《圆的对称性》习题
圆的中心对称性
∠ COD ． 那么____________， AOB =∠ AB = CD，那么 AB=CD ，_____________．
，那么_____________， AB=CD ． （3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB = CD ，_________． ）如果∠
1.如如，如 如
C D O
圆是中心对称图形， 一、圆是中心对称图形，具有旋转不变性
请回答：圆的对称中心，对称轴，对称轴有 几条？
圆中的圆心角、 二、圆中的圆心角、弧、弦关系定理
问题1：如图 ，将圆心角∠ 绕圆心O旋转到 问题 ：如图1，将圆心角∠AOB绕圆心 旋转到 绕圆心 的位置， ∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 的位置 你能发现哪些等量关系？为什么？ 问题2：在⊙O与⊙O’中，∠AOB=∠A’O’B’，则 问题 ：
圆圆圆圆圆圆 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆 。
例1：如如如 ABC中， ∠ C=90°， ∠ B=28°，以C为圆圆， ： 中 为 以CA为为为圆圆 为AB于于D，为BC于于E， 为 于 ， 于 ， 求 AD， DE圆圆圆。 ， 圆
B
D
E
A
C
例2：如如,AB,AC,BC都都 O圆的， ∠ AOC=∠ BOC， ： 都 圆 ， 圆 圆 ∠ ABC圆∠ BAC圆圆相？为为为？
A
C O D
B
4.如在圆 中，若 AB=2CD，则AB圆2CD圆的的 的的都（ 如 ， 圆 圆 （A）AB＞2CD ） ＞ (B)AB ＜2CD (C) AB＝2CD ＝
B ）
(D) 不不不 不
A C
B
O
D
概念： 三、概念：弧的度数
C D
1°圆圆
3.2 圆的对称性(练习)(解析版)
第三章圆第二节圆的对称性精选练习一、单选题1．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．2．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可．【详解】A 、圆是轴对称图形，正确；B 、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确；C 、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误；D 、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确，故选：C ．【点睛】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段．3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.【详解】①直径是圆中最长的弦，故正确；②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；③圆是中心对称图形，故正确；④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，正确的有2个，故选：B.【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.4．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是半圆O 上不同于,A B 的一点，点D 为弧AC 的中点，连结,,OD BD AC ，设,CAB BDO b a Ð=Ð=，则（ ）．A ．a b=B ．290a b °+=C ．290a b °+=D ．45a b °+=【答案】C利用等腰三角形边角关系表示出∠AOD ，再根据同圆中平分弧平分弦垂直弦求出关系即可．【详解】解析 如图，设AC 与DO 交点为E ，连接BC ，OD OB = ，OBD BDO a \Ð=Ð=，2DOA OBD BDO a \Ð=Ð+Ð=，又D Q 为 AC 中点，AB 为O e 直径，,OD AC BC AC \^^，90AED ACB °\Ð=Ð=，90EAO EOA °\Ð+Ð=，即：290a b °+=．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理中同圆中平分弧平分弦垂直弦,等边对等角等有关知识点,难度一般．5．（2020·西安益新中学九年级期末）如图，AB 是O e 的直径，弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，36COD Ð=°，则AOE Ð的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．54°D ．72°【答案】D【分析】由弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，得36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，即可求AOE Ð．解：∵弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，∴36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，18036372AOE Ð=°-°´=°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系，解题关键是熟知在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．6．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知：AB 是O e 的直径，C 、D 是 BE上的三等分点，60AOE Ð=o ，则COE Ð是（ ）A ．40oB ．60oC ．80oD ．120o【答案】C【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【详解】∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，∴»BE的度数是120°，∵C 、D 是»BE上的三等分点，∴弧CD 与弧ED 的度数都是40度，∴∠COE=80°，故选C.【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.7．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，F 为 CBD的中点，连接AF 、BF 、AC ，A F 交CD 于M ，过F 作FH ⊥AC ，垂足为G ，以下结论：① CFDF =；②HC ＝BF ：③MF ＝FC ：④ DF AH BF AF +=+，其中成立的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：∵F为CBD的中点，∴CF DF=，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴=，CF BF∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴+＝180°，AH CF∴+＝180°，CH AF∴+=+=+=+，故④正确，AH CF AH DF CH AF AF BF故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．8．（2019·武汉市梅苑学校九年级月考）如图AB 为⊙O 的定直径，过圆上一点C 作弦CD AB ^，OCD Ð的平分线交⊙O 于点P ，当点C （不包括A ，B 两点）在⊙O 上移动时，点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分弧DBD ．随C 点移动而移动【答案】B【分析】连OP ，由CP 平分∠OCD ，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，可得2=3,ÐÐ所以有//OP CD ，则OP ⊥AB ，即可得到OP 平分半圆APB ．从而可得答案．【详解】解：连OP ，如图，∵CP 平分∠OCD ，∴∠1=∠2，OC=OP ，\ ∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴//OP CD ，又∵弦CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴OP 平分半圆APB ，即点P 是半圆的中点．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，圆的对称性，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9．（2021·全国九年级课时练习）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=BC，连结OB、OC，延长CO 交弦AB于D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______________．【答案】【分析】如图1，当∠DOB=90°时，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到=；如图2，当∠ODB=90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC=AB=．【详解】如图1，当∠DOB =90°时，∴∠BOC=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴=^如图2，当∠ODB=90°时，即CD AB∴ AD=BD∴ AC=BC∵ AB=BC∴△ABC是等边三角形∴∠DBO=30°∵ OB=5∴BD==∴ BC=AB=．综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．10．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，AD DE=，AB=5，BD=4，则cos∠ECB=__．【答案】3 5【分析】连接AD，BE，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：∠ABD=∠CBE，根据等角的余角相等得：∠ECB=∠DAB，最后利用等角的三角函数得出结论．【详解】解：连接AD， BE，AD DE=，∴EBC DBAÐ=Ð，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECB =∠DAB ．AB =5，BD =4 ，3AD \==， ∴3cos cos 5ECB DAB Ð=Ð=．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，余角的性质，以及勾股定理等知识．掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．这两个性质在圆的证明题中经常运用，要熟练掌握．11．（2021·全国九年级课时练习）如图，A 、D 是⊙O 上的两点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC ＝_______度．【答案】58【分析】根据∠D 的度数，可以得到∠ABC 的度数，然后根据BC 是直径，从而可以得到∠BAC 的度数，然后可以得到∠OCA 的度数，再根据OA=OC ，从而可以得到∠OAC 的度数．【详解】解：∵∠D=32°，∠D=∠ABC∴∠ABC=32°∵BC 是直径∴∠BAC=90°∴∠BCA=90°-∠ABC=90°-32°=58°∴∠OCA=58°∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=58°故答案为58．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2021·上海九年级专题练习）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．【答案】0.8或0.2.【分析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.【详解】如图所示，作AB 的垂直平分线，垂足为E ，根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，根据勾股定理，得，∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），∴水深为0.2米或0.8米.故答案为：0.2米或0.8.