的x M ∈，存在常数
0x M ∈，使得()()0f x f x ≥，()()0g x g x ≥，且()()00f x g x =．则函数()f x 在集合M 上的最大值为（ ） A.92 B.4 C.6 D.892
5. [2014江苏10]已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的
[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围
为 .
6. 设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2
()97a f x x x
=+
+，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________
7. 设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.
8. 设f(x) = lg 1 + 2x + 4x
a
3
，其中a ∈R ，如果x ∈(-∞,1]时f(x)
有意义，求a 的取值范围.
9. 已知函数2
(),[1,)x ax a f x x x
-+=∈+∞，
（1）当4a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.
10. 设函数f (x )的定义域为D ，如果对于任意的x 1∈D ，存在唯
一x 2∈D ，使f （x 1）＋f （x 2）
2
＝C (C 为常数)成立，则称函数y
＝f (x )在D 上的均值为C ，给出四个函数：
①f (x )＝x 3；②f (x )＝x + 1
x
；③f (x )＝lg x ；④f (x )＝3x .
则满足在其定义域内的均值为2的所有函数是_____．(填序号)
11. 已知函数f (x )＝x 2＋2x .
(1)若x ∈[－2，a ]，求f (x )的值域；
(2)若存在实数t ，当x ∈[1，m ]，f (x ＋t )≤3x 恒成立，求实数m 的取值范围．
12. 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝2log a (2x ＋t )(t ∈R)，其中x
（四）函数零点与方程问题
1.零点区间的判断
■题型结构特征：判别零点区间.
【例题21】 函数f （x ）=e x + x - 2 的零点所在的一个区间
是（ ）
A.（-2,-1）
B. （-1,0）
C.（0,1）
D.（1,2）
【例题22】 若a b c <<，则函数
()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个
零点分别位于区间
A.(,)a b 和(,)b c 内
B.(,)a -∞和(,)a b 内
C.(,)b c 和(,)c +∞内
D.(,)a -∞和(,)c +∞内
2.零点个数的判断
■题型结构特征：判别零点在区间上的个数问题.
【例题23】 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数
是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【例题24】 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为
( )
A. 1
B. 2
C.3
D.4
【例题25】 已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，
则函数y ＝f (f (x ))
＋1的零点个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【例题26】 设f(x) 是定义在R 上且周期为1的函数，在区
间[0,1)上， f(x) =2,,
, x x D x x D ⎧∈⎨∉⎩
,其中集合 D ={x| x =
n-1
n ,n ∈N*}，则方程 f(x) - lgx = 0 的解的个数是 ______.
【例题27】 已知函数f (x )是R 上的偶函数，且满足f (5＋x )
＝f (5－x )，在[0，5]上有且只有f (1)＝0，则f (x )在[－2 015，
2 015]上的零点个数为( )
A ．808
B ．806
C ．805
D ．804
3.零点存在性确定的参数范围问题
■题型结构特征：已知零点的个数存在性确定参数范围.
【例题28】 函数f (x )＝2x －2
x －a 的一个零点在区间(1，2)
内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，3)
B ．(1，2)
C ．(0，3)
D ．(0，2)
【例题29】 [2015湖南文14]若函数f （x ）=| 2x -2 | - b 有两个
零点，则实数b 的取值范围是_____.
【例题30】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤0
x 2－3ax ＋a ，x >0
有三个不同
的零点，则实数a 的取值范围是_________．
【例题31】 已知函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 是
偶函数，当]1,0[∈x 时，2)(x x f =，若在区间]3,1[-内，
函数k kx x f x g --=)()(有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A .)41,0( B ．]2
1,0( C ．)2
1,41(
D .]
31,41[
4.零点分布问题
■题型结构特征：根据零点的分布区域进行零点相关运算或不
等关系的判断. ★判断识真☆
已知函数f(x) = ( 1
3
)x - log 2x ，若实数x 0是方程f(x) = 0的
解，且0<x 1<x 0，则f(x 1) ( )
A.恒为正值
B.等于0
C.恒为负值
D.不大于0
【例题32】
已知定义域为R 的函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=)2(,1)
2(2
1
)(x x x x f .若关于
x 的方程
0)()(2=++b x af x f 有三个不同的实根
321,,x x x ，求232221x x x ++的值为（ ）
A. 10 B .12 C. 14 D.16
【例题33】 设函数f(x) = e x + x - 2, g(x) = lnx + x 2 - 3若实
数a, b 满足f(a) = 0, g(b)= 0，则（ ） A.g(a)<0<f(b)
B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b)
D.f(b)<g(a)<0
【例题34】 函数f （x ）=e ﹣
x +a ，g （x ）=|lnx|，若x 1，x 2
都满足f （x ）=g （x ），则（ ） A ． x 1•x 2＞e B ． 1＜x 1•x 2＜e
C ． 0＜x 1•x 2＜e
﹣1
D ． e ﹣
1＜x 1•x 2＜1
5.二次函数零点区间讨论法
■题型结构特征：已知二次函数的零点存在区间求参数范围. ※解法辩伪※
已知二次函数f(x)＝x 2－ax ＋3的两零点均为大于1的实数，则实数a 的取值范围是______．
〖错解〗∵函数两零点x 1、x 2则x 1+x 2>2, x 1x 2>1由韦达定理知 a >2, 3>1. 且判别式∆>0即a 2 - 12>0，综上解得a >2 3 .
