隐函数的求导公式
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微积分课件第5节隐函数的求导公式
z z dx dy. dz xz ( x z) y
2
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法 x z ex2.设 ln , 求dz. z y
解2 （全微分法） x z 原式两边微分得: d ( ) d (ln ) z y zdx xdz y ydz zdy 即 2 z z y2 z z 整理得dz ( dx dy) xz y z z2 dx dy. xz ( x z) y
sin y x cos y y ye x ye x 0
sin y ye 所以, 得 y . x x cos y e
x
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性， 并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数 的求导公式, 给出用偏导数来求隐函数的导数的
F F ( x , f ( x )) F F ( x , y ), y f ( x )
连 续函 数 y f ( x ), 且y0 f ( x0 ); Fx dy (2)有连续导数 （一元隐函数的求导公式） . dx Fy 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下: x 将函数 y f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) 0 得 F dy F[ x, f ( x )] 0, 即Fx Fy 0, y dx 上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得
Method3.也可先求偏导再代入全微分公式得所求.
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
z 思路：把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， x x 把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z 解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
隐函数及其求导法则
x 1 3 z
y
x 1 z 2 3 z y
x 2y 2 xy 2 3. 3z 3z 9z
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
设 z x y z , 求 dz . 例4
解 令 F ( x, y, z ) z x y z . 因为
Fx z x lnz , Fy z y z 1 ,
xz x 1 y z ln y , Fz
导， 得
z Fx Fz 0, x
z Fy Fz 0. y
因 为Fz 0, 所以
Fy Fx z z , x Fz y Fz
这就是二元隐函数的求导公式.
z 例 3 设 x y z 4 z 0，求 2 . x
2
2 2 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z , 解 令
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
第六节
隐函数及其求导法则
1. 一元隐函数的求导公式 设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
Fx Fy dy 0, dx
若 F y 0, 则
dy Fx . dx Fy
这就是一元 隐函数的求导公式.
例1
dy . 设 x y 2x , 求 dx
2 2பைடு நூலகம்
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y
高等数学@9.5隐函数的求导法则
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
例3 设 x =x(y,z)、 y =y(x,z)、 z =z(x,y) 都是由方程 F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，
Fz
y) z
x z x
x
y
z y
z Fz
y ( y) zz
Fz
zFz Fz
z
练习题
1.求方程 z3 3xyz a3 确定隐函数z=z(x,y) 的偏导数
2. 设 z=z(x,y) 是由方程 f (x+y, y+z, z+x)=0
所确定的隐函数，求 z , z x y
解 设 F x y z, G x2 y2 z2 1
Fx 1, Fy 1, Fz 1, Gx 2x, Gy 2 y, Gz 2z,
J
Fx Gx
Fy Gy
1
2x
1 2y
2( y x)
dx 1 Fz dz J Gz
Fy Gy
11 J 2z
F dx F dy F dz 0, x y z
则方程F(x,y,z)=0在该邻域 内恒能唯 0,
连续且具有连续偏导数的
dz Fx dx Fy dy
函数 z = f (x, y)它满足条件
Fz
Fz
z0=f(x0, y0), 并有
1 J
x y
u v
vx x2
隐函数的求导公式
Fy z xz Fx z yz , , Fz cos z xy x Fz cos z xy y
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
隐函数的求导公式
两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
第六节隐函数的求导公式
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
Fx d2y Fx d y ( ) ( ) 2 d x x Fy y Fy d x
Fx Fy
x
y
x
x Fy Fx Fx F x F 2 ( 求二阶导数 y y d y x y 或 2 x 2 的通常方法 ) dx Fy dy dy ( Fxx Fxy )Fy Fx ( Fyx Fyy ) dx dx 2 d y F x Fy d x F 2 2 y Fxx Fy 2 Fxy FxFy Fyy Fx . 3 Fy 上页 下页 返回
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x y z x y z
x x
dy dz z xf ( x y ) y y( x ) 例5、 设 确定 ， 求 及 . y， z) 0 dx dx F ( x， z z( x )
解：将每个方程两边对 x求导得
z f xf (1 y )
2 FxFz Fx Fx z Fz Fzy z Fy Fz Fz z Fx Fy . 3 Fz 2 2 2 F F 2 F F F F F z Fx d y xx y xy x y yy x x Fz dx 2 Fy 3
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y
若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2 2 Fx x Fz 2Fx z Fx Fz Fz z Fx z . 2 3 x Fz 2 2 2 Fy y Fz 2Fy z Fy Fz Fz z Fy z . 2 3 y Fz 2
8.5 隐函数的求导公式
y
高等数学
x
y
x
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u u v v , , , . 例 5 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: u u ( x, y ), v v( x, y ) 方程组两边对 y 求偏导, 得 u u v v x x y v v y 0 y y y y 移项得 u v u v y x u u y x 0 y y y y v y x v u x xu yv xv yu v y u u 2 2 2 2 x y x y y y x y x y y x y x
