糖果配比销售

糖果配比销售问题

摘要

本文在充分理解题意的基础上，确定了要解决此果仁混合问题需要建立规划模型，进而由Linggo 求解此规划模型。在此基础上，本文作出了合理的假设，并假设出每周每类果糖分别需要的不同类别的果仁的数量，根据这每类果糖分别需要的果仁数量可以计算出普通、豪华、蓝带这三类果糖的数量，以及腰果仁、胡桃仁、核桃仁、杏仁这四类果仁分别的数量。在建立第（1）问的规划模型过程中，根据题目中所给出的每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的售价，可以计算出糖果店购进果仁的成本，再根据糖果店每类果糖的售价，可以计算出果糖的周利润为：W=0.89*(1111x +y +z +t )+1.1* (2222x +y +z +t )+1.8* (3333x +y +z +t )-0.45*(123t +t +t )-0.55* (123z +z +z )-0.7*(123x +x +x ) -0.5*(123y +y +y )，使该周利润为最大即为目标函数。再根据在每个品牌的果糖中所含有的果仁的最大、最小比例和每周商店从供应商处能够得到的每类果仁需满足的最大数量，可以列出其需满足的12个约束条件。将目标函数和这些约束条件列入Linggo 中求解，即可确定出每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，以及最大的周利润值。在此基础上建立第（2）问圣诞周的模型，圣诞周豪华和蓝带的销售量会增加，而这两种品牌的果糖必需的成分是腰果仁和杏仁，因此，若增加果仁的供应量10%，则腰果仁和杏仁的供应数量是必须增加的，但腰果仁的购进价格是最大的，因此还需在此基础上考虑到胡桃仁和核桃仁的增加量，均衡购进量和普通果糖的售出量，分四种情况讨论：第一种情况即为增加腰果仁的重量，用于增加豪华和蓝带的售出。第二种情况即为增加胡桃仁的数量用于增加豪华和蓝带的售出。第三种情况即为增加核桃仁的数量，用于增加豪华和蓝带的售出量。第四种情况即为增加杏仁的数量，用于增加豪华和蓝带的售出量。其中每一种情况又可根据不同果仁的购进量的不同分情况讨论。再运用Linggo 求解每种讨论情况的规划模型，即可得出混合配比的改变情况，以及圣诞周利润的改变情况。

【关键词】：规划模型、Linggo 求解、购进成本、周利润、均衡购进量和售出量、分情

况讨论

(一)问题重述

1. 问题背景：

某糖果店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的。每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价也是确定的。

2.问题重述：

⑴每种果糖所需满足的不同类别果仁的比例如下：

⑵每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价如下：

⑶问题：

①确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大，

建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。

②若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让果仁供应量增

加10%,考虑在这种情况下混合配比是否改变，圣诞周利润会改变多少？请分

情况说明。

(二) 问题分析

每类果糖所需要的果仁的成分以及其对应的比例都是不一样的，没有一个统一的评价，因此必须假设出每类果糖对不同果仁分别的需要量，进而求出每类果糖和果仁的重量，列出购进成本和总利润作为目标函数，再根据每类果糖中果仁的比例要求以及每周每类果仁能够购进的最大数量确定出关于目标函数的约束条件，进而由Lingogo 求解。

第二问分情况讨论，即可根据豪华和蓝带果糖所增加的销售量的来源可分四种情况讨论：第一种情况即为增加腰果仁的重量，用于增加豪华和蓝带的售出。第二种情况即为增加胡桃仁的数量用于增加豪华和蓝带的售出。第三种情况即为增加核桃仁的数量，用于增加豪华和蓝带的售出量。第四种情况即为增加杏仁的数量，用于增加豪华和蓝带的售出量。其中每一种情况又可根据不同果仁的购进量的不同分情况讨论。再运用Linggo 求解每种讨论情况的规划模型，即可得出混合配比的改变情况，以及圣诞周利润的改变情况。再这些解中筛选出利润最大的一类情况，即可确定为圣诞周的果仁混合情况。

(三) 模型假设

1. 假设所购进的果仁没有剩余，全部卖出；

2. 假设果糖的重量全部集中在果仁上；

3. 假设每周购进腰果仁123x +x +x 千克，其中普通果糖需要1x 千克，豪华果糖需要2x 千

克，蓝带果糖需要3x 千克；

4. 假设购进胡桃仁123y +y +y 千克，其中普通果糖需要1y 千克，豪华果糖需要2y 千克，

蓝带果糖需要3y 千克；

5. 假设购进核桃仁123z +z +z 千克，其中普通果糖需要1z 千克，豪华果糖需要2z 千克，

蓝带果糖需要3z 千克；

6. 假设购进杏仁123t +t +t 千克，其中普通果糖需要1t 千克，豪华果糖需要2t 千克，蓝带

果糖需要3t 千克。

(四)符号及变量说明

(五)模型的建立与求解

1.问题（1）规划模型的建立及求解:

根据假设可得出普通、豪华、蓝带果糖的重量如下表：

购进果仁的重量如下：

根据题目中每类果仁的购进价可得出果仁的购进成本为：

0.45*123t +t +t +0.55*123z +z +z +0.7*123x +x +x +0.5123y +y +y

再由每类果糖的售价可得周利润为：

W=0.89*(1111x +y +z +t )+1.1* (2222x +y +z +t )+1.8* (3333x +y +z +t )-0.45*(123t +t +t ) -0.55* (123z +z +z )-0.7* (123x +x +x )-0.5*(123y +y +y )

由于每种品牌不同种类果仁的混合配比不同，可得到条件如下： ⑴普 ⑴1x /(1111x +y +z +t )<=20% 化简，可得41x 111-y -z -t <=0 ⑵1y /(1111x +y +z +t )>=40% 化简，可得21x 111-3y +2z +2t <=0 ⑶z1/(1111x +y +z +t )<=25% 化简，可得1111 x +y -3z +t >=0 ⑵豪华果糖：

⑷2x /(2222x +y +z +t )<=35% 化简，可得132222x -7y -7z -7t <=0 ⑸2t /(2222x +y +z +t )<=40% 化简，可得22222x +2y +2z -3t <=0