【例题35】已知a是实数，函数()a
x
ax
x
f-
-
+
=3
2
22，如果函数()x f
y=在区间[]1,1-上有零点，求a的取值范围.
【例题36】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．
6.函数的不动点
■题型结构特征：形如f(x)=x或f((x))=x函数问题.
【例题37】对于函数f(x)，x∈R，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和
B.
(1)求证：A⊆B；
(2)若f(x)＝ax2－1(a∈R)，且A＝B≠∅，求实数a的取值范围．
【例题38】设二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a>0)，方程f(x) - x
= 0的两根x1,x2满足0<x1<x2<1 a.
(1)当x∈(0,x1)时，证明：x<f(x)<x1;
(2)设函数f(x)的图象关于直线x = x0对称，证明：x0 <x1 2.
6.[2015天津文8]已知函数2
2||,2
()
(2)x2
x x
f x
x
≤
⎧
=⎨
->
⎩，
,函数()3(2)
g x f x
=--,则函数y()()
f x
g x
=-的零点的个数为
A. 2
B. 3
C.4
D.5
7.[2014山东理8]已知函数()1
2+
-
=x
x
f
,
()kx
x
g=.若方程)
(
)
(x
g
x
f=有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A.）
，
（
2
1
0 B.）
，
（1
2
1
C.）
，
（2
1 D.）
，
（∞
+
2
8.已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b的取值范围为________．
9.[2015湖南理13]已知
3
2
,
()
,
x x a
f x
x x a
⎧≤
=⎨
>
⎩
，若存在实数b，使函数()()
g x f x b
=-有两个零点，则a的取值范围是 .
10.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c 的值为____．
11.已知二次函数f(x)＝x2－ax＋3 - a的两零点均为正数的实数，则实数a的取值范围是______．
12.已知函数1
log
)
(
2
-
=x
x
f，且关于x的方程
2
)
(
)]
(
[2=
+
+b
x
af
x
f有6个不同的实数解，若最小的实数解为-3，则b
a+的值为( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
13.已知定义在R上的奇函数()
f x满足(4)()
f x f x
-=-，且[]
0,2
x∈时，
2
()log(1)
f x x
=+，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：()31
f=；乙：函数()
f x在[]
6,2
--上是减函数；丙：函数()
f x关于直线4
x=对称；丁：若()
0,1
m∈，则关于x的方程()0
f x m
-=在[]
8,8
-上所有根之和为8
-，其中正确的是( )
A.甲、乙、丁B．乙、丙C．甲、乙、丙D．甲、丙
14.设函数f(x) = (x2 - 8x + c1)(x2 - 8x + c2)(x2 - 8x + c3)(x2 - 8x + c4)，集合M={x| f(x) = 0}={x1,x2,···,x7}⊆N*,设c1≥c2≥c3≥c4.则c1– c4 =( )
A.11
B.13
C.7
D.9
15.[2015北京理14]设函数()
()()
21
42 1.
x a x
f x
x a x a x
⎧-<
⎪
=⎨
--
⎪⎩≥
‚‚
‚
①若1
a=，则()
f x的最小值为；
②若()
f x恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
16. 设函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)·f (1)＞0.求证：
(1)方程f (x )＝0有实根；
(2)－2<b
a
<－1；
(3)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则33≤|x 1－x 2|<2
3
.
17. 已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a 1
1－x
，
记F (x )＝2f (x )＋g (x )．
(1)求函数F (x )的定义域D 及其零点；
(2)若关于x 的方程F(x)－m ＝0在区间[0，1)内仅有一解，求实数m 的取值范围．
18. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且不等式f (x )<2x 的解集为(－1，2)．
(1)若方程f (x )＋3a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最小值不大于－3a ，求实数a 的取值范围．
19. 已知定义域为R 的函数f(x )满足f(f(x )-x 2+x )=f(x )-x 2+x . （1）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a ，求f(a)；
（2）设有且仅有一个实数x 0，使得f(x 0)=x 0，求函数f(x )的解析式.