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键.三、解答题13．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：AB CD=．【答案】证明见解析【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．【详解】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PAC12=∠BOC，∠PCA12=∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，∴AD BC=n n，∴AD BD BC BD-=-，即AB CD=．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．14．（2021·全国九年级课时练习）如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE ＝CE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）欲证明AB=CD ，只需证得 AB ＝ CD ；（2）连接AC ，由 AB ＝ CD得出∠ACB=∠CAD ，再由等角对等边即可证的AE ＝CE.【详解】证明：（1）∵AD ＝BC∴ AD ＝ BC∴ AD －AC ＝ BC － AC 即 AB ＝ CD∴AB ＝CD（2）连接AC∵ AB ＝ CD∴∠ACB ＝∠DAC∴AE ＝CE【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.15．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级期中）如图，在O e 中， AC CB=，CD OA ^于点D ，CE OB ^于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB Ð=°，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）如图，连接OC ，先证明,AOC BOC Ð=Ð再证明：,CDO CEO V V ≌从而可得结论；（2）由120AOB Ð=°，2OA =，求解60AOC Ð=°，再利用三角函数求解,OD CD ， 利用,CDO CEO V V ≌从而可得四边形的面积．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，AC BC= ， ,AOC BOC \Ð=Ð,,CD OA CE OB ^^90CDO CEO \Ð=Ð=°，,OC OC =(),CDO CEO AAS \V V ≌.CD CE \=（2）120,AOB Ð=60AOC BOC \Ð=Ð=°，2OA OC == ，1cos 6021,sin 6022OD OC CD OC \=°=´==°==g g ,CDO CEO V V ≌12212CDO CDOE S S \==´´=V 四边形【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，圆的基本性质，两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系定理，解直角三角形的应用，四边形的面积，掌握以上知识是解题的关键．。
圆的对称性
圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分50分）1．下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C．相等的弦所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等2．下列命题是真命题的是（）A．相等的弦所对的弧相等B．圆心角相等，其所对的弦相等C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等D．弦相等，它所对的圆心角相等3．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°4．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA6．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．135°7．如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连接AC、BC、OB、OC．若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数是（）A．50°B．65°C．100°D．130°8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°9．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB＝4，AD＝DC＝1，则弦BC的长为（）A．3.5B．2C．D．10．如图D、A、C、B为⊙O上的点，DC＝AB，则AD与BC的大小关系是（）A．AD＞BC B．AD＝BC C．AD＜BC D．不能确定二．填空题（共5小题，满分30分）11．如图所示，四边形AB∥CD，AD＝DC＝DB＝p，BC＝q，则AC＝（用p、q表示）．12．弦AB分圆为1：3两部分，则劣弧所对圆心角为．13．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为度．14．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．15．在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弦长为cm．三．解答题（共5小题，满分40分）16．已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，交于点E，F，连接OE，EF．（1）证明：∠EAO＝∠BAO；（2）若OE＝EF．求∠POQ的度数．17．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．18．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．19．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点．（1）求证：△EBD≌△EBF；（2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长．20．如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，求证：AB＝CD．参考答案一．选择题（共10小题，满分50分）1．解：A、正确．本选项符合题意．B、错误．应该是平分弦（此弦非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项不符合题意．C、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．故选：A．2．解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D 错误；故选：C．3．解：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．4．解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．故选：D．5．解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．6．解：连接OC、OD，∵BC＝CD＝DA，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．故选：C．7．解：由题意可得：AB＝AC，∵∠ABC＝65°，∴∠ACB＝65°，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝100°，故选：C．8．解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故选：A．9．解：如图，连AC、BD，过D作DE⊥AC于E．∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∠ABD＝∠CAD．∵BD＝＝．∵AD＝DC＝1，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA＝∠ABD，cos∠CAD＝cos∠ABD＝＝．∴AE＝AD•cos∠CAD＝，∴AC＝2AE＝，∴BC＝＝．故选：A．10．解：∵DC＝AB，∴＝，∴＝，∴AD＝BD．故选：B．二．填空题（共5小题，满分30分）11．解：延长CD交半径为p的⊙D于E点，连接AE．显然A、B、C在⊙D上．∵AB∥CD∴＝，∴BC＝AE＝q．在△ACE中，∠CAE＝90°，CE＝2p，AE＝q，故AC＝＝．故答案为：．12．解：设弦AB分圆的两部分别为x，3x，∴x+3x＝360°，解得：x＝90，则劣弧所对圆心角为90°．故答案为：90°13．解：∵一条弦把圆分成1：3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360°÷4＝90°，∴弦所对的圆心角为90°．14．解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．15．解：由题意知，设圆心为O，60°的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，则△AOB 是等边三角形，∴AO＝AB＝OB＝9cm．三．解答题（共5小题，满分40分）16．（1）证明：连接AE、OE、OF，如图所示，由题意得：OB＝OE＝OA，AE＝AB，∴∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO，，∴∠AOE＝∠AOB，∴∠EAO＝∠BAO；（2）解：∵OE＝OF，OE＝EF，∴OE＝OF＝EF，∴∠EOF＝60°，∵AE＝BF＝AB，∴，∴∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，∴∠POQ＝∠EOF＝20°．17．（1）证明：∵AB＝CD，∴＝，∵M是的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝DM．（2）解：如图，连接OM．∵DM＝BM＝4，OE⊥BM，∴EM＝BE＝2，∵OE＝1，∠OEM＝90°，∴OM＝＝＝，∴⊙O的半径为．18．证明：连接OC，如图，∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC．19．解：（1）连接OD、OF，∵B是劣弧DF的中点．∴，∴，∴BD＝BF，∠DBE＝∠EBF，在△EBD和△EBF中，∵，∴△EBD≌△EBF（SAS）；（2）∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∵AB是⊙O的直径，∴OD＝OA＝3，OE＝3﹣1＝2，过O作OG⊥CD于G，则CD＝2DG，∵∠DEB＝30°，∠EGO＝90°，∴OG＝OE＝1，由勾股定理得：DG＝＝＝2，∴CD＝2DG＝4．20．解：∵，∴，即：，∴AB＝CD．。
圆的对称性(1)
讨论：如何将 一个圆3等 分?n等分呢？
探究三：
如图，如果在圆形纸片上任意画 一条直径CD，过直径上一点P作弦 AB，弦AB与直径CD一定垂直吗？
1.请同学们将图1沿着直径CD对折， 你能发现什么结论？
·
图1
在⊙O中，如果直径CD 弦AB，垂足为P， 那么弦 AP BP、 AD BD、AC=BC
2
O
你会做吗？
如图，在⊙O中，AC=BD， 1 45 ,求∠2的度数。 解： ∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴ AB=CD
图 23.1.5
∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等的弧 所对的圆心角相等）
探究二： 动手操作：
如何将圆两等分？四等分？八等分？
2、请同学们将图2沿着直径CD对 折，你能发现什么结论？
图2
结论：(垂径定理)
垂直于弦的直径, 平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧。
C
· O
P
B D
在⊙O中，如果CD是直径, CD ΑΒ于 P ,
那么：AP=BP， AD=BD，
A
AC=BC
1.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°. 求∠C度数.
