平面向量与三角形三心

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇、四心的概念介绍

(1) 重心——中线的交点：重心将中线长度

分成 2 : 1 ；

(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；

(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;

(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心) ：

外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

证法1设0(x, y), A(x i, yj B(X2, y2)，C(X3, y3)

(1) OA OB 0C =0：二0是:ABC的重心.

OA OB OC = 0 二

(X i _X)+(X2 _X)+(X3 _ X) =0

(y i -y) (y2 - y) 仏- y) =o % y 2 y3

3 O是ABC的重心•

证法2:如图

OA OB OC

=OA 2OD =0

.AO =2OD

.A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1

.O是ABC的重心

(2) OA OB = OB OC = OC OA：= O为ABC 的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，

OA OB =OB OC 二OB(OA -OC) =OB CA = 0

二OB _ AC

同理OA _ BC，OC _ AB

=O为-ABC的垂心

(3)设a, b , c是三角形的三条边长，O是厶ABC的内心

▼f

aOA bOB cOC = 0 = O 为ABC 的内心.

AB AC ——-——-

证明：... AB、AC分别为AB、AC方向上的单位向

量,

AB

c

AC

+ 平分N BAC, b

X1X2X3

y

二

D、E是垂足.

AB AC

)，令一

be a b c

be AB AC

AO

(

)

a b c c b

化简得(a b c)OA bAB eAC =0 aOA bOB cOC = 0

(4) OA=OB=OC 二 O 为占ABC 的外心。

典型例题分析

［例题］已知点G 是丁ABC 内任意一点，点M 是丁ABC 所在平面内一点•试根据下列条件

判断G 点可能通过VABC 的 _______ 心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

［提出问题］

⑵ 若点D 是丁 ABC 的底边BC 上的中点，满足GDGB 二GDGC ,则点G 可能通过

VABC 的 __________.

⑶若存在常数 上,满足MG = MA + 珥一-AB — +™AC —)仏丰0)，则点G 可能 AB 廉

i nB AC 隔 nC 通过VABC 的 ___________

通过VABC 的 __________ .

［思路分析］以上四个问题的解决要求不同，除了熟悉三角形的“四心”的性质 同时更要熟悉平面向量的性质，对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉

形或三角形法则知，点G 是角平分线上的点，故应填内心. (2) 简单的变形后发现点G 是BC 边中垂线上的点，故应填外心. (3) 叮 ABVin B =|AC 蹩i nC/.记 ABVin B=| AC^i nC = h ,

则AG =「(AB AC)('').由平面向量的平行四边形或三角形法则知，点G 是

h

BC 边的中线上的点，故应填重心.

(4) 分析后发现，本题学生难以找到解决问题的突破口 ，

主要在于平面向量的数量

(1)若存在常数 ———A

丸,满足MG = MA +九(—〜

AB AC

G 可能通过丁 ABC

AC

(4)若存在常数 AB

AC

■

a^s a^s

丸,满足MG = MA + k (—飞

ABVosB ACPosC

)(■ =0),则点G 可能

［解答过程］(1)记 AB AB AC

〜，一~

■ (ej e 2).由平面向量的平行四边

)(=0),

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积的充分利用•由MG =MA …(

AB AB£osB

AC AC \cosC

得 AG = ■( 一 一+ —)(丸丰 0),

AB Vos B AC \cosC (关键点)AGB^ (

一亠—T )x BC (“o ) AB^cosB AC^CosC

于是

AG BC = ■( IAB A 啤乞+ AC 乎)(+) YosB

〔ACpCosC =■( BC cos( -：-B) BC cosB)

从而AG _ BC ，点G 是高线上的点，故应填垂心.

［点评］以上四个问题处理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四

心” 的性质在解答问题时的作用•特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧•

总结:

(1) OA OB OC =0 = O 是 ABC 的重心.

(2) OA OB =OB OC =OC OA ：= O 为 ABC 的垂心.

(3) 设a , b , c 是三角形的三条边长， O 是厶ABC 的内心

aOA bOB cOC = 0 = O 为 ABC 的内心.

(4) OA=OB=OC= O 为 AABC 的外心。 或者

若P 点为 ABC 内任意一点，若 P 点满足:

AP =&( =P 为ABC 的内心；

BP =t( BA BC

BA

BC

),0