20. 已知函数f(x)＝a(1 - 2|x - 1
2
|)，a 为常数且a>0.
(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝1
2
对称；
(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；
(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性． 『类型题补充』☟
『方法点拨及参考答案或提示』☟函数专题（五）
(一）求值域（或最值）
1. 复合函数的值域
方法要领指点： 复合函数值域由里往外求，即先求内函数值域
再作外函数自变量取值求外函数取值范围.注意将函数式化成复合函数形式结构是关键，常用手段有：配方、配项、换元、分离常数等. ★判断识真☆
[解析]函数y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移2个单位而得到的，其值域不变，故选D.
【例题1】 [解析]：(1)（配方） y = 5 - (x + 1)2
∵0≤(x + 1)2≤ 5 ∴0≤5 – (x + 1)2≤5; 则 0≤y ≤ 5 即函数值域为[0,5]
(2)（换元法）令t = ( 12 )x ，则12 ≤t≤( 12 ) - 3 即1
2
≤t≤ 8，
且 y = t 2 – t + 1,关于t 的函数f(t) = t 2 – t + 1,在[1
2
, 8]上是增函
数，其值域为 [f( 12 ), f(8)] 即[34 , 57] .即y = ( 14 )x –( 1
2 )x +1
(-3≤x≤1)的值域为[3
4
, 57]
(3) （换元配方）设t = 1 - 2x ，则 t ∈[0, +∞)，且x = 1
2
(1 - t 2) 则 y = 12 (1 - t 2) + t = 1 - 1
2
(t – 1)2
由于t – 1 ∈[ - 1 , +∞)∴(t – 1)2∈[0, +∞),则y ∈(-∞, 1]，即函数值域为(-∞, 1].
(4)（分离常数）y = x + 1 + 1x + 1 = 1 + 1x + 1 ; 而1
x + 1
的值
域为{y ∈R| y≠0}∴函数y = 1 + 1
x + 1
的值域为{y ∈R| y≠1};
(5)
【例题2】 - 14 [解析] f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )＝1
2
log 2
x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝
()
log 2x ＋122- 14，所以当x ＝2
2时，函数f (x )取得最小值 - 14.
2. 合成型函数的值域
方法要领指点： 能转化成复合函数力求转化，一次分式函数还
可用逆求法，即反解x(或其相关关系式)，当x 有解时y 的取值范围即为函数值域.对于二次分式结构函数一部分可能化成复合函数处理，一般的都可采用方程法，即将函数式化为关于x 的二次方程，方程有解时y 的取值范围即是函数值域(须要用到判别式，但要考虑到非二次时情况).
【例题3】 [解析] (1)（方程法：逆求） 由y = 3x + 1
3x - 1
得 3x
= y + 1y - 1 , 此式关于x 方程有解时 y + 1y - 1
> 0, 解得 y > 1或y < - 1 即所求函数的定义域为 (-∞,-1)∪(1,+∞）. (注：此题也可以用分离常数化成复合函数求值域)
(2) （方程法：利用判别式）由y = 2x
x 2 + 2x + 4
得 yx 2 + (2y
- 2)x + 4y= 0.
上式关于x 方程有解时y = 0或y≠0时 (2y - 2)2 – 16y 2 ≥ 0.
即3y 2+ 2y – 1 ≤ 0解得 – 1 ≤y≤ 13 即函数值域为[-1,1
3
]
(3) （方程法：利用判别式）由y = x + 1
x + 1
得 x 2 + (1 –
y)x + 1 – y = 0，关于x 方程有解时，（1 – y)2 – 4(1 – y)≥ 0 ,解得 y ≥ 1或 y ≤ - 3.所求函数值域为(- ∞, - 3]∪[1, +∞)
【例题4】 [解析]由周期性可知 g(x – 1) = g(x – 2) = g(x)
∴ f(x – 1) – (x – 1) = f(x – 2) – (x – 2) = f(x) – x 即 f(x) = f(x – 1) + 1 = f(x – 2) + 2.
当x ∈[1,2]时, x – 1 ∈[0, 1]∴f(x – 1)值域为[ - 2, 5]，而f(x)的值域为[- 1, 6].
当x ∈[2, 3]时，x – 2 ∈[0, 1]∴f(x – 2)值域为[ - 2, 5]，而f(x)的值域为[0, 7].