如果 AOB =AOB 那么
AB=AB、
AB =AB
结论：
以上三句话如没 （或等圆） 2.在同一个圆 中，如果弧相等，那 有在同圆或等圆 相等 。 么所对的圆心角_____ ______ 相等、所对的弦 中，这个结论还 会成立吗？
（或等圆） 1.在同一个圆 中，如果圆心角相等， 那么它所对的弧相等、所对的弦相等。
23.1圆的认识
（一）
回顾：
1、圆是对称图形吗？它有哪些对称性？ 2、能否用手中的圆演示出它的各种对
湘教版数学九年级下册《圆的对称性》 同步练习及答案
第2章圆 2.1 圆的对称性1. 下列命题中正确的有()①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为()A.38°B.52°C.76°D.104°3.若⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0,0)，点P的坐标为(4,2)，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.点P在⊙O内或在⊙O外4.对于下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是()A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理5. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是()A.点A在⊙O外B.点A在⊙O上C.点A在⊙O内D.不能确定6. 已知两个同心圆的圆心为O，半径分别为2和3，且2＜OP＜3，那么点P在()A.小⊙O内B.大⊙O内C.大⊙O外D.小⊙O外大⊙O内7. 下列说法中，正确的是()A.长度相等的两条弧是等弧B.优弧一定大于劣弧C.不同的圆中不可能有相等的弦D.直径是弦且是同一个圆中最长的弦8.下列命题中，不正确的是()A.圆的对称轴是直径B.圆是轴对称图形C.圆是中心对称图形D.圆的对称中心是圆心9. 点在圆上、点在圆内、点在圆外.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则当d r时，点P在⊙O内；当d ＝r时，点P在⊙O上；当d r时，点P 在⊙O外.10. 到已知点A的距离等于3cm的所有点组成的图形是.11. 以(3,0)为圆心，5为半径画圆，则圆与x轴的交点坐标为.12. .图中是⊙O的直径；弦有；劣弧有；优弧有.13. 已知⊙O的半径是5cm，AB是⊙O的一条弦，设其长度为xcm，则x的取值范围是.14. P是⊙O内一点，它到圆周上最近的距离是4cm，最远的距离是10cm，则这个圆的半径是cm.15. 已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，则点P与⊙O的位置关系是.16. 如图所示，已知OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点.求证：AD＝BC.17. 如图所示，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于B、E，AB 等于⊙O的半径，∠DOE＝78°.求∠A的度数.18. 在⊙O中，直线AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ长；(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.答案：1---8 ACABC DDA9. ＜＞10. 以A为圆心、3cm为半径的圆11. (8,0)，(－2,0)12. AC AB、BC、AC13. 0＜x ≤1014. 715. 点P 在⊙O 外部16. 解：∵OA、OB 是⊙O 的半径，∴OA＝OB ，又∵C、D 分别是OA 、OB 的中点，∴OC＝OD.在△OAD 与△OBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ OA ＝OB ∠O＝∠OOD ＝OC ，∴△OAD≌△OBC(SAS)，∴AD ＝BC.17. 解：设∠A＝x°，∵AB＝OB ＝OE ，∴△ABO、△OBE 都是等腰三角形，∴∠BOA＝∠A＝x°，∴∠OBE＝2x°，∴∠E＝2x°.由：∠DOE＝∠A＋∠E，得78°＝x ＋2x ，x ＝26°.答：∠A 的度数为26°.18. 解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB.在Rt△OPB 中，OP ＝ 3.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝32－32＝6；(2)∵PQ 2＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，∴当OP 最小时，PQ 最大，此时，OP ⊥BC ，∴OP ＝12OB ＝32，∴PQ 长的最大值为9－322＝332.1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
专题11圆与圆的对称性(4个知识点7种题1个易错点)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
专题11圆与圆的对称性（4个知识点7种题1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）知识点2.点与圆的位置关系（难点）知识点3.圆的对称性（重点）知识点4.圆心角、弧、弦之间的关系（难点）【方法二】实例探索法题型1.圆的相关概念的考查题型2.点与圆的位置关系判断题型3.分类讨论思想的应用题型4.点与圆的位置关系的实际应用题型5.圆与三角形题型6.优弧、劣弧的判断题型7.辅助线的添加方法【方法三】差异对比法易错点1：在解题中忽略了点与圆的多种位置关系【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解圆、等圆、等弧等概念，深刻认识圆中的基本概念。
2.掌握点与圆的三种位置关系。
3.了解圆是中心对称图形和轴对称图形，并能确定圆的对称轴。
4.能运用圆的对称性推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题。
【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.【例1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【分析】根据弦的定义即可求解．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．AB BD CD共3条，【详解】解：图中有弦,,3.弧为端点的弧记作，读作“圆弧5.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.6.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【例3】下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．知识点2.点与圆的位置关系（难点）（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A 【例4】（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知O的位置关系是（）与OA．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定【答案】B【详解】解：∵4r=，d=，4=，∴d r∴点A在圆上，知识点3.圆的对称性（重点）（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
第五章2圆的对称性课堂练习题含2021中考题
75° .
数学
7.如图所示,AB,CD 是☉O 的两条直径,CE∥AB,求证:=.
证明:如图所示,连接 OE.
∵CE∥AB,
∴∠BOC=∠C,
∠AOE=∠E.
∵OC=OE,∴∠C=∠E,
∴∠BOC=∠AOE,
∴=.
数学
8.如图所示,已知在☉O 中,=,D,E 分别为半径 OA,OB 的中点,你认为 CD 和 CE 有何关系?为什么?
(1)求证:=.
(2)能否求出 BD 的长?若能,求出 BD 的长;若不能,说明理由.