2 2 3
解: y y ( x), z z ( x) 在方程两边分别对 x 求导,得 dy dz dy dz dz (1 2 z ) 1 1 2 z 0 dx dx dx dx dx d y dz dy 2 dz 2 dz 1 2 y 3 z 0 2 y (1 3z ) 1 d x dx dx dx dx
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F ( x, y ) 0
dy y f ( x), 求 . dx
Fx dy dx Fy
F ( x, y , z ) 0
公式法
直接法
z z z f ( x, y ), 求 , . x y
Fx z x Fz
推广: n 元方程
高等数学
Fy z y Fz
( n-1) 元隐函数
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2 z z f ( x, y ) 2 2 2 例3 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 设 F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z
高等数学
x
y
x
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u u v v , , , . 例 5 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: u u ( x, y ), v v( x, y ) 方程组两边对 y 求偏导, 得 u u v v x x y v v y 0 y y y y 移项得 u v u v y x u u y x 0 y y y y v y x v u x xu yv xv yu v y u u 2 2 2 2 x y x y y y x y x y y x y x
2 2 3
解: y y ( x), z z ( x) 在方程两边分别对 x 求导,得 dy dz dy dz dz (1 2 z ) 1 1 2 z 0 dx dx dx dx dx d y dz dy 2 dz 2 dz 1 2 y 3 z 0 2 y (1 3z ) 1 d x dx dx dx dx
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F ( x, y ) 0
dy y f ( x), 求 . dx
Fx dy dx Fy
F ( x, y , z ) 0
公式法
直接法
z z z f ( x, y ), 求 , . x y
Fx z x Fz
推广: n 元方程
高等数学
Fy z y Fz
( n-1) 元隐函数
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2 z z f ( x, y ) 2 2 2 例3 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 设 F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z
隐函数的求导公式
Fy z z Fx F ( x, y, f x, y )) 0, 并有 , . x Fz y Fz
现仅推导求导公式. 设 是方程 所确定的隐 函数,则 将恒等式 F ( x , y , f ( x , y )) 0 两边分别对x和y求导, 应用复合函数求导法得 z z Fz 0. Fz 0, F y Fx x y 因为 Fz 连续, 且Fz( x0 , y0 , z0 ) 0， 所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内 F ( x, y ) 0, y ( x, y) dy Fx 于是得 ( x, y) dx Fy dy Fx 或简写: . dx Fy
由全导数公式,得 ( x, y ) F y Fx ( x , y ) dy 0 dx
把y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得
y y 1 f1 1 f 2 xy xz , z z
整理得
y 1 f1 xyf 2 . z f1 xzf 2
例4 设函数f ( x , y )是由方程xyz x 2 y 2 z 2 2
2 2
解2 方程两边关于x求导,有
1 2 x 2 yy 2 2 2 x y
xy y dy x y , . 2 2 解得 x dx x y y 1 x 1
2. 由三元方程 F ( x , y , z ) 0 确定二元隐函数 z z z f ( x , y ),求 , . x y 隐函数存在定理2 若三元函数 F ( x , y , z ) 满足: (1) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内 具有连续偏导数; (2) F ( x0 , y0 , z0 ) 0; (3) Fz( x0 , y0 , z0 ) 0, 则方程 F ( x , y , z ) 0 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的 函数 z f ( x , y ), 它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ),
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。
1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。
4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。
第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
第5节 隐函数的求导公式
另解 : 对x求偏导
∂z ∂z 2 x + 2z −4 =0 ∂x ∂x
∂z x ∴ = , ∂x 2 − z
9
∂ z ∂ ∂z ∂ x = ( ) = ( ) 2 ∂x ∂x ∂x ∂x 2 − z
2
∂z x (2 − z ) + x (2 − z ) + x ⋅ 2− z ∂x = = 2 ( 2 − z )2 (2 − z )
解
令 F ( x, y) = x 2 + y 2 − 1 则 Fx = 2x , F y = 2 y ,
F (0,1) = 0,
2 2
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
依定理知方程 x + y − 1 = 0 在点 ( 0 ,1 ) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、 内能唯一确定一个单值可导 、 且 x = 0 时 y = 1 的 函数 y = f ( x ) ．
第四节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
dy 1. F ( x , y ) = 0 ⇒ y = y( x ) 如何求 ? dx 隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， 某一邻域内具有连续的偏导数， Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的
隐 函 数 存 在 定 理 2 设 函 数 F ( x , y , z )在 点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ， Fz ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 ， 则 方 程 F ( x , y , z ) = 0 在 点 P ( x0 , y0 , z0 )的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y )， 它 满 足 条 件 z0 = f ( x0 , y0 )， 并有
第5节隐函数的求导公式
1
fu
(y1) z
fv
(xyxzy), z
整理得 y 1 fu xyvf.