综上f(x)在区间[0,3]上的值域为[-2, 7]
3. 分段函数的值域
方法要领指点： 分段函数值域分段求，取并集. 【例题5】 [解析]（1）（分段函数值域分段求）x < 0时，y
= x 1 - x = 11 - x
- 1.，求得值域为(- 1, 0). 当x ≥0时，y = 12 x - 12 其值域为[- 1
2
, +∞)
综上所求函数值域为(- 1, 0)∪[- 1
2
, +∞)=(- 1, +∞)
(2) y = |2x + 1| + |3 – x| = 2| x + 1
2
| + |x – 3|
法1：(写成分段函数) 132,214,3232,3x x y x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪=+-<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
求得值域[7
2,
+∞)
法2：（数形结合）y = |2x + 1| + |3 – x| = 2| x + 1
2
| + |x – 3|
设数轴上定点A 、B 坐标为- 1
2
、3，动点P 对应坐
标为x ，则y = 2|PA| + |PB|，由图形可知y 最小时，P 与点
A 重合，|AB|=72，从而界定函数值域为[7
2
, +∞)
4. 含参数函数的最值值域问题
方法要领指点： 注意参数的讨论，讨论的原则是清晰全面，分
类不重不漏. ★判断识真☆
B [解析] 由于最值在f(0) = b,f(1) = 1 + a + b,f( - a 2 ) = b - a 2
4 中取，所以最值之差一定与b 无关.
【例题6】 [解析] (1) 由1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.
t 2 = 2 + 2 1 - x 2 ∈[2, 4], 从而t ∈[ 2 , 2].
f(x) = a(12t 2 – 1) +ｔ. 则m(t) = 1
2
a t 2 +ｔ– a, t ∈[ 2 , 2]
(2) 当a ＞0时，函数y=m （t ）对称轴t = - 1
a
< 0，
函数y=m （t ）在[ 2 ，2]上单调增，g(a) = m(2)=a + 2.
当a<0时，且- 1a < 2 即a<- 2
2 时，g(a) = m( 2 )= 2 .
当a<0时，且 2 ≤- 1a ≤2即- 22 ≤a≤- 1
2时，g(a) =
m(- 1
a) = -
1
2a- a.
当a<0时，且-
1
a> 2即a>-
1
2时g(a) = m(2)= a + 2 (3) a = 0时g(a) = m(2)= a + 2
综上
g(a) =
1
2,,
11
(),,
22
a a
g a a x
a
x
⎧
+>-
⎪
⎪
⎪
=--≤-
⎨
⎪
<
【例题7】[解析] (1)f(x) = (x + a
2)
2 +ｂ-
a2
4，对称轴为x
= -
a
2,且|-
a
2|≥1，f(x)在[-1, 1]上单调，M(a,b) =
max{|f(1)|,|f(- 1)|}
f(1) – f( - 1)| = |2a|≥ 4, ∴max{|f(1)|,|f(- 1)|}≥2即M(a,b)≥ 2.
(2)由M(a,b)≤2得|1 + a + b| = |f(1)|≤2, |1 - a + b| = |f(-1)|≤2,
故|a + b|≤3, |a –b|≤3.由此得|a| + |b| ≤ 3, 当a = 2, b = -1时取等
号，∴|a| +|b| 的最大值为3.
※解法辩伪※
〖正解〗（1）由
1
0,
1
10,
x
x
x
p x
+
⎧
>
⎪-
⎪
->
⎨
⎪->
⎪
⎩
解得1<x<p, ()
f x
∴的定义域为(1,p)
（2）
222
2
2
2
1
()log log(1)log()
1
1(1)
log[()]
24
x
f x x p x
x
p p
x
+
=+-+-
-
-+
=--+
3 - p
2< x -
p - 1
2<
1 + p
2
当p>3时，(x -
p - 1
2)
2∈[0, (
1 + p
2)
2)
f(x)值域为（-∞，
log2 (
1 + p
2)
2]即（-∞，2log2 (1+p) - 2]
当1<p≤ 3时(
3 - p
2)
2 < (x -
p - 1
2)
2< (
1 + p
2)
2.
f(x)值域为(-∞，log2 [(
1 + p
2)
2 - (
3 - p
2)
2] ]即(-∞，log2 (p -1)
+ 1]
(二）值域最值逆用
方法要领指点：虽已知值域仍要从求值域过程思考，甚至带参
求出值域再列方程或不等式求参.