(1)证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠COB=∠2+∠COB,即∠DOB=∠COA,
∴=.
(2)解:能.∵=,∴BD=AC.
∵AC=3 cm,∴BD=3 cm.
数学
13.如图所示,A,B 是圆 O 上的两点,∠AOB=120°,C 是劣弧的中点.
A.25°
B.30°
C.50°
D.60°
4.在☉O 中,=2,则 AB 与 CD 的大小关系是(
C )
A.AB=2CD B.AB>2CD
C.AB<2CD D.无法确定
5.如图所示,AC 是☉O 的直径,的度数为 60°,则∠ACB 的度数为 30°
.
B )
数学
6.如图所示,在☉O 中,=,∠A=30°,则∠B 的度数为
∴四边形 OACB 是菱形.
数学
(2)延长OA至点P,使得AP=OA,连接PC,若圆O的半径R=2,求PC的长.
解:(2)∵AP=OA,AC=OA,∴AP=AC,
∴∠P=∠ACP= ∠OAC=30°,
∴∠OCP=90°.
圆的对称性练习题
OA2＋OB′2＝ 2，即 PA＋PB 的最小值为 2.
A．到 CD 的距离保持不变 B．位置不变 C．平分B︵D D，半径为 5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是
∠BAC，∠EAD.已知 DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦 BC 的弦心
距等于( D )
A.
41 2
B.
34 2
C．4
D．3
9．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，BG＝8 cm， AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝__6__c_m___.
1．如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠A＝30°，则∠B＝( B ) A．150° B．75° C．60° D．15°
2．下列判断正确的是( C ) A．平分弦的直径垂直于弦 B．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
3．如图，在⊙O 中，A，C，D，B 是⊙O 上四点，OC，OD 交 AB 于 点 E，F，且 AE＝FB，下列结论中不正确的是( C )
(2)设他在不弯腰的情况下向 CD 左侧活动时他的头顶与A︵C的接触点 为点 E，向 CD 右侧活动时他的头顶与B︵C的接触点为点 F，连结 EF，则 EF⊥OC.设垂足为点 G，连结 OE.由题意，得 OG＝3－2.3＋1.7＝2.4(m)．在 Rt△OEG 中，EG＝ OE2－OG2＝ 32－2.42＝1.8(m)，∵OC⊥EF，∴EF＝ 2EG＝3.6 m，∴该菜农在不弯腰的情况下，横向活动的范围有 3.6 m.
圆的对称性练习题
圆的对称性（一）练习题1．下列说法中正确的是()A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等，所对的圆心角相等2．在e O中，圆心角∠AOB＝80°，圆心角∠COD＝40°，那么下列说法中正确的是()A．»»2AB CD=B．»»2AB CD>C．»»2AB CD<D．AB＝2CD3．如图，C，D为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有()①AD=CD=BC②∠AOD=∠DOC=∠BOC③AD=CD=OC④△AOD沿OD翻折与△C OD重合A．1个B．2个C．3个D．4个4．若e O内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且e O的半径为R，那么这条弦的长为()A．R B．2RC．2R D．3R5．如图，O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与该角的两边所在直线分别交于点A，B和C，D，则AB与CD的关系是()A．AB＝CD B．AB＞CDC．AB＜CD D．无法确定6．如图，AB，CD是e O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为__________．7．如图，在e O中弦AB=AC，AD是e O的直径，试判断弦BD与CD是否相等，并说明理由．8．如图，在ABCD中，以A为圆心，以AB为半径作圆交A D于点F，交BC于点G，BA的延长线交e A于点E，求证：»»EF FC=.9．如图，AB，CD是eO的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE＝OF，请你来猜想一下，»»AC BD=吗？请加以说明．圆的对称性（二）练习题1．下列说法中正确的是( )A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴2．如图，AB 是e O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ， 则下列结论中不一定成立的是( ) A ．∠COE =∠DOE B ．CE =DEC ．OE =BED ．»»BDBC 3．如图所示，e O 的弦AB 垂直平分半径OC ， 则四边形OACB 是( )A ．正方形B ．长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4．如图，AB 是e O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6cm ， OD ＝4cm ，则DC 的长为( )A ．5cmB ．2.5cmC ．2cmD ．1cm 5．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为( )A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm6．右图是一个单心圆隧道的截面，若路面AB 宽为10m ， 拱高CD 为7m ，则此隧道单心圆的半径OA 是( )A ．5mB ．377mC ．375m D ．7m7．如图，AB ，AC 分别是e O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BC ，若BC ＝12，则OD ＝__________ 8．如图，在e O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ， AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为_________． 9．如图，已知e O 的半径为5，弦AB =6，M是AB上任意一点，则线段OM 的长可能是( ) A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.510．在半径为5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则两弦之间的距离为__________．11．在直径为650mm 的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如图所示，若油面宽为600mm ，求油的最大深度．12．有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，现有一艘宽3m ，船舱顶部为长方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？。
圆的对称性专项练习1
圆的对称性专项练习1. 若圆的半径为3，圆中一条弦为，则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为．2. 若AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，16AE =，4BE =，则CD = ，AC = ．3. 已知CD 为O 直径，AB 是弦，AB CD ⊥于M ，15cm CD =，若:3:5OM OC =，则AB = ．4. 一条弦AB 分圆的直径为3cm 和7cm 两部分，弦和直径相交成60角，则AB =．5. 如图，在半径为6cm 的O 中，弦AB CD ⊥，垂足为E ，若3cm CE =，7cm DE =，则AB = ．6. 如图，O 的直径为10，弦8AB =，P 是弦AB 上的一个动点，那么OP 的取值范围是．7. 在O 中，已知5AB CD =，那么下列结论正确的是（）Ａ．5AB CD > Ｂ．5AB CD = Ｃ．5AB CD < Ｄ．不确定 8. 弓形弦长为24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ）Ａ．10 Ｂ．26 Ｃ．13 Ｄ．59. 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，10cm AB =，6cm CD =，那么AC 的长为（ ）Ａ．0.5cm Ｂ．1cm Ｃ．1.5cm Ｄ．2cm10. EF 是O 的直径，5cm OE =，弦8cm MN =，则E 、两点到直线MN 距离的和等于（ ）Ｂ．6cm Ｃ．8cmＤ．3cm11. 如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于M 点，AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若4CM =，3MD =，:1:3BF AE =，则O 的半径是（） Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．