z
fu xzvf
13
例5 已知 x ( y )，其中 为可微函数，
zz
求 x z y z ?
x y
解：记 F ( x ,y ,z ) x z ( z y ) ,则Fx
1， z
xF zyF Fxz(zyx)1z,yzF (zyz), z2 yzx FF(zy zy )(x z2 yz)y,((zyzy)),
Fy
Fz
z y
0
z Fx x Fz
z Fy y Fz
8
例3
设x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解 令 F (x ,y ,z ) x 2 y 2 z 2 4 z ,
则
Fx2x, Fz2z4,
z Fx x , x Fz 2z
另 解: 对xHale Waihona Puke 偏导2x2zz4z0 x x
z x , x 2z
(
x z
)
F2 d (
y) z
0
F1
(
zd
x z2
xdz)
F2
(
zd
y z2
ydz)
0
xF1 yF2 z2
dz F1dxF2 dy z
dzxF1 zyF2(F1dxF2dy)
16
二、方程组的情形
F(x, y,u,v)0 G(x, y,u,v)0
vuvu((xx,,yy))
第四节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1 . F (x,y)0yy(x) 如何求dy?
第5节 隐函数的求导公式
y x
z y
,
dy z x dz x y
du dz
f x
dx dz
f y
dy dz
y cos
xy
y x
z y
x cos
xy
zx数的求导法则（分以下几种情况）
(1) F ( x, y) 0
(2) F( x, y, z) 0
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
4
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
0
fu
(
x y
1)
fv (xz
yz x ), y
13
z f (u,v), u x y z, v xyz,
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成 x, z的函数对 z求偏导数得
1
fu
(
y z
1)
fv (xy
xz
y ), z
整理得 y 1 fu xyfv .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
方程组对x求偏导
Fx
Fu
u x
Fv
v x
0
G x
隐函数的求导公式
① 在点
② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ,
的某邻域内具有连续偏导数 ;
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数 Fx z , x Fz
Fy z y Fz
②
§ 2.8 隐函数的求导公式
注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x u x v 1 , ①式两边对 同理 求导, 可得 u x v y x ② u 1 x y u y , v v 1 x 0 v v x y J u u y x J
G G
§ 2.8 隐函数的求导公式
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) u v 0, G ) Fx Fu v Fv 1 (F x x y J ( u , y ) Gx Gu u Gv v 0 x x
§ 2.8 隐函数的求导公式
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
第二章 函数微分学 § 2.8 隐函数的求导公式
2.5 隐函数的求导公式
邻域内能唯一确定一个可导,且 x 0 时 y 1
的隐函数 y f ( x), 并求这函数的一阶和二
阶导数在 x 0 的值.
解 令 F(x, y) x2 y2 1
则
(1)F x
2x,
Fy
2y
连续
,
(2)F(0,1) 0,
(3)Fy (0,1) 2 y (0,1) 2 0,
由定理知方程 x2 y2 1 0 在点 (0,1)
u y
xv x2
yu y2 ,
v y
xu x2
yv y2
.
并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
2.5 隐函数的求导公式
x2 y 1 0
显化 方法一
求 dy dx
y (1 x2 )2 dy 4x(1 x2 ) dx
方法二 方程两边同时关于x求导
2x 1 dy 0 2 y dx
dy 4x y dx
x2 y 1 0 不能确定隐函数
问题： 1. 方程在满足什么条件下能够确定隐函数？ 2. 对于不能或难以显化的隐函数如何求导？
2.5.1 一个方程的情形
2.5.2 方程组的情形
2.5.1 一个方Байду номын сангаас的情形
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理1
设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 )的某一邻域内具有 连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程 F( x, y) 0 在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
的隐函数 y f ( x), 并求这函数的一阶和二
阶导数在 x 0 的值.