1.二次函数
★判断识真☆
A. [解析]若A,B,C正确，则3也是f(x)零点，f(x) = a(x + 1)(x – 3),
由f(1) = 3得- 4a = 3，a无整数解；
若A,B,D正确也有f(x) = a(x + 1)(x – 3), 由f(2) = 8得
- 3a = 8也无整数解;
若A,C,D正确设f(x) = a(x + 1)(x - t), 由, f(
t - 1
2) = 3得
- a (
t + 1
2)
2 = 3又a为整数，则a = - 3,
t + 1
2= ±1 即t = 1或–
3，
t = 1时f(2) = - 18≠8，t = - 3时，f(2) = 54 ≠ 8,
综上A错.
2.根式复合
【例题8】[解析](1)定义域为R时，kx2+ 4kx + 3≥ 0的解
集为R，则有k=0或k≥0且16k2–12k≤0解得0≤k≤
3
4
(2)y = kx2 + 4kx + 3的值域包含[0, +∞)，故k>0, 且16k2–
12k≥0解得k >
3
4.
3.指数复合
【例题9】[解析]若a> 1,则f(x) 在[- 1 , 0]上为增函数.
所以
11,
10
a b
b
-
⎧+=-
⎨
+=
⎩
解得 a =
1
2, b = - 2.所以a + b = -
3
2.
※解法辩伪※
〖正解〗当a > 1时，f(x)为增函数，f(x)max = f(1)，∴a2 + 2a –
1 = 14, 即a
2 + 2a – 15 = 0, 解得a = 3或（a = - 5舍）
当0<a<1时，f(x)为减函数，f(x)max = f(-1)，∴a-2 + 2a-1
– 1 = 14, 即a-2 + 2a-1– 15 = 0, 解得a-1 = 3或（a-1 = - 5舍）即a
=
1
a.
4.对数复合
【例题10】[解析]f(x)值域为[0,2]时,y = mx2 + 8x + n
x2 + 1的值
域为[1, 9]
将函数式整理为(y – m)x2– 8x + y – n = 0,
上式关于x的方程有解时，y = m或y≠m,且82– 4（y –
m)(y – n)≥0, 即y2– (m + n)y + mn – 16≤0.
上式解必为[1, 9]故m + n = 10, mn – 16 = 9即mn = 25,
解得m = n = 5.
※解法辩伪※
〖正解〗∵函数y = log2[ax2 + (a – 1)x + 1
4]的值域为R,
则函数y = ax2 + (a – 1)x +
1
4的值域必须包含(0, +∞)，
若a = 0,则y = – x +
1
4值域为R;
若a ≠ 0, 则0,
0,
a>
⎧
⎨
∆≥
⎩
即
2
0,
(1)0,
a
a a
>
⎧
⎨
--≥
⎩
解得a < 3 - 5
2
或a > 3 + 5
2.
5.绝对值复合
【例题11】[解析]设-1，a在数轴上对应点分别为A、B，x
变量对应点P，则f(x) = |PA| + 2|PB|，显然动点P在B点
时f(x)最小，即f(x)的最小值在x = a时取得，由f(a) = 5,
得|a + 1| = 5, 则a = 4或– 6.
（本题也可用后期学习内容绝对值不等式判断函数
最值）
【例题12】 （-∞，9
2 ] [解析]设t = x + 4
x
x ∈[1,4], 用方程法
求t 的值域.即考察方程x 2 - tx + 4 = 0在[1,4]上的存在解时
t 的取值范围.
令g(x) = x 2 - tx + 4, 则必有g(1)g(4)≤0,
或2
(1)0(4)0142
160
g g t t ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨≤≤⎪⎪∆=-≥⎪⎩
即50,
2040,
28,44t t t t t -≥⎧⎪-≥⎪
⎨≤≤⎪⎪≥≤-⎩或解得t ∈[4,5]. f(x) = |t - a| + a, a ≤ 9
2
时 f(x)max = (5 - a) + a = 5; a >
92 时，f(x)max = (a - 4) + a= 2a - 4,由2a - 4 = 5得 a = 92
. 综上，a 的取值范围是（-∞，9
2
].
(注：关于t 的取值范围还可用后期数学的学习内容基本不等式或求导等方法求）
(三）值域及最值应用
1. 值域与函数方程解 方法要领指点： 方程有解时相关参数的解析式取值范围就是函
数的值域.
【例题13】 C.[解析]函数y = ( 1
2 )x (x>0)的值域为(0, 1)，
则方程有正根等价于a
a
lg 1lg 1-+∈(0, 1)，由此解得 – 1<lga<
0，则1
10
< a < 1.
2. 值域与双变量函数方程解
方法要领指点： 两个独立变量不同函数值相等，意味着两函数
值域相同.