812. 如图，O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，4AH =，6BH =，3CH =，8DH =，求O 的半径． 13. 如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知6cm AE =，2cm EB =，30CEA ∠=，求CD 的长．14. 如图，ABCD 是直角梯形，以斜腰AB 为直径作圆，交CD 于点E ，F ，交BC 于点G ．求证：（1）DE CF =；（2）AE GF =．15. 如图，已知AB ，在AB 上作点C ，D ，E ，使AC CD DE EB ===．8AB =，弦16. 在O 中，弦AB 的垂直平分线交O 于C ，D 两点，5AC =，求O 的直径．17. 如图，O 中，AB BC ⊥，OM BC ⊥，ON AB ⊥，垂足分别为M ，N ，若16cm AB =，12cm BC =，则ON =cm，OM =cm ，O 的半径= cm ．18. 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，25B ∠=，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，交BC 于E ，则DE 的度数为 ．19．如图，已知O 中，弦12cm AB =，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，则AOB ∠的度数为，圆的半径为 ．Ｄ20. 如图，已知O 的半径为10cm ，AB 是120，那么弦AB 的弦心距是（ ）Ａ．5cmＢ．Ｃ．21. 如图，AB是O 的弦，从圆上任意一点作弦CD AB ⊥，作OC D ∠的平分线交O 于点P ，若5AP =，则BP 的值为（ ）Ａ．4 Ｂ．5Ｃ．5.5Ｄ．622. 如图，如果AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下面结论中，错误的是（ ） Ａ．CE DE = Ｂ．BC BD = Ｃ．BAC BAD ∠=∠ Ｄ．AC AD >23 在半径为5cm 的O 内有一点P ，若4OP =，过点P 的最大弦长是 cm ，过点P 的最短弦的长是 cm ．24 O 的半径为5cm ，点P 到圆的最小距离与最大距离之比为2:3，求OP 的长．25. 已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，AE CD ⊥，垂足是E ，BF CD ⊥，垂足是F ，求证：CE DF =．26．在O 中，弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角为 度，弦AB 所对的圆周角为度．27． 圆的一条弦分圆为4:5两部分，其中优弧的度数为 ．28. 同圆中的两条弦长为1m 和2m ，圆心到两条弦的距离分别为1d 和2d ，且12d d >，那么1m ，2m 的大小关系是（ ）Ａ．12m m > Ｂ．12m m < Ｃ．12m m = Ｄ．12m m ≤ 29．如图，在O 中，AB AC =，70B ∠=．求C ∠度数．Ｐ30. 如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦，且BC CD DA ==，求BOD ∠的度数．31. 如图，点O 是EPF ∠的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A ，B 和C ，D ， （1）AB 和CD 相等吗？为什么？（2）若角的顶点P 在圆上，或在圆内，本题的结论是否成立？请说明理由．32. 如图，将半径为2cm 的O 分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点O 对称，EF 、GH 关于点O 对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是 cm 233. 如图，AB 是的直径，弦CD 垂直平分OB ，则BDC ∠的度数为（ ） Ａ．15 Ｂ．20 Ｃ．30 Ｄ．4534.O 中AB 是直径，AC 是弦，点B ，C 间的距离是2cm ，那么圆心到弦AC 的距离是 cm ．35. 半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦长度分别为6cm 和8cm ，则这两弦间的距离为 cm ．36. 如图，AB 是O 的直径，AC ，CD ，DE ，EF ，FB 都是O 的弦，且AC CD DE EF FB ====，求AOC ∠与COF ∠的度数．37．圆是以 为对称中心的中心对称图形，又是以 为对称轴的轴对称图形．38．O 的半径为6cm ，P 是O 内一点，2OP =cm ，那么过P 的最短的弦长等于 cm ，过P 的最长的弦长为 cm ．39. 下列命题：①三点确定一个圆，②弦的平分线过圆心，③弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径，④平分弦的直线平分弦所对的弧，其中正确的命题有（ ）Ａ．3个 Ｂ．2个 Ｃ．1个 Ｄ．0个ＡＰ40. 如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，AB ，CD 相交于点E ，100COD ∠=，求COE ∠，DOE ∠的度数．41. 如图，有一座石拱桥的桥拱是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧．（1）请你确定弧AB 的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若120AOB ∠=，4OA =m ，请求出石拱桥的高度． 42. 在半径为1）Ａ．30 Ｂ．45Ｃ．60Ｄ．9043.O 的半径为R ，弦AB 的长也是R ，则AOB ∠的度数是 ．44. 如图，有一圆弧形拱桥，桥的跨度16m AB =，拱高4m CD =，则拱桥的半径是．45. 如图，已知O ，线段CD 与O交于A ，B 两点，且OC OD =．试比较线段AC 和BD的大小，并说明理由．46. 如图，在△AOB 中，AO AB =，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD BO =．试说明BD DE =，并求A ∠的度数．47．在直径为1m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽0.6m AB =，则油的最大深度为 m ．ＯＰ48. 如图，弦DC ，FE 的延长线交于圆外一点P ，PAB 经过圆心，试结合现有图形，添加一个适当的条件 ，使12∠=∠． 49. 如图，在O AB O OC AB O C 圆中，弦等于圆的半径，⊥交圆于， 则ABC ∠= 度．50. 如图，A B O 是的直径，C 、E 是圆周上关于AB 对称的两个不同点，CD AB EF BC AD M AF BE N ∥∥，与交于，与交于．（1）在A 、B 、C 、D 、E 、F 六点中，能构成矩形的四个点有哪些？请一一列出（不要求证明）；（2）求证：四边形AMBN 是菱形．51. 平面直角坐标系中，点(29)A ，、(23)B ，、(32)C ，、(92)D ，在P 上． （1）在图中清晰标出点P 的位置；（2）点P 的坐标是 ．52. 如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A B C 、、．（１） 用尺规作图法找出BAC 所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法）（２） 设ABC △是等腰三角形，底边8BC =cm ，腰5AB =cm ．求圆片的半径R ．垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5AB★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A． B． C． D．图 4★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm ★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 ★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米 ★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________★★9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为m★★11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是★★12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cmPBAO★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm ★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为 ★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米 ★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
北京课改版九年级数学上册 《圆的对称性》 同步练习(含答案)