解 令 F(x, y) x2 y2 1
则
(1)F x
2x,
Fy
2y
连续
,
(2)F(0,1) 0,
(3)Fy (0,1) 2 y (0,1) 2 0,
由定理知方程 x2 y2 1 0 在点 (0,1)
u y
xv x2
yu y2 ,
v y
xu x2
yv y2
.
并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
2.5 隐函数的求导公式
x2 y 1 0
显化 方法一
求 dy dx
y (1 x2 )2 dy 4x(1 x2 ) dx
方法二 方程两边同时关于x求导
2x 1 dy 0 2 y dx
dy 4x y dx
x2 y 1 0 不能确定隐函数
问题： 1. 方程在满足什么条件下能够确定隐函数？ 2. 对于不能或难以显化的隐函数如何求导？
2.5.1 一个方程的情形
2.5.2 方程组的情形
2.5.1 一个方Байду номын сангаас的情形
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理1
设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 )的某一邻域内具有 连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程 F( x, y) 0 在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
隐函数求导
xy ln y − y . ∴ y′ = 2 xy ln x − x
2
作业： 作业：
P130 习题 习题3.5 1.(5)(6)(7)(8) 2.(2)(4) 3.(1)(2)(3)(4)
练习： 练习：求 y = (1 + 2 x ) ( x > 0)的导数 .
y 解： ′ = (1 + 2 x ) [ln(1 + 2 x ) ]′
例5
( x + 1) 3 x − 1 , 求y ′. 设 y= 2 x ( x + 4) e
1 解 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
的导数. 例1 求由方程 x 2 + y 2 = a 2 所确定的隐函数 y = y( x ) 的导数.
解
求导( 的函数), ),得 方程两边关于 x 求导(将 y 视为 x 的函数),得
2 x + 2 y ⋅ y′ = 0 ， 解得
x y′ = − . y
比较： 显化后, 比较： 显化后, y = a 2 − x 2 , 1 y′ = ⋅ (a 2 − x 2 )′ 2 a2 − x2 x 1 −x =− ； = ⋅ ( −2 x ) = y 2 a2 − x2 a2 − x2 x x 2 2 ′= 另一分支: 另一分支: y = − a − x , y =− . y a2 − x2
′ x −1 1 f ′( x ) = 2 ln x 2 − 1 − ln x − ln 2 x + 1 2x + x 2
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Fv Gv
Fv Gv
,
v y
1 (F ,G ) J (u, y )
Fu Gu
Fy Gy
Fu Gu
Fv Gv
.
例6
求
设 xu yv 0 ， yu xv 1 ，
u x
，
u y
，
v x
和
v y
.
解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对x求导并移项,得
则 方 程 组 两 边 对 x ( 或 y )求 导 ，
u v u v 解出 , (或 , ). x x y y
思考题
已知
x ( ) ，其中 为可微函数，求 z z y
x
z x
y
z y
?
思考题解答
( ), 则 F x ， z z z y 1 x y ( y ) F y ( ) , F z 2 ( ) , 2 z z z z z y z ( ) Fy z Fx z z z , , y y x Fz y Fz x y ( ) x y ( ) z z
并有
Fx u Gx Fu x J ( x,v) Gu 1 (F ,G )
Fv Gv , Fv Gv
v x
u y
1 (F ,G ) J (u, x )
1 (F ,G ) J ( y,v )
Fu Gu
Fy Gy
Fx Gx
Fv Gv
Fu Gu
Fu Gu
F x ( x , y , z ) f 1 ( 1)
F y ( x , y , z ) f 1 f 2 z
F z ( x , y , z ) f 2 y
z x Fx Fz f 1 yf 2 ,
则
z y
Fy Fz
f 1 zf 2 yf 2
F ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) 0, G ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) 0,
偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
F J (F ,G ) u G (u, v ) u F v G v
在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) 不为零，
z 0 f ( x 0 , y 0 ), 并有
z x Fx Fz
z y
Fy Fz
推导求偏导公式：
的 隐 函 数 , 则 F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对x求偏导
Fx Fz
z x Fx Fz
z x
x y z x y
F
0
同样可得
z y
2 2
.