【例题14】 B.[解析]由题可知f (x )＝e x －1>－1.
g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]，
即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.故选B.
3. 值域与双变量函数不等式解
方法要领指点： 两个独立变量不同函数值不等关系常有两种构
成形式，即“存在”和“恒成立”，解题策略是求最值或值域临界值 .
【例题15】 m>1
4 [解析]问题等价于f(x)min >g(x)min .
f(x)为[0,3]上单调递增，f(x)min =f(0)=0, g(x)为减函数
∴g(x)min = g(2) = 14 - m.由0> 14 - m
解得m>1
4 .
4. 不等式恒成立问题
方法要领指点： 同变量函数不等式求参数范围问题，常用策略
有两种：一是分离变量，二是带参讨论.参数的范围由参数所在不等式另一侧的函数值域或其最值来决定.
【例题16】 （-∞,1)[解析] 解法1（带参讨论）．显然m≠0，
由于函数()1
f x x x
=-对[)1,x ∈+∞是增函数．则当m>0时，
()()0f mx mf x +<不恒成立，因此m<0．
当m<0时，函数()()()h x f mx mf x =+在 [)1,x ∈+∞是减函数，
因此当x=1时，h(x)取得最大值()1
1h m m
=-，
于是()()()0h x f mx mf x =+<恒成立等价于()h x [)()1,x ∈+∞的最大值< 0，
即()11h m m =-< 0，解10,0,
m m m ⎧
-<⎪⎨⎪<⎩得m < - 1．于是实数m 的取
值范围是(),1-∞-．
解法2（带参讨论）．然m≠0，由于函数()1
f x x x
=-对[)
1,x ∈+∞是增函数，则当m > 0时，()()0f mx mf x +<不成立，因此m
< 0．
()()2222
112120
m m m x m f mx mf x mx mx mx mx x mx mx +--+=-+-=-=<
因为[)1,x ∈+∞，m < 0，则222
210m x m -->，设函数()22221g x m x m =--，则当[)1,x ∈+∞时为增函数，于是x = 1
时，g(x)取得最小值()2
11g m =-．
解()2110,
0,g m m ⎧=->⎪⎨<⎪⎩
得m < - 1．于是实数m 的取值范围是(),1-∞-．
【例题17】 [解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋1
2x ＋2．
∵f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝7
2
.
(2)解法一（分离变量）：在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a
x
>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0即- a < x 2＋2x 恒成立． 设y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[1，＋∞)， ∴当x ＝1时，y min ＝3，
于是，当且仅当- a < 3即a ＞－3时，函数f (x )>0恒成立，
解法二（带参讨论）：f (x )＝x ＋a
x ＋2，x ∈[1，＋∞)，
当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正， 当a ＜0时，函数f (x )递增， 故当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，
于是当且仅当f (x )min ＝3＋a ＞0时，函数f (x )>0恒成立， 故a ＞－3.
【例题18】 [解析]（1）由21log 50x
⎛⎫+> ⎪⎝
⎭
，得151x +>，
解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞
⎪⎝⎭
U ．
（2）()1425a a x a x
+=-+-，()()24510a x a x -+--=，
当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．
当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．
当3a
≠且4a ≠时，11
4
x a =-，2
1x =-，12x x ≠．
1x 是原方程的解当且仅当1
10a x +>，即2a >；
2x 是原方程的解当且仅当2
10a x +>，即1a >．
于是满足题意的(]1,2a ∈．
综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4U ． （3）当120x x <
<时，1
2
11
a a x x +>
+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以()f x 在()0,+∞上单调递减．
函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，
()1f t +．
()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫
-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
即
()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
成立．
因为0a
>，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单
调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，
得23
a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
5. 值域与定义域的综合问题
方法要领指点： 此类问题两域常为动态形式，难免进行必要的
【例题||a =
【例题20】 [解析](1)∵f (x )＝x 是[0，＋∞)上的正函数，且
f (x )＝x 在[0，＋∞)上单调递增．
∴当x ∈[a ，b ]时，⎩⎨⎧f （a ）＝a ，f （b ）＝b ，即⎩
⎨
⎧
a ＝a ，
b ＝b ，
解得a ＝0，b ＝1，故函数f (x )的“等域区间”为[0，1]． (2)∵函数g (x )＝x 2＋m 是(－∞，0)上的减函数，
∴当x ∈[a ，b ]时，⎩⎨⎧g （a ）＝b ，g （b ）＝a ，即⎩
⎨⎧a 2＋m ＝b ，
b 2＋m ＝a ，
两式相减得a 2－b 2＝b －a ，即b ＝－(a ＋1)，
代入a 2＋m ＝b ，得出φ(a )＝a 2＋a ＋m ＋1＝0，则其函数φ
(a )的对称轴为a ＝－1
2
.由a <b <0，且b ＝－(a ＋1)<0，得－1<a <
－12
， 故关于a 的方程a 2＋a ＋m ＋1＝0在区间[－1，－1
2]内有实
数解，记
h (a )＝a 2＋a ＋m ＋1，则
⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）>0，
h(－1
2
)<0，解得m ∈
[－1，－3
4
].