北京课改版九年级上册圆的对称性同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，直径AB 平分弦CD ，交CD 于点E ，则下列结论错误的是( ) A.AC ︵＝AD ︵ B.BC ︵＝BD ︵C ．AB ⊥CD D ．OE ＝BE2．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BODC ．∠C ＝∠BD ．∠A ＝∠BOD3．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为() A ．2 B ．4C ．6D ．84．下列命题中正确的是( )A ．弦的垂线平分弦所对的弧B ．平分弦的直线垂直于这条弦C ．过弦的中点的直线必经过圆心D ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分这条弦且过圆心5．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OM 垂直于弦AC ，垂足为E ，MN ⊥AB 于N ，下列结论：①AM ︵＝CM ︵；②∠OMN ＝∠OAE ；③BC ︵＝MC ︵；④MN ＝12AC.其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④C ．①③④D ．②③④6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点M 在弦CD 上，CM ＝DM ，下列结论不成立的是( )A ．AB ⊥CD B ．CB ＝DBC ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD7. 如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm8. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，则AB ＝8 cm ，则AC 的长为( )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD．2 3 cm或4 3 cm9. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长度是( )A．3 cm B. 6 cmC．2.5 cm D. 5 cm10．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A，B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为()A．圆B．直线C．正方形D．多边形二．填空题（共8小题，3*8=24）11．世界上因为有了圆的图案，万物显得更富有生机，以下图形(如图)都有圆，它们看上去是多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称性．图中的三个图形是轴对称图形的有____________；(分别用三个图的序号填空)12．如图，AB，AC分别是⊙O的弦，D，E分别是AB，AC的中点，∠DOE＝120°，则∠DAC的度数为_______．13．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，求CD的长．14．如图，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为_______cm.15．如图，⊙O 的直径AB 平分CAD ︵，AB 交CD 于E ，AE 与BE 的长度之比为5∶1，CD ＝16 cm ，则⊙O 的半径为_______cm.16．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G ，B ，F ，E ，GB ＝8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝________.17．如图所示，以O 为圆心的同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ，如果AB ＝3cm ，CD ＝2cm ，那么AC ＝__ __cm.18. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为_______．三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，求DM 的长．20. (6分) 如图，AB 为⊙O 的直径，从圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O于P ，求证：AP ︵＝BP ︵.21. (6分)若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，求该铅球的直径.22．(6分) “圆材埋壁”是我国古代著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 题目用现在的数学语言表达是：如图所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD 的长．23. (6分) 已知以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到AB的距离为6，求AC的长．24. (8分) 已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于点F，点E在CD上，且AE＝CE.(1)求证：CA2＝CE·CD；(2)已知CA＝5，EA＝3，求sin∠EAF25. (8分) 已知圆的半径为5 cm，两弦AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则两弦AB，CD 的距离是多少？参考答案1-5DBDDB 6-10DCCDA11. ①②③12. 60°13. 6 cm14. 2415. 245516. 6cm17. 0.518. 419. 解：连结AO ，∵OM ⊥AB ，∴AM ＝12AB ＝4. 在Rt △AOM 中，AO ＝5，AM ＝4，∴由勾股定理得OM ＝3，则DM ＝5＋3＝8.20. 解：连结OP ，∵OC ＝OP ，∴∠OCP ＝∠P ，又∠DCP ＝∠OCP ，∴∠DCP ＝∠P ，∴CD ∥OP ，∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵21. 解：如图所示，依题意，得AB ＝10 cm ，CD ＝2 cm.连结OA ，作OC ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，∴AD ＝12AB ＝12×10＝5(cm)． 设铅球的半径为k cm ，则OD ＝(k －2)cm ，在Rt △AOD 中，AD 2＋OD 2＝OA 2，∴52＋(k －2)2＝k 2，解得k ＝7.25，∴2k ＝14.5.22. 解：连结OA.∵CD ⊥AB 于E ，CD 为直径，∴AE ＝12AB ＝12×10＝5(寸)． 在Rt △AEO 中，设AO ＝x ，则OE ＝(x －1)寸．由勾股定理得x 2＝52＋(x －1)2，解得x ＝13，∴OA ＝13寸，∴CD ＝2OA ＝26寸，∴直径CD 的长为26寸．23. 解：(1)作OH ⊥CD 于点H ，在小圆中，CH ＝DH ；在大圆中，AH ＝BH ，∴AH －CH ＝BH －DH ，即AC ＝BD(2)在Rt △OCH 中，CH ＝OC 2－OH 2＝82－62＝27，在Rt △OAH 中，AH ＝OA 2－OH 2＝102－62＝8，∴AC ＝8－2724. 解：(1)∵CD ⊥AB ，∴AC ︵＝AD ︵，∴∠D ＝∠C ，又∵AE ＝EC ，∴∠CAE ＝∠C ，∴∠CAE ＝∠D ，∠C 是公共角，∴△CEA ∽△CAD ，∴CA CD ＝CE CA，即CA 2＝CE·CD (2)∵CA 2＝CE·CD ，AC ＝5，EC ＝EA ＝3，∴52＝CD×3，∴CD ＝253， 又∵CF ＝FD ，∴CF ＝12CD ＝12×253＝256，∴EF ＝CF －CE ＝76， 在Rt △AFE 中，sin ∠EAF ＝EF AE ＝763＝71825. 解：如图：分2种情况。
圆的对称性
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
WilhelmNietzsche）提出的所谓最强、最优、行为超出善恶，③指现代工业生产（多用于定语）：～工人｜～部门｜～革命。水名，zi〈方〉名多病的人。 也指这样的脚病。【薄海】bóhǎi〈书〉名本指接近海边，⑦量用于有场次或有场地的文娱体育活动：三～球赛｜跳一～舞。 ②（身体）不舒服：几天来 身子～。 编辑发布：～诗稿｜～会议简报。没有一点儿～气息。②〈方〉动拥有：～钱｜～几头牲口。【长方体】chánɡfānɡtǐ名六个长方形（有时相
A
B
.
O
23.1圆的认识 （二）
回顾：
垂径定理
C
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
A
O B
题设
结论 图23.1D.7
｛ （1）直径垂直于弦
（2）直径平分弦 （3）直径平分弧
讲解
例1 如图，已知在⊙ O中， 弦AB的长为8厘米，圆心OA 到AB的距离（弦心距）为3 厘米，求⊙ O的半径。
E
讲解
例3 已知⊙ O的直径是50 cm，⊙ O的 两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A
20 E
B
A
. 25
15
C 25 O7
24
D
C
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M 是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小 值为__3__.最大值为____5________.
