【答案】 A
3．(优质试题·西安高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n n ＋1
，那么这个数列是( ) A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列
【解析】 a n ＋1－a n ＝2（n ＋1）n ＋2－2n n ＋1＝2（n ＋1）2－2n 2－4n （n ＋1）（n ＋2）
＝2（n ＋1）（n ＋2）
＞0，∴{a n }是递增数列．
【答案】 A
4．已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3，则数列{a n }中的最大项为( )
A ．a 1＝10
B ．a 2＝13
C ．a 3＝12
D ．以上均不正确
【解析】 a n ＝－2(n －94)2＋1058，由于n ∈N ＋，
∴当n ＝2时，a 2＝13最大．
【答案】 B
5．(优质试题·沈阳高二检测)函数y ＝f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像可能是( )
【解析】 由a n ＋1＝f (a n )及a n ＋1＞a n 可知，f (a n )＞a n ，即图像上每一点的纵坐标大于其横坐标，∴函数y ＝f (x )的图像应在直线y ＝x 上方，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．(优质试题·黄冈高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n
(n ∈N ＋)，则a 2 012＝________． 【解析】 ∵a 1＝2由a n ＋1＝1＋a n 1－a n
得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴{a n }为周期为4的数列，
∴a 2 012＝a 4×503＝a 4＝13.
【答案】 13
7．已知数列{a n }，a n ＝2n 2－10n ＋3，它的最小项是________．
【解析】 a n ＝2n 2
－10n ＋3＝2(n －52)2－192.故当n ＝2或3时，a n 最小．
【答案】 2或3项
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，则数列从第________项开始值大于零．
【解析】 令4n －102＞0得n ＞2512，
∴数列{a n }从第26项开始大于零．
【答案】 26
三、解答题
9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，试作出其图像，并判断数列的增减性．
【解】 列表：
由数列的图像知，当1≤n ≤5时数列递增；当n ≥5时数列递减．
10．已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋),
(1)求证：a n <1；
(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？
【解】 (1)证明 a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n <1.
(2)∵a n ＋1－a n ＝
（n ＋1）－1n ＋1－n －1n ＝(1－1n ＋1
)－(1－1n )＝1n （n ＋1）
>0， ∴a n ＋1>a n ，
∴{a n }是递增数列．
11．(优质试题·广州高二检测)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．
【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.
∵n ∈N ＋，∴n ＝2，3.
∴数列中有两项是负数．
(2)法一 ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52
.又因n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.
法二 设第n 项最小，由⎩
⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1a n ≤a n －1，
得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤（n ＋1）2－5（n ＋1）＋4，n 2－5n ＋4≤（n －1）2－5（n －1）＋4.
解这个不等式组得2≤n ≤3，
∴n ＝2，3，∴a 2＝a 3且最小，
∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.