故存在m ∈[－1，－3
4]，使得函数g (x )＝x 2＋m 是(－∞，0)
上的正函数．
取等号，故2
min
()41
x x =-，所以，a < 4.
10. [解析]对于f (x )＝x 3，其定义域为R ，显然x 1∈D 时，必存
在唯一x 2∈D ，使x 31＋x 3
2＝4成立
对于f (x )＝x+1x ， 显然当x 1 =2时，f (x 1)＝2+1
2
不存在x 2，
使x 2+1x 2 = 2 - 12 = 3
2
(无解)成立；
对于f (x )＝lg x ，其定义域为全体正数，显然对于x 1＞0，一定存在唯一x 2＞0，使lg x 1＋lg x 2＝4成立；
对于f (x )＝3x ，其定义域为R ，显然当x 1∈D 时，不一定存在x 2∈R ，使 ＝4.
于是，满足在其定义域内的均值为2的所有函数是①③.
11. [解析](1)由题意得：
当－2<a ≤－1时，f (x )max ＝f (－2)＝0，f (x )min ＝f (a )＝a 2＋2a ， ∴此时f (x )的值域为：[a 2＋2a ，0]．
当－1<a ≤0时，f (x )max ＝f (－2)＝0，f (x )min ＝f (－1)＝－1， ∴此时f (x )的值域为：[－1，0]．
当a >0时，f (x )max ＝f (a )＝a 2＋2a ，f (x )min ＝f (－1)＝－1， ∴此时f (x )的值域为：[－1，a 2＋2a ]．
(2)由f (x ＋t )≤3x 恒成立得：x 2＋(2t －1)x ＋t 2＋2t ≤0恒成立，
令u (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋t 2＋2t ，x ∈[1，m ]，因为抛物线的开口向上，所以u (x )max ＝max{u (1)，u (m )}，
由u (x )≤0恒成立知：⎩
⎨⎧u （1）≤0
u （m ）≤0
化简得：⎩
⎨⎧－4≤t ≤0
t 2＋2（1＋m ）t ＋m 2－m ≤0，
令g (t )＝t 2＋2(1＋m )t ＋m 2－m
则原题可转化为：存在t ∈[－4，0]，使得g (t )≤0， 即：当t ∈[－4，0]，g (t )min ≤0
∵m >1，g (t )的对称轴：t 对＝－1－m <－2， 当－1－m <－4，即m >3时，g (t )min ＝g (－4) ∴⎩
⎪⎨⎪⎧m >316－8（m ＋1）＋m 2
－m ≤0，解得：3<m ≤8. 当－4≤－1－m <－2，即1<m ≤3时，g (t )min ＝ g (－1－m )＝－1－3m ∴⎩
⎪⎨⎪⎧1<m ≤3－1－3m ≤0，解得：1<m ≤3. 综上：m 的取值范围为：(1，8]．
12. [解析](1)由题意得f (1)－g (1)＝0，即log a 2＝2log a (2＋t )，
解得t ＝－2＋2或t ＝－2－2(舍去)，∴t ＝－2＋ 2.
(2)不等式f (x )≥g (x )恒成立，即1
2log a (x ＋1)≥log a (2x ＋t )(x
∈[0，15])恒成立，
它等价于x ＋1≤2x ＋t (x ∈[0，15])，
即t ≥
x ＋1－2x (x ∈[0，15])恒成立．
令
x ＋1＝u (x ∈[0，15])，则u ∈[1，4]，x ＝u 2－1，
x ＋1－2x ＝－2(u 2－1)＋u ＝－2(u －14)2＋17
8
，
当u ＝1时，
x ＋1－2x 的最大值为1.
∴实数t 的取值范围为{t |t ≥1}．
(四）函数零点与方程问题
1. 零点区间的判断
方法要领指点： 有区间就可利用区间零点存在判定定理. 【例题21】 C [解析]因为f （0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点
在区间（0，1）上，选C.