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。
九年级数学上册 圆的对称性练习 试题
轧东卡州北占业市传业学校圆的对称性知识点：点在圆外，即这个点到圆心的距离 ________________半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离 ________________半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离 ________________半径； 反过来，也成立〔即判定位置关系的方法〕圆是 图形，其对称轴是 ，因此有 条对称轴。
定理一： 〔垂径定理〕定理二： 〔垂径定理逆定理〕 定理三： 定理四： 例一：⊙0的面积为25π。
（1）假设PO=，那么点P 在________；〔2〕假设PO=4，那么点P 在________； 〔3〕假设PO=________，那么点P 在⊙0上。
例二：设AB=3cm ，作图说明：到点A 的距离小于2cm ，且到点B 的距离大于2cm③、：如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点0，它的四个顶点A、B 、C 、D 是否在以点0④、如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高。
求证：A 、B 、C 、D 、E 在同一个圆上。
⑤、设AB=3cm ，作图说明满足以下要求的图形：〔1〕到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形。
〔2〕到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形。
【例1】判断正误： 〔1〕直径是圆的对称轴．〔2〕平分弦的直径垂直于弦．B【例2】假设⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，假设直线EF平移到与直径AB相交于点P〔P不与A、B重合〕，在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.〔〕⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.〔〕⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.〔〕⑷圆的两条弦所夹的弧相等，那么这两条弦平行. 〔〕⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 〔〕2、：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，假设油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6．“五段彩虹展翅飞〞，我利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥〔如图3-2-16〕已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图〔1〕．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图〔2〕那么这个圆拱所在圆的直径为米．三、课后练习：1、，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD2、AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两局部，求：圆心O到弦AB的距离3、：⊙O弦AB∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两局部,求：弦AB的长．5、：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF6、：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，⋂=⋂BC21 AE7、：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：⑴OE＝OF ⑵ CE＝DF8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB9、如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长10、：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇11、：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF【例1】A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．二、课内练习：1、判断题〔1〕相等的圆心角所对弦相等〔〕〔2〕相等的弦所对的弧相等〔〕2、填空题⊙O中，弦AB的长恰等于半径，那么弦AB所对圆心角是________度．3、选择题如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，假设AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm ，OA ＝5 cm ，那么AB 长度是___________． A 、6 cm B 、8 cm C 、7 cm D 、7.5 cm 三、课后练习：1 〕A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．以下说法中，正确的选项是〔 〕 A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等3 〕A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．以上都不对 4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于〔 〕A ．43R B ．23R C ．3RD ．23R5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，那么弦CD 的长为〔 〕 A ．23B ．3C ．5D ．256．：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，那么⊙O 的半径为〔 〕 A ．4cmB ．5cmC ．42cmD ．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为〔 〕 A ．3：2B ．5：2C ．5：2D ．5：48．半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，假设两弦的弦心距分别为OE 、OF ，那么OE ：OF=〔 〕 A ．2：1B ．3：2C ．2：3D ．09．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，那么⊙O 的直径的长为〔 〕 A ．42B ．82C ．24D ．1610．如果两条弦相等，那么〔 〕 A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对11．⊙O中假设直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，那么弦AB的长为．12．假设圆的半径为2cm，圆中的一条弦长23cm，那么此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为．13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，那么AB= ．14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，那么过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．15．弓形的弦长6cm，高为1cm，那么弓形所在圆的半径为 cm．16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．17．一条弦把圆分成1：3两局部，那么弦所对的圆心角为．18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，那么∠EOD ∠BOF，⌒AC⌒AE，AC AE．20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．21．如图6，以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．〔1〕求证：AC=DB；〔2〕如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？24．一弓形的弦长为46，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．25．如图，⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，⌒⌒EFCD ，O1M和O2M相等吗？为什么？。
27.1《圆的对称性》同步练习
《圆的对称性》同步练习一．选择题（共10小题）1．下列说法，正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径2．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧4．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧6．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2B．C1＜C2C．C1=C2D．不能确定7．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或无数条8．下列结论错误的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．半圆不是弧D．同圆中，等弧所对的圆心角相等9．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm10．在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定二．填空题（共8小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．12．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是．13．已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，那么线段OA的取值范围是．14．若⊙O的半径为6cm，则⊙O中最长的弦为厘米．15．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心距离等于半径的点都在．16．下列说法正确的是（）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．17．与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是．18．如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦，它们分别是．三．解答题（共2小题）19．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．。
《圆的对称性》练习题
14．如图，已知⊙O 的半径等于 1 cm，AB 是直径，C，D 是⊙O 上的 ︵ ︵ ︵ 两点，且AD＝DC＝CB，则四边形 ABCD 的周长等于( B ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
15．(导学号：37554049)如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝110°， ︵ 将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在AB上的点 D 处， ︵ 折痕交 OA 于点 C，则AD所对的圆心角的度数为( B A．40° B．50° C．60° D．70° )
20．如图，A，B，C 是半径为 2 的圆 O 上的三个点，其中点 A 是弧 BC 的中点，连接 AB，AC，点 D，E 分别在弦 AB，AC 上，且满足 AD＝CE. (1)求证：OD＝OE； (2)连接 BC，当 BC＝2 2时，求∠DOE 的度数．