小结
（分以下几种情况） 隐函数的求导法则 (1 ) F ( x , y ) 0 y f ( x ),
则 dy dx Fx Fy
(2)
F ( x, y, z) 0 z f ( x, y)
Fy F x z 则 , x Fz y Fz
z
u u ( x , y ), F ( x , y, u, v ) 0 (3) v v( x, y) G ( x , y, u, v ) 0
Fy Fz
隐函数的求导公式
例3 设 x y z 4 z 0 ，求
2 2 2
z
2 2
x 2 2 2 解 令 F ( x, y, z) x y z 4z,
.
则 F x 2 x , Fz 2 z 4,
z x
z
2
Fx Fz
x 2 z
,
(2 z ) x (2 z )
记F ( x , y , z )
x
y
1
于是 x
z
x
y
z
y
z.
作 业
p.37 习题8-5
1; 3; 6；7; 8; 10.(1); (3)；11.
因 F ( x , y )的 二 阶 偏 导 连 续 ， 故
d y dx
2
2
d dx
(
x y
)
y xy y
2
x y x 2 1 d y y 3, 2 2 dx y y
1.
x0 y 1
例2 设方程
dx x 解 令 F ( x , y ) sin y e x y 1, 则 x Fx e y , Fy cos y x x e y Fx dy . 由隐函数求导公式,得 cos y x dx Fy
能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y 0 f ( x 0 ) ，并有 dy Fx 隐函数的求导公式 dx Fy
定理证明略. 推导求导公式：
隐函数 , 则
复合函数
两边对 x 求导
F x y x
0
在 ( x0 , y0 )的某邻域内 Fy
dy dx Fx Fy
确定一个隐函数
求
dy
.
另解 方程两边对x求导， 注意到 y f ( x ) 解出
y e y
x
cos y x
.
2.
F ( x, y, z) 0
隐函数存在定理2 设函数 F ( x , y , z )在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数， 且 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0, F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0, 则方程 F ( x , y , z ) 0 在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的某 邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续 偏导数的函数 z f ( x , y ) ,它满足条件
第五节
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
显化 y a 2 x 2 或 y a 2 x 2 x y a
2 2 2
隐函数
F ( x, y) 0
显函数
y f ( x)
F ( x, y, z) 0
z f ( x, y)
问题：
1.满足什么条件，方程能够确定函数？
(2) F (0,1) 0,
(3) F y (0,1) 2 y
( 0 ,1 )
2 0,
依定理知方程 x y 1 0 在点 ( 0 ,1 ) 的某邻域内能唯一确定一个可导的函数
2 2
y
1 x
2
且 f (0) 1.
( 1 ,0 )
F y (1, 0) 2 y
2.对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0 隐函数存在定理1 设函数F ( x , y ) 在点P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内具有 连续的偏导数， F ( x 0 , y 0 ) 0, F y ( x 0 , y 0 ) 0, 且 则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内恒
0
y 1 x
2
y
( 0,1)
注：在点(1,0)的邻域内方程
x y 1 0
2 2
o
(1,0) x
?
2
不能唯一确定一个可导函数.
y 1 x
F ( x, y) x y 1
2 2
一阶导数：
dy
dx
Fx Fy
x y
,
dy dx
x0 y 1
0.
则方程组
F ( x , y , u, v ) 0 G ( x , y , u , v ) 0
的某一邻域内恒能
唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的 函数 u u ( x , y ),v v ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) 它们满足条件 u 0 u ( x 0 , y 0 ), v 0 v ( x 0 , y 0 )
v u x y u x x , J x y u x v v y x x
y x
x y 0,
2 2
在J 0 的条件下， 解方程组，得
u u y
v u x y u x x , y u x v v x x
x
u v yu xv 2 , 2 y x y x
v x y xu yv v 2 , 2 x y x x x y x y x y
将所给方程的两边对求导，用同样方法得
u y xv yu x y
2 2
,
v y
xu yv x y
例1 验证方程 x y 1 0 在点 ( 0 ,1 ) 的某 邻域内能唯一确定一个可导,且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ), 并求这函数的一阶和二 阶导数在 x 0 的值. 2 2 解 令 F ( x, y) x y 1
2 2
则 (1) F x 2 x , F y 2 y 连续 ,
例5 已知 e
xy
xy
2 z e 0 ，求
z
z
解 两边全微分： ( e xy d
e
z xy
x y z 2 z e ) d (0),
z
和
z
.
d ( xy ) 2 dz e dz 0,