【例题22】 A [解析] 因为f(a)＝(a －b)(a －c)＞0，f(b)＝(b
－c)(b －a)＜0，f(c)＝(c －a)(c －b)＞0，所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以函数的两个零点分别在(a ，b)和(b ，c)内，故选A
2. 零点个数的判断
方法要领指点： 四种方法，一单调区间讨论法，即通过函数单
调区间及相关极值点(即单调区间分界点)的考察确定零点的存在及个数；二解方程法，即考察函数方程的解；三是分离函数图象法，即将函数对应方程变形分离成两函数的等式，考察两函数图象的交点；四是周期讨论法，即根据周期性只须讨论一个周期内的零点个数便知整个函数的零点数.
【例题23】 B [解析]法一(单调区间讨论法)：∵f (x )＝2x ＋x 3
－2在(0,1)上单调递增，且f (0)×f (1)＝－1×1＝－1<0，∴函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上有一个零点 法二(分离函数图象法)：将2x ＋x 3－2＝0化为2x ＝2－x 3，在同一坐标系内画出y ＝2x 与y ＝2－x 3的图象，如图所示，
结合图象可知函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上有一个零点．
【例题24】 B [解析]法1：(单调区间讨论法)
f(x)＝2x |log 0.5 x|－1＝
⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5x －1，0<x ≤1-2x log 0.5x －1，x >1＝⎩⎪⎨⎪⎧- 2x log 2x －1，0<x ≤12x log 2x －1，x >1 ∵f(x)＝－2x
log 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有一零点；又∵f(x)＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log 2 2－1＝3>0，∴f(x)在(1，＋∞)上有一零点．故f(x)共有2个零点．
法2：（分离函数法）考察|log 0.5x| = 2 - x 的解，进而考察g(x)
= |log 0.5x| 与h(x) = ( 1
2
)x 的交点.由图象可得解 .
【例题25】 A, [解析](解方程法) 由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))
＝－1，又由f (－2)＝f (12)＝－1，可得f (x )＝－2或f (x )＝1
2
.
若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝1
4
；
若f (x )＝12，则x ＝－1
2
或x ＝2，
综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点．故选A.
【例题26】 B. [解析]（分离函数周期讨论法）画出f(x)的图
象. D 是有理数集，所以自变量 x ∈D 时， f(x) = x 2也是[0,1)
上的有理数. f(x)在[0,1)上值域为[0,1)，而函数y = lgx 值域为[0,1）时，对应x 取值区间是[1,10），当有理数y ∈(0,1)，
x = 10y
是无理数.所以函数y =lgx 与f(x)只在[1,9)各周期里有且只有一个公共点，计8个公共点.
【例题27】 B. [解析]（周期讨论法） ∵函数f (x )是R 上的
偶函数，在[0，5]上有且只有一个零点，所以在[－5，0]上也只有一个零点，而f (5＋x )＝f (5－x )，说明函数y ＝f (x )的图象以直线x ＝5为对称轴，所以f (x )的周期是10，每个周期上有两个零点，因此f (x )在[－2 015，2 015]上有4 030
10
×2＝806个零点，故选B
3. 零点存在性确定的参数范围问题
方法要领指点： 零点区间定理可用但必须是单调的才行；能画
出图形的函数尽可能借助图形得解；尤其周期函数，有时可以依据一定条件画出模拟性图象.
【例题28】 C. [解析](1)由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－
a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3
【例题29】 0＜b ＜2[解
析] f(x)有两零点，即方程|2x – 2| = b 有两实根，等价于y = |2x – 2|与y = b 有两交点，结合图象可知 0<b<2 .
【例题30】 [解析]依题
意，要使函数f (x )有三个不同的零点
则当x ≤0时，方程2x －a ＝0即2x ＝a 必有一个根，此时0<a ≤1；
当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根， 即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，
于是有⎩⎨⎧Δ＝9a 2－4a >0，
3a >0，
a >0，
由此解得a >4
9
.
因此，满足题意的实数a 需满足⎩
⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，a >49，即4
9
<a ≤1.
【例题31】 C [解析]由f(x + 1) = - f(x)可知f(x)是周期为2
的函数，画出函数的图象考察
f(x)与y = k(x + 1)的交点.
直线过点(1,1)及(3,1)时的
斜率分别为12 ,和1
4
故答案选
C.
4. 零点分布问题
方法要领指点： 这种题都需要根据图象处理，具体确定零点所
在的区间及相互之间的关系（大小、对称等）. ★判断识真☆
A [解析]f(x)是减函数，故有f(x 1) > f(x 0) = 0，所以选A.
x
y
O
1 2 3
-1
1。