(1) 证明：连接 OA ， 图略．∵点 A 是弧 BC 的中点 ， ∴∠ AOB ＝ ∠AOC.∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACO，∵AD＝CE， ∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE (2)连接 BC 交 OA 于点 F，图略．由 三线合一知 OA⊥BC，BF＝ 2.在 Rt△BFO 中，由勾股定理可求 OF＝ 2 ， ∴ BF ＝ OF ， ∴∠ AOB ＝ 45 ° . ∵△ AOD ≌△ COE ， ∴∠ AOD ＝ ∠COE，∴∠BOD＝∠AOE，∴∠DOE＝∠AOB＝45°
︵ 的三 连接 AC，BD，图略．∵在⊙O 中，半径 OA⊥OB，C，D 为AB 1 1 等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝ ∠AOB ＝ ×90°＝30°， 3 3 AC＝CD＝BD.∵OA＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA＝45°，∵∠AOC＝ ∠BOD＝30°，∴∠OEF＝∠OAB＋∠AOC＝45°＋30°＝75°，同 理∠OFE＝75°，∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝30°， 180°－30° ∴∠ACO＝∠BDO＝ ＝75°.∵∠AEC＝∠OEF＝75°， 2 ∠ BDO ＝∠OFE ＝ 75 ° ， ∴∠ ACO ＝∠AEC ， ∠ BDO ＝∠BFD ， ∴ AE＝AC，BD＝BF，又∵AC＝CD＝BD，∴AE＝BF＝CD
圆的对称性-知识点及典型例题
圆的对称性【典型例题】例1.如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC = 3, BC = 4,以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。
求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解: / \例2.如图，O O中，弦AB = 10cm , P是弦AB上一点，且4cm,OP = 5cm，求O O 的半径。
分析：O O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：例3.如图“五段彩虹展翅飞” 该桥的两边均有五个红色的圆拱, 所在圆的直径。
分析：略解: 是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车,最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱【模拟试题】一.选择题。
1. O O中，弦AB所对的弧为A. 2B. 1 120°,圆的半径为C.空22,则圆心到弦AB的距离OC为（2.如图，AB是O O的直径，弦长为（）CD丄AB，垂足为E,如果ABiO，CD 二8 ,则AEA. 2B. 3C. 4D. 58. 如图 A3 = AC ,/ A = 30°9. 过O O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为 10. O O 的半径为 10cm ,弦 AB // CD , AB = 12cm , CD = 16cm ,则AB 和CD 的距离为 _____________ 。
11. O O 的直径AB 和弦CD 相交于点 E ,已知AE = 1cm , EB =5cm , / DEB = 60°，贝U CD = 三.解答题。
4cm ，贝U OM 的长为 12.如图，O O 的直径为4cm ,弦AB 的长为厶疗cm ，你能求 出/ OAB 的度数吗？写出你的计算过程。
C.垂直于弦的直径平分这条弦D.相等的圆心角所对的弧相等5. 如图，已知 AD = BC ,贝U AB 与CD 的关系为（）A. AB > CDB. AB = CDC. AB < CD二.填空题。
九年级数学圆的对称性(含答案)
圆的对称性一、单选题(共9道，每道10分)1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.平行四边形D.圆答案：D解题思路：A：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误B：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误C：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误D：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确试题难度：三颗星知识点：略2.如果两个圆心角相等，那么( )A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对答案：D解题思路：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故选D试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，下列说法不正确的是( )A.AD=BDB.弧AC=弧CBC.∠COA=∠COBD.OD=CD答案：D解题思路：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧∵AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D∴AD=BD，弧AC=弧CB，故A，B正确∵弧AC=弧CB∴∠COA=∠COB，故C正确OD不一定等于CD，故D不正确试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB，弧CD，弧EF，如果弧AB+弧CD=弧EF，那么AB+CD与EF的大小关系是( )A.AB+CD=EFB.AB+CD<EFC.AB+CD＞EFD.大小关系不确定答案：C解题思路：如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧AB，则弧FM=弧CD∴AB=EM，CD=FM在△EMF中，EM+FM＞EF∴AB+CD＞EF试题难度：三颗星知识点：略5.已知⊙O中，弧AB=2弧CD，则弦AB和2CD的大小关系是( )A.AB＞2CDB.AB=2CDC.AB<2CDD.不能确定答案：C解题思路：如图，取弧AB的中点E，则弧AE=弧BE∵弧AB=2弧CD∴弧AE=弧BE=弧CD∴AE=BE=CD∵在△AEB中，AE+BE＞AB∴AB<2CD试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )A.40°B.45°C.50°D.60°答案：A解题思路：在△AOB中，OA=OB，∠A=50°∴∠BOA=180°-2∠A=80°∵点C是弧AB的中点∴弧AC=弧BC∴∠BOC=∠AOC=∠BOA=40°试题难度：三颗星知识点：略7.如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为( )A.22.5°B.30°C.45°D.60°答案：B解题思路：如图，连接OC∵AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点∴弧AC=弧CD=弧DB∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°又OA=OC∴△AOC是等边三角形∴∠A=60°∵CE⊥AB∴∠ACE=90°-60°=30°试题难度：三颗星知识点：略8.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是( )A.51°B.56°C.68°D.78°答案：A解题思路：∵弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=34°∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°又OA=OE∴∠AEO=∠OAE∴∠AEO=试题难度：三颗星知识点：略9.已知在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP=，则弦AB的长为( )A.4B.6C.8D.10答案：C解题思路：如图，作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，连接OB，则四边形MPNO为矩形∵AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB∴OM=ON∴四边形MPNO为正方形∴ON=OP=3在Rt△ONB中，OB=5，ON=3∴又ON⊥AB∴AB=2BN=8试题难度：三颗星知识点：略。
圆的对称性(个人整理,经典题型)
第八讲圆的对称性（一）【你必须知道的数学小知识】1、圆的定义：平面上到定点．．的距离等于_____________的所有点组成的图形叫做圆．；其中，定点称为__________，______________称为半径，以点O为圆心的圆可记作___________。
注意：①圆是一条___________的曲线，不能认为是圆面；②圆上各点到定点的距离都等于_________，到定点的距离等于定长的点都在__________；③圆的两要素：________________________________。
2、圆具有对称性：_______________________________________________________________________________。
3、圆的相关概念（1）弦与直径：连结圆上任意两点的__________叫做弦；经过___________的弦叫做直径；（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称________。
用符号"⌒"表示，以A、B为端点的弧记作___________；（注意”半圆“、”优弧“、”劣弧“之间的区别）4、点与圆的位置关系：（1）点在圆外——点到圆心的距离_________半径；（2）点在圆上——点到圆心的距离_________半径；（3）点在园内——点到圆心的距离_________半径；5、垂径定理：垂直于弦的____________平方这条__________，并且平分弦所对的________________.用符号语言表示为：6、垂径定理推论：平分弦（不是直径．．．．）的___________垂直于___________，并且平分弦所对的___________. 用符号语言表示为：7、知二推三【经典例题】例1、（1）若⊙O的半径为5cm，圆心O到直线α的距离OM是4cm，直线α上有一点A，AM为6cm，则A在⊙O_____________________（填内、外、上）（2）已知一点与⊙O上的点最近距离是4cm，最远距离是9cm，则这个圆的半径是______________cm。
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《圆的对称性》习题
一、选择题
1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）
A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等
2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）
A.正方形
B.平行四边形
C.等腰梯形
D.圆
3.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）
A.51°
B.56°
C.68°
D.78°
第3题图第4题图第5题图
4.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝（）
A.150°
B.75°
C.6°
D.15°
5.如图，AB是⊙O直径，C、D在直径AB的同旁，连接AD、DC、BC，若BC＝CD ＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）
A.5π cm
B. 6πcm
C.9πcm
D.8π cm
二、填空题
6.如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是BC弧的中点，则∠ACD ＝________.
第6题图第7题图第8题图
7.如图，已知AB是⊙O直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，∠BOC＝60°，则
∠COD的度数是______度.
8.如图，若∠1＝∠2，那么AB与BC________相等.（填一定、一定不、不一定）.
9.弦AB分圆为1：5两部分，则劣弧AB所对的圆心角等于________度.
三、解答题
10.如图，在⊙O中，CD为⊙O直径，AC＝BC，点E为OD上任意一点（不与O、D重合）.
求证：AE＝BE.
11.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC与AB分别交于E、F，且AE＝BF.
求证：AC＝BD.
12.如图，已知AB、CD是⊙O直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.
（1）求证：BE＝DF；
